數(shù)學丨2023屆高考專家聯(lián)測卷（四）數(shù)學試卷及答案

2023屆高考專家聯(lián)測卷(四)

理科數(shù)學

(全卷滿分150分，考試時間120分鐘)

注意事項：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑;如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答。答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域

內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不

按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回。

第I卷(選擇題，共60分)

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.已知A={y\y=aT(a>0,a^l')},B={川〃，則AClB=

A.(0,+oo)B.(1,H-oo)

C.(—8,0)D.(—8,0)U(l,+8)

2.已知復數(shù)z滿足z(l—==

A.1B.+*iC.掾H--D.1+i

3.睡眠很重要,教育部《關(guān)于進一步加強中小學生睡眠管理工作的通知》中強調(diào)“小學生每天睡

眠時間應(yīng)達到10小時,初中生應(yīng)達到9小時,高中生應(yīng)達到8小時”.某機構(gòu)調(diào)查了1萬個學

生時間利用信息得出下圖,則以下判斷正確的有

12.00----------------------------------------------------------------------------------------------

10.009.^^2^9.579.630”------------「用9.6397190-----------------------

g95879："二'飛9^09

\8.528.578163

8?吵2.64送鏟7.917.917.91

8.00

73?5--7.2-4-一7坐-線”?夕，

\6收8628

6.00

5.71

5.08

4.00

一二三四五六一二三一二三四

年年年年年年年年年年年年年年年年

級級級級級級級級級級級級級級級級

小學初中高中大學

----學習-----睡眠

A.高三年級學生平均學習時間最長

B.中小學生的平均睡眠時間都沒有達到《通知》中的標準，其中高中生平均睡眠時間最接近標準

2023屆高考專家聯(lián)測卷(四)?理科數(shù)學試題第1頁(共4頁)命題人：成都名師團

C.大多數(shù)年齡段學生平均睡眠時間少于學習時間

D.與高中生相比，大學生平均學習時間大幅下降,釋放出的時間基本是在睡眠

4.已知S?為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和,2+S7=-16,（18=—，則S10=

A.5B.0C.-10D.-5

5.設(shè)像申第”]）的定義域為（-8,0）U（o,+8）,且滿足/（2）=0,對于任意乃，ge

（0,+8）,為豐m，都有名"[?）一‘"（"2）V0（〃SN）成立.

涇~X\

①不等式"2：+9>0的解集為6,4-ooju（-|,0）；

②不等式/（2：+D>O的解集為+8）〃一■11）;

③不等式黑>0的解集為（一8,-2）U（2,+℃）.

④不等式篝>0的解集為（-2,0）U（0,2）.

其中成立的是

A.①與③B.①與④C.②與③D.②與④

6.函數(shù)/（jr）=lo&7（a>0,且QW1）與函數(shù)g（i）=（a—1）久2—ax在同一坐標系中的圖象可

7.已知雙曲線C過點（3,四）且漸近線為？=士號7，則下列說法正確的個數(shù)是

①雙曲線c的方程為專-y=1；

②雙曲線C的離心率為西；

③曲線y-I經(jīng)過雙曲線C的一個焦點；

④過雙曲線C的焦點且垂直于實軸的直線截雙曲線C的弦長為零.

O

A.1B.2C.3D.4

8.已知函數(shù)y=sin（3r+a）（3>0,0Va〈g）的部分圖象如圖所示，則

點P（3,）的坐標為

A率用B,（2,f）

0（1*3）D-（1,6）

9.十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堵發(fā)明的.明萬歷十二年（公元1584年），他

寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論，這一成果被意大利傳教士利瑪竇通過絲綢之路

帶到了西方，對西方音樂產(chǎn)生了深遠的影響.十二平均律的數(shù)學意義是:在1和2之間插入11

個正數(shù)?使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，依此規(guī)則，新插入的第四個數(shù)應(yīng)為

A.2+B.2+C.26D.2由

2023屆高考專家聯(lián)測卷（四）?理科數(shù)學試題第2頁（共4頁）命題人:成都名師團

10.如圖,ZSA3c內(nèi)接于圓0,A6為圓O的直徑,AB=10,BC=6,C。，

平面ABC,E為AD的中點，且，則點A到平面BCE的距離為

①異面直線BE與AC所成角為60°；

②三棱錐D-BEC的體積為16^3.

（注:從以上兩個條件中任選一個，補充在橫線上并作答）

A8778721W7

3373

11.四棱錐P-OABC中，底面（MBC是正方形,02，04,。4=0P=°,。是棱0尸上的一動

點,E是正方形OABC內(nèi)一動點，DE的中點為Q.當DE=a時，點Q的軌跡是球面的一部

分，其表面積為3小則a的值是

A.273B.2V6C.3V6D.6

12.設(shè)a=logo.62,6=log2。.6,c=0.6?,則a,6,c的大小關(guān)系為

A.b<c<ZaB.c<.b<.aC.a<J)<cD.b<a<Zc

第II卷（非選擇題，共90分）

二、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.設(shè)i,j是Z,》軸正方向上的單位向量,2a—8=i—3j,a+3b=lli+9j,則向量a.b的夾角為―A.

14.已知儂的展開式中的各項系數(shù)和為一3,則該展開式中的常數(shù)項為二—.

y^x+2,

15.已知點PCr,y）在不等式組1一3①<0,表示的平面區(qū)域D上運.

y^a

（1）若區(qū)域D表示一個三角形,則a的取值范圍是▲；

（2）若a=6,則z=一2+2?的最小值是▲.

16.已知拋物線C：V=4z的焦點為F,準線7寫了軸交于點M,點P在拋物線上.直線PF與拋

物線交于另一點A,設(shè)直線MP,MA的斜率分別為電，無，則b+k2的值為▲.

三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,每個試

題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題:共60分.

17.（本小題滿分12分）在△八BC中，角A,B,C的對邊分別為a,仇一已知點D在邊AC上（不含

端點）,AB=BD=CD

（1）求證：加=。2—C2；

（U）若cosNABC=Ac=l,求△ABC的面積.

屋

18.（本小題滿分12分）2022年卡塔爾世界杯于北京時間11月20日在卡塔爾正式開賽，該比賽

吸引了全世界億萬球迷觀看.為了了解喜愛觀看世界杯是否與性別有關(guān)，某體育臺隨機抽取

200名觀眾進行統(tǒng)計，得到如下2X2列聯(lián)表.

男女合計

喜愛看世界杯602080

不喜愛看世界杯4080120

合計100100200

（I）根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，能否認為喜愛觀看世界杯與性別有關(guān)聯(lián)？

（11）在喜愛觀看世界杯的觀眾中，按性別用分層抽樣的方式抽取8人,再從這8人中隨機抽

取2人參加某電視臺的訪談節(jié)目，設(shè)參加訪談節(jié)目的女性觀眾與男性觀眾的人數(shù)之差為

X,求X的分布列.

2023屆高考專家聯(lián)測卷（四）?理科數(shù)學試題第3頁（共4頁）命題人：成都名師團

附:M=(a+力(：僚(/)(〃+△)'其中”=a+"+'+”

19.（本小題滿分12分）如圖1,在△ABC中，NACB是直角，CA=CB=2四,P是斜邊AB的中

點,M,N分別是PB.PC的中點.沿中線CP將△CAP折起，連接AB,點Q是線段AC上的

動點，如圖2所示.

（I）求證:MN〃平面ABC；

（n）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個條件作

為已知，當二面角Q—MN-C的余弦值為噂時,

>C

O亮條

求辭的值.

C

條件①：BP1AC；條件②：AB=AC.圖1

20.（本小題滿分12分）設(shè)B,Fz分別是橢圓D號+去=1（。>。>0）的左、右焦點，過點F2作傾

斜角為三的直線交橢圓。于A,B兩點，點居到直線AB的距離為3,連接橢圓D的四個頂

點得到的菱形面積為4.

（I）已知點M（—1,。），設(shè)E是橢圓D上的一點，過兩點的直線/交y軸于點C,若

屋=入市，求實數(shù)2的取值范圍；

（n）作直線h與橢圓D交于不同的兩點P,Q,其中點P的坐標為（-2,0）,若點N（0“）是

線段PQ垂直平分線上一點，且滿足福?而=4,求實數(shù)f的值.

21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（工）=加%一sin（久）=azcosz—2sin?r（a>0）.

（I）若函數(shù)y=/（幻是（—8,+8）上的單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)m的最小值；

（H）若=1，且對任意z€［0,史，都有不等式/（x）》g（x）成立,求實數(shù)a的取值范圍.

▲一

（二）選考題:共10分.請考生在第22.23題中任選一題作答.如果多做,那么按所做的第一題計分.

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］（本小題滿分10分）在平面直角坐標系g中,已知曲線C的參數(shù)

方程為二一1y83°，（夕為參數(shù)），以原點O為極點軸正半軸為極軸建立極坐標系.

（I）求曲線C的極坐標方程；

（II）設(shè)射線。：9=叫侖0）和射線56=g+4）0,04遍）分別與曲線（？交于八，8兩

點，求△AOB面積的最大值.

23.［選修4-5：不等式選講］（本小題滿分10分）關(guān)于工的不等式|3^-11<2加的解集為1-1,1

（I）求加的值；

（H）若（。—1）（6—l）（c—1）=m,且。>1,6>1">1,求證：。％》8.

2023屆商考專家聯(lián)測卷（四）?理科數(shù)學試題第4頁（共4頁）命題人:成都名師團

§1”■友2023屆高考專家聯(lián)測卷（四）

理科數(shù)學參考答案

雙向細目表

題號分值知識板塊考查內(nèi)容知識點層次能力難度系數(shù)

15數(shù)與代數(shù)集合集合運算A運算求解0.90

25數(shù)與代數(shù)復數(shù)變數(shù)除法.發(fā)數(shù)的模A運算求解0.90

35概率統(tǒng)計統(tǒng)計折線統(tǒng)計圖A運算求解0.85

45數(shù)與代數(shù)數(shù)列等差數(shù)列A運算求解0.80

35數(shù)與代數(shù)函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)A運算求解0.80

65數(shù)與代數(shù)函數(shù)函數(shù)的圖象B運算求解0.70

75解析幾何圓錐曲線雙曲線的基本概念B運算求解0.65

85數(shù)與代數(shù)三角函數(shù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)B抽象概括0.60

95數(shù)與代數(shù)數(shù)列等比數(shù)列與數(shù)學文化B應(yīng)用意識、運算求解0.55

推理論證、運算

105立體幾何點線面位置關(guān)系異面直線所成角，體積B0.55

求解、創(chuàng)新意識

點線面位置關(guān)系

115立體幾何球的表面積C運算求解0.45

與空間幾何體

125數(shù)與代數(shù)函數(shù)賽指對函數(shù)及其比較大小C運算求解0.35

135數(shù)與代數(shù)向量向量的夾角B運算求解0.75

145數(shù)與代數(shù)計數(shù)原理二項式定理B應(yīng)用意識、運算求解0.70

155不等式線性規(guī)劃參數(shù)的范圍與最值B推理論證、創(chuàng)新意識0.65

165解析幾何圓錐曲線直線與拋物線的位置關(guān)系C運算求解0.45

17數(shù)與代數(shù)

17(I)6數(shù)與代數(shù)三角函數(shù)由正余弦定理證明等式B推理論證、運算求解0.75

17(II)6數(shù)與代數(shù)三角函數(shù)三角形面積B推理論證、運算求解0.65

18概率統(tǒng)計

推理論證、抽象

18(I)6概率統(tǒng)計統(tǒng)計獨立性檢驗A0.80

概括、運算求解

推理論證、抽象

18(H)6概率統(tǒng)計統(tǒng)計分布列B0.75

概括、運算求解

19立體幾何

運算求解、推理

19(I)3立體幾何點線面位置關(guān)系線面平行A0.85

論證、創(chuàng)新意識

運算求解、推理

19(H)9立體幾何點線面位置關(guān)系二面角（結(jié)構(gòu)不良題）B0.65

論證、創(chuàng)新意識

2023屆高考專家聯(lián)測卷（四）?理科數(shù)學參考答案第1頁（共11頁）

題皆分值知識板塊考查內(nèi)容知識點層次能力難度系數(shù)

20解析幾何

運算求解、推理論證、

20(I)6解析幾何圓錐曲線參數(shù)的取值范圍B0.75

應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識

運算求解、推理論證、

20(n)6解析幾何圓錐曲線參數(shù)的值B0.65

應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識

21數(shù)與代數(shù)

21(I)2數(shù)與代數(shù)導數(shù)參數(shù)的最值A(chǔ)運算求解0.80

運算求解、推理論證、

21(II)10數(shù)與代數(shù)導數(shù)參數(shù)的范圍C0.35

應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識

坐標系與

22

參數(shù)方程

坐標系與參數(shù)方程.極坐標

22(I)5參數(shù)方程A運算求解0.8

參數(shù)方程方程.普通方程

坐標系與

22(11)5參數(shù)方程極坐標方程與三角形面積B運算求解0.7

參數(shù)方程

23不等式選講

23(I)5不等式選講絕對值不等式參數(shù)的值A(chǔ)運算求解0.8

23(II)5不等式選講絕對值不等式綜合不等式的證明B運算求解0.7

答案及解析

1.B【解析】易知A={y|y>0}.6=>?}={川日］—1）>0}=（-oo,0）U（l,+3）,所以AD

B=（l,+8）.故選B.

2.C【解析】因為復數(shù)z滿足之（1-i）=11-i|,即z（l—i）=慮，所以==舍=冬!±12=孝+考i.故

選C.

3.B【解析】根據(jù)圖象可知，高三年級學生平均學習時間沒有高二年級學生平均學習時間長，所以A選

項錯誤.根據(jù)圖象可知，中小學生平均睡眠時間都沒有達到《通知》中的標準，高中生平均睡眠時間最接

近標準，所以B選項正確.學習時間多于睡眠時間的有初二、初三、高一、高二、高三，占比得;而睡眠時

間多于學習時間的占比為荒，所以C選項錯誤.從高三到大學一年級，學習時間減少9.65-5.71-

3.94,睡眠時間增加8.52-7.91=0.61,所以D選項錯誤.故選B.

4.D【解析】設(shè)《a"的公差為/因為{”“}是等差數(shù)列，所以S?=7a/，則知+S?=8%=-16,得上=

一2.又恁=一%=2,所以d=與一?=1,從而a6=4-24=0,恁=%—4=-1,所以Sio=

o-q

l（）（a/電）=5（恁+恁）=-5.故選D.

5.A【解析】當?=0時產(chǎn)到八為）一如：）―>o,所以丁=/（外在（0,+8）上為增

JC2—為一#2

2023屆高考專家聯(lián)測卷（四）?理科數(shù)學參考答案第2頁（共11頁）

函數(shù).因為偶函數(shù)/(①)的定義域為(-8,0)U(0,+8),所以》=/(文)在(一8,0)上為減函數(shù).當

Z>0時,/(2：+1)>0=>/⑵+1)>0=八2),所以2才+1>2,所以1>會當H<0時,八2：+1)>。=

/(2x+l)<0=/(-2),所以27+1>—2,所以一得。<0,所以①正確，②錯誤.設(shè)g(#)=蜜，則

/(①1)/'(22)

曲￥興:譚：=咚圖!477>。，所以g(1)=黑是偶函數(shù)，且在

(0,+8)上為增函數(shù).又因為/(2)=0,所以不等式篝>0=>g(|川)>g(2),所以|川>2,所以z>

2或工<一2,所以不等式黑>0的解集為(-8,—2)U(2,+8),所以③正確，④錯誤.故選A.

6.B【解析】g(7)=(a—1)/—ax過原點，排除AC；當0Va<l,f(x)=log,a單調(diào)遞減,g(z)開口向

下，排除D.故選B.

7.C【解析】因為漸近線為y=±條,所以可設(shè)雙曲線C的方程為[-7=義,將(3,⑶代入得孝-

2

(笈)2X,即a=1,故雙曲線C的方程為噂一/=1,所以①正確.由題意，得/=3+1=4,故c=2,故

離心率為2=言=竽,所以②錯誤.雙曲線C的焦點坐標為(±2,0),而f(2)=e-2—1=0,所以〉=

292

eL2-l經(jīng)過雙曲線C的焦點(2,0),所以③正確.在全r一yz=l中，不妨令1=2,則g=],解得

5=土號.故過雙曲線C的焦點且垂直于實軸的直線截雙曲線C的弦長為等,所以④正確.故選C.

穴?57r

8.A【解析】由圖象可知，得=器一毋=￡=>T=n,所以7=紅=4=3=2.又\^=條,則y=

sin(2了+中)的圖象經(jīng)過點(g,—1),所以2?得+<p=^+2ki^(p=^-2hr,k€Z.由于0<中0^,所

以火=號，所以點P的坐標為(2,手).故選A.

9.B【解析】根據(jù)題意，不妨設(shè)這13個數(shù)組成依次遞增的等比數(shù)列為{a,,},公比為q,則田=1,田3=2,所

以=詈=2冽<1=淮，所以新插入的第四個數(shù)為詼=3)"=23.故選B.

10.C【解析】選①：因為AB為圓O的直徑，且AB=10,BC=6,所以△ABCzjr)

為直角三角形,AC=8.如圖，建立空間坐標系，則C(0,0,0),A(8,0,0),￡/

3(0,6,0).設(shè)七(4,0,八)">0,則這=(8,0,0),&=(0,6,0),碇=

(4,—6,/?),所以cos<CX,BS>=----3.+0+Q=cos60°■，所以h=~~~O

2悟,所以這=(4,0,2偌)，所以4?國=0+0+0=0,所以CELCB,且CE=2".因為E為AD

的中點，所以心3=白△比E?以=nw=4SAABC--。，所以9X￡義6X2"?以=得又/X

OOJ乙。乙

6X8X2乃,所以〃八=&■等.故選C.

2023屆高考專家聯(lián)測卷(四)?理科數(shù)學參考答案第3頁(共11頁)

選②:因為AB為圓O的直徑，口AB—10,BC—6,所以AABC為直角三角形,AC—8.乂CDJ_平面

ABC,所以CDLACCDLBC.設(shè)CD=/i.因為E為AD的中點，且三棱錐D—3EC的體積為16乃,

===-

所以^D-AI3C2V/>_/iKc^^E-Aiic32>/3，所以匕）-加紀?CD—[X-yX6X8?CD325/3,

所以CD=4悟，所以AD=/AC'+CD?=/64+48=4",所以在RtAACD中,CE=qAD=2".

因為BCJ_AC,BC，CD,ACnBC=C,所以BC,平面ACD.又因為CEU平面ACD,所以BC1CE,

所以匕EE=ySA￡rE?/“=匕,_甌=16點，所以《xaX6X2"?儲=16悟，所以hA=%筍.故

選C.

11.B【解析】假設(shè)OPLOC不成立.如圖1,當點O,Q重合時.此時點Q的軌跡為平面ABCD內(nèi)的一段

弧，且以。為圓心，故球心在過點。且垂直于平面ABCD的直線/上.如圖2,當點D在OP上變化

時,對于確定的點D,當點E變化時.點Q的軌跡為一段弧，球心在過點D且垂直于弧所在的平面的

直線上，該直線與直線/的交點即為球心.因為（）PJ_OC不成立，所以球心會隨著點D的變化而變

化.這與點Q的軌跡是球面的一部分矛盾，所以假設(shè)不成立，故。P_LOC,如圖3所示.乂OP1OA,

OA,OCu平面0ABe,OAnOC=O,所以故OP,底面OABC.因為D是。P上的動點，所以O(shè)DJ_底

面（MBC,得OD±OE.又Q為DE的中點，所以。2=+?！辏旱胊,即點Q的軌跡是以（）為球心擊

為半徑的看球面，其表面積為s=*X4G%=3",得a=26.故選B.

oo4

12.C【解析】（=0.6?>0,即r>0；6=log2（）.6<log2l=0且6=log20.6>log20.5=-1,即一1V6V0；

a=logo,62=*G（—8,—1）,即a<-l,因此,aV6Vc.故選C.

13.g【解析】因為2°-6=i—3j①,a+3b=lli+9j②，所以由①X3+②得7a=14，，則a=2i；由—2義

②+①得-7b=-217—21j,則b=3i+3J.因此，a?b=2i?（3z+3j）=6i2T6i?j=6,|a|=2,

\b\'=732+32=3A/2，所以cos〈a,b〉=q—f若訂==§,所以〈*6〉=寧,

1?1*62X37224

14.—120【解析】因為（2衛(wèi)+于乂1一-I"）的展開式中的各項系數(shù)的和為一3,令1=1,得（2+a）X

（_1）-3,所以。=1,所以（2%+等卜一町=（2]+!）（無一看）’=2兀卜一春）'+

!卜一，其中卜―的展開式中才的項為C4（-彳），即40?；（①—1）的展開式中片?的

項為C我2（一1]，即—所以（2①+與卜—1）’展開式中的常數(shù)項為2X（—80）+40=—120.

2023屆高考專家聯(lián)測卷（四）?理科數(shù)學參考答案第4頁（共11頁）

15.(1)(3,+8)(2)5【解析】因為宜線y―力+2與丁一3①=0的交點為(1,3),如圖1所示，所以要使

戶以+2,

不等式組1y—3/40,表示的平面區(qū)域是一個三角形，則Q的取值范圍是。＞3.當。=6時，作出可行

16.0【解析】設(shè)過焦點廠（1,0）的直線為7="9+1，且該直線交拋物線于點P（力，M）,A（502）.由已

[x=my-l,

知，得M（-1,0）.聯(lián)立方程組《得y2-472?J/-4=0,于是有v+”=4〃?,以”=一4.乂因

[y=4處

為M+心=丹]戔斤=+.V，且-\-y2Xi+）2=）1（〃?丁2-1）+?（〃2yl+

JC1-1JC2'15十丁？十十1

=,=

1）+（v+”）2???7I32+2（V+）2）2mX（—4）+2X4〃z=0,所以k}^k2=0.

17.(1)證明:若6=°時，則點。與點A重合，不滿足題意，故6Wc......................................................1分

因為AB=BD=CD,所以NA=NADB=2NC,

所以sinA=sin2c=2sinC?cosC?..........................................................................................................3分

由正弦定理及余弦定理，得a=2c?0晨、

即a2b=a2c-\-b2c—c3,

所以Q2(6-c)=((62-/),即(/(心—。)=c(6+c)(6—c)...................................................................5

因為所以b~c^=0,

所以Y=(、㈠+(、)，即a2=hcHr2,

所以6c=/—/..........................................................................................................................................6分

（口）解：由*=a2+c2-2ac?cosZABC及cosNABC=0,c=l,

lb

得62=1+1--ya......................................................................................................................................8分

o

由（I）知秘=/一汽，所以6=〃2-1,

所以（/—1）2=Y+1一

整理得8a3-24a+9=0.

令2a=f,得/一⑵+9=0,........................................................................................................................9分

即（f-3）（7+31-3）=0,解得力=3也=-3；儂“3=-3]莊＜0（舍去）..............io分

2023屆高考專家聯(lián)測卷(四)?理科數(shù)學參考答案第5頁(共11頁)

由h=a2-1>0,。>0,得故a=y=一VI舍去，所以a=y,.............................11分

所以S△他，?sinNABC=*XIXJ1-.........................................12分

18.解：(I)零假設(shè)為H。：喜愛觀看世界杯與性別無關(guān)聯(lián)....................................1分

根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到*=空凝普舞段器？=號g33.333>10.828=^,001.

.......................................................................................................................................................4分

根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，推斷Ho不成立，.................................5分

所以喜愛觀看世界杯與性別有關(guān)聯(lián)....................................................6分

(II)按照分層抽樣的方式抽取8人,其中男性觀眾6人，女性觀眾2人，

X的可能取值為-2,0,2,.............................................................................................................7分

P(X=-2)喑=1|,P(X=0)=譬=J,P(X=2)=粉表,..........................P分

所以X的分布列為：

X-202

15_3_1

P

28728

.......................................................................................................................................................12分

19.(I)證明:在△PBC中，因為M,N分別是P8.PC的中點，所以MN〃BC..............................1分

因為MNU平面A8CBCU平面ABC,......................................................................................2分

所以MN〃平面ABC......................................................................................................................3分

(口)解:在△ABC中，NACB是直角,CA=CB=2叔,P是斜邊AB的中點，

所以CPLAB,即CP，AP,CPJ_BP...........................................................................................4分

選條件①:BPJ_AC.

因為BPJLAC,CP_LBP,ACnCP=C,ACu平面ACP,CPu平面ACP,

所以BP_L平面ACP......................................................................................................................5分

又CPLAP,則以P為原點，可5,拓，可分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.

在△ABC中，ZACB是直角,CA=CB=2笈,P是斜邊AB的中點,所以CP=AP=BP=2,

所以P(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),.......................................................................6分

則第=(0,—2,2),9(0,0,2).

因為M,N分別是PB,PC的中點，

所以M(1.0.0),N(0.1,0),

所以就=(—1,1,0),就=(0,1,0)...........................................................................................7分

因為點Q是線段AC上的動點,所以可設(shè)芭=fCt=(0,-2t,2t),0WfWl,

所以范=就+0=(0,1,0)+(0,—2￡,2/)=(0,1—2如2$).....................................................8分

不妨設(shè)“(z，wz)為平面QMN的一個法向量，

\m,M?=(x,y,z)?(-1,1.0)=-J?-"->+0=0,

Iin,NQ=(T,y,z),(0,1-2/,2/)=0+(1—2i)y+2tz=0,

2023屆高考專家聯(lián)測卷(四)?理科數(shù)學參考答案第6頁(共11頁)

取丁=1,則m=(1,1,與

顯然談=(0,0,2)為平面CMN的一個法向量，.........................................9分

2t—1

I-p-\I0+0+2XF-

所以二面角Q-MN-C的余弦值為|cos〈孫豆4〉|=?7需—.……

..............................................................................................................................................................10分

河0+0+2X胃r-

由題意，得Icos</n,P^>I=好,即,—=好，

c+】y)&

解得￡=],........................................................................11分

所以奈=*......................................................................12分

選條件②:AS=AC.

在AABC中，ZACB是直角,CA=CB=2夜,P是斜邊AB的中點，

所以CP=AP=BP=2,CP_LAP,CP_LBP.....................................................................