物理學(xué)教程(第二版)-物理學(xué)教程下冊答案(第二版)

物理學(xué)教程下冊答

案9-16

第九章靜電場

9-1電荷面密度均為十”的兩塊“無限大”均勻帶電的平行平板如圖(A)

放置,其周四空間各點(diǎn)電場強(qiáng)度E(設(shè)電場強(qiáng)度力向向右為正、向左為負(fù))隨

位置坐標(biāo)K

題9-1圖

分析與解“無限大”均勻帶電平板激發(fā)的電場強(qiáng)度為4?，方向沿帶電平

2%

板法向向外，依照電場檔加原理"J以求得各區(qū)域電場強(qiáng)度的大小和方向.因

而正確答案為(B).

9-2卜列說法iE確的是()

(A)閉合曲而上各點(diǎn)電場強(qiáng)度都為冬時，曲面內(nèi)定沒有電荷

(B)閉合曲面上各點(diǎn)電場強(qiáng)度都為零時，曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和必定為零

(C)閉合曲面的電通量為零時，曲而I：各點(diǎn)的電場強(qiáng)度必定為軍

(D)閉合曲而的電通量不為零時，曲面上任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度都不可能為專

分析與解依照靜電場中的高斯定理，閉介仙而上各點(diǎn)電場強(qiáng)度都為零時，

曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和必定為零,但不能肯定曲面內(nèi),曲沒有電荷：閉合曲而

的電通量為岑時，表示穿入閉合曲面的電場線數(shù)等于穿出閉合出面的電場線

數(shù)或沒布■電場線穿過團(tuán)介曲面，不能確定曲面上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度必定為本：

同理閉合曲面的電通量不為零，也不能推斷曲加上任意,點(diǎn)的電場強(qiáng)度都不

可能為零，因而正確答案為（B）.

9-3下列說法正確的是（）

（A）電場強(qiáng)度為岑的點(diǎn)，電勢也?定為零

（B）電場強(qiáng)度不為零的點(diǎn).電勢也定不為零

（O電勢為零的點(diǎn)，電場強(qiáng)度也?定為零

（D）電勢在某?區(qū)域內(nèi)為常量.則電場強(qiáng)度在該區(qū)域內(nèi)必定為專

分析與解電場強(qiáng)度\電勢是描述電場的兩個不同物理量，電場強(qiáng)度為零發(fā)

示試抬電荷布該點(diǎn)受到的電場力為零，電勢為零表示符試驗(yàn)電荷從該點(diǎn)移到

參考零電勢點(diǎn)時,電場力作功為零，電場中一點(diǎn)的電勢等于單位正電荷從該

點(diǎn)沿任意路徑到參考零電勢點(diǎn)電場力所作的功；電場強(qiáng)度等于負(fù)電勢梆度.

因而正確答案為（D）.

*9-4在一個帶負(fù)電的帶電棒附近有一個電偶極子,其電偶極矩p的方向

如圖所示，當(dāng)電偶極子被釋放后，該電偶極子將（）

（A）沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)直到電偶極矩p水平指向薄尖端而停止

（B）沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)至電偶極矩p水平?指向林尖端，同時沿電場線方I句

朝著棒尖端移動

（C）沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)至電偶極矩p水平指向除尖端，同時逆電場線方向

朝遠(yuǎn)離棒尖端移動

（D）沿順時針方向旋轉(zhuǎn)至電偶極知p水平方向沿松尖端朝外，同時沿電場

線方向朝著棒尖端移動

題94圖

分析與解電偶極子在非均勻外電場中，除「受到力矩作用使得電偶極子指

向電場方向外,還將受到個指向電場強(qiáng)度增強(qiáng)方向的合力作用,因而正確

答案為（B）.

9-5精密實(shí)驗(yàn)表明.電廠與質(zhì)子電星■差他的最大落用不會超過±10''e.

而中子也信寫零差『［的最大范圍也不會超過±10」、由被極端的情況考

慮，?個有飛個電子，8個質(zhì)子和8個中子構(gòu)成的輒原子所帶的量人可能凈電

荷足彩少？若將原子視作頂點(diǎn)，試比較兩個氧原f間的庫侖力和h仃引力

的大小.

分析芍虐到極限情況，假設(shè)電子與質(zhì)子電量差值的最大范圍為"lO’L.

中子電量為10,e.則由一個較原子所包含的8個電子、8個質(zhì)子和8個中子

可求原子所帶的最大可能凈電荷.由庫侖定律可以估算兩個帶電氧原子間的

庫侖力.弁與萬有引力作比較.

解?個氯原子所帶的最大可能凈電荷為

-=0+2)X8X1(F隈

一個氧原子間的庫侖力與萬行引力之比為

6

三=9M,=2.8x10?1

P；4陷)G”

牯然即使電子、質(zhì)子、中子等微觀粒子帶電最存在差異，其般異在±10"e

范用內(nèi)時，對丁?像天體類電中性物體的運(yùn)動，起］；.要作用的還是力行引力.

9-61964年，蓋爾蛀等人提出基本粒子是由更基本的夸克構(gòu)成，中子就是

由個帶的上夸克和兩個帶-je的卜.夸克構(gòu)成.若將夸克作為經(jīng)典校

了處理(夸克線度約為10-"m),中子內(nèi)的兩個下夸克之間相距2-6010-'m.

求它們之間的相互作用力.

解由廣夸克可視為經(jīng)典點(diǎn)電荷,由昨侖定律

P=/華C=盧46=378N)e,

47r￡0r4兀jr

F與徑向單位矢量程方向相同表明它們之間為昨力.

9-7點(diǎn)電荷如圖分布，試求產(chǎn)點(diǎn)的電場強(qiáng)度.

分析依照電場登加原理，/嫌的電場強(qiáng)度等r各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時在尸點(diǎn)激

發(fā)電場強(qiáng)度的矢量和.由于電荷量為刷對點(diǎn)電荷在M激發(fā)的電場城度大

小相等、方向相反而相U抵消，M的電場強(qiáng)度就等廣電荷hi為2.o網(wǎng)點(diǎn)電

荷在該點(diǎn)單獨(dú)激發(fā)的場強(qiáng)度.

解根據(jù)上述分析

E=―!___如_=__￡

''4?！?。(a/v2)2Fa2

23

題9-7圖

9-8若電荷0均勻地分布在長為/一的細(xì)棒上.求證：(D在棒的延長線，

旦離棒中心為『處的電場強(qiáng)度為

E=J__Q_

ne(,4廠-1}

(2)在棒的垂直平分線匕離棒為r處的電場強(qiáng)度為

E，，,

2%rJ4r，+11

若棒為無限長(即8),試將結(jié)果與無限長均勻帶電出線的電場強(qiáng)度相比

較.

(a)(b)

題9-8圖

分析這是計算連續(xù)分布電荷的電場強(qiáng)度.此時棒的長度不能忽略，因而不

能將棒'，作*電荷處理.但帶電細(xì)棒上的電荷可看作均勻分布在一維的長直

線上如圖所示,在長直線上任意取一線元Ck,其電荷為dq=gk/L它在

點(diǎn)〃的電場強(qiáng)度為

整個帶電體布點(diǎn)尸的電場強(qiáng)發(fā)

E=jdE

接著針對具體問題來處理這個矢量積分.

(1)若點(diǎn)P在棒的延長線匕帶電棒上各電荷元在點(diǎn)尸的電場強(qiáng)度方向相

向，

E=[dEi

(2)若點(diǎn)P在棒的垂直平分線上,如圖⑸所示，則電場強(qiáng)度￡沿“軸方向

的分吊因?qū)ΨQ性疊加為零,因此，點(diǎn)「的電場強(qiáng)度就是

E=jd￡\/=J$inad￡j

證(1)延長線上一點(diǎn)尸的電場強(qiáng)度E=f—^―,利用幾何關(guān)系，?'

,2兀曠

-r統(tǒng)一積分變量.則

E1?純0「11]=1Q

P2TKx)27U'4r3-[}

4(1L{r-4nf：uL_r-LUr+L/2^(I

電場強(qiáng)度的方向沿x軸.

(2)根據(jù)以上分析，中垂線上一點(diǎn)戶的電場強(qiáng)度￡的方向沿y軸，大小為

E=[一些歿d￡

J4——2

利用幾何美系sin?=r/r,,/=7r2+x2統(tǒng)一積分變最，則

_產(chǎn)|rQdxQ1

F'24兀/乩1+r2產(chǎn)-2兀J獷+一

當(dāng)棒長S=?時,若棒單位長度所帶電荷，為常量，則P點(diǎn)電場強(qiáng)度

1Q!L

E=lim

Jf82叫rJ1+4//Z?

2%r

此結(jié)果與無限長帶電百線周圍的地場強(qiáng)度分布相同[圖(b)].這說明只要滿

足/〃2<<1,僭電長直細(xì)棒可視為無限反帶電直線.

9-9半徑為/?的半球殼，均勻地帶書■電荷，電荷加密度為。，求球心處

電場強(qiáng)度的大小.

題9-9圖

分析這仍是?個連續(xù)帶電體問翹，求解的美銀在于如何取電荷元.現(xiàn)將半

呼域分劃為組乎行的細(xì)圓環(huán)，如圖所示,從敕材第9—3節(jié)的例2可以看出.

所有平行圓環(huán)在軸線卜夕處的電場強(qiáng)度方向都相同，將所不帶電圓環(huán)的電場

強(qiáng)度積分，即可求得球心"處的電場強(qiáng)度.

解將半球殼分割為粗平行細(xì)圓環(huán)，任?個圓環(huán)所帶電荷元

dg=如=3?2兀/???sin，在苴徽發(fā)的電場強(qiáng)度為

,工1xdq,

*砌一+/嚴(yán)’

由于平行細(xì)圓環(huán)在點(diǎn)。做發(fā)的電場強(qiáng)度方向相同,利用兒何關(guān)系

x二Reos。，「=Rsin6統(tǒng)枳分變量，仃

1xdqIReosa

d￡二/NnWsinGde

2}

4兀%(x+/14兀/R

=-^-sin0cos6ti0

2瓦,

積分得￡=r-一■sinecos閔6=^-----

」，2%4%

9-10水分子H20中軌原子和氫原子的等效電荷中心如圖所小，假設(shè)找原

子和氧原子等效電荷中心間距為內(nèi).試計算在分子的對稱軸線上,距分子較

遠(yuǎn)處的電場強(qiáng)度.

p，

題9-10圖

分析水分子的電荷模型等效于兩個電偶極r,它們的電偶極矩大小均為

P?=%，而夾角為2夕掙加后水分子的電偶極矩大小為p=ZeqcosJ,方

向沿對稱軸線,如圖所示.由于點(diǎn)0到場點(diǎn)A的距離上>>r9.利用教材第

5-3節(jié)中電偶極了?在延長線上的電場強(qiáng)度

4%x

可求得電場的分布.也可由點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度疊加,求電場分布.

解1水分廣的電偶極矩

〃=2〃（卜cos?=2%ccs8

在電偶極知延長線上

12"_14e〃cos0_1ercosff

'=~tT~=,=uz

4跖°x4形°JTitqx

解2在對稱軸線上任取一點(diǎn)J,則該點(diǎn)的電場強(qiáng)度

E=E_+E.

2efCOsG2e

E=2E、3Sp-E=

4映/4麻口廠

由于r2=x2+72-2.%cos"

工fjCosG

cos//

代入得

2e

b戶=------x--一--〃--c-o--s-。--------...1

4元島（x2+寸-2x^cos8丫.丁

測嵌分子的電場時，總有了>>r0，因此，式中

（X——2%cos。尸

，將上式化簡并略去微小吊后，得

.._1/ecosO

嗎xi

9-11兩條無限長平行直存線相距為為，均勻帶有等量異號電荷，電荷線

密度為Z（1）求兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上任點(diǎn)的電場粥度（設(shè)該點(diǎn)到其中

線的垂直距周為動：（2）求每根球線上單位長度導(dǎo)線受到另一根導(dǎo)線上電

荷作用的電場力.

題9-11圖

分析（1）在兩恃線構(gòu)成的平面上任點(diǎn)的電場強(qiáng)度為兩導(dǎo)線單獨(dú)在此所

激發(fā)的電場的疊加.

（2）\\\F=qE,單位長度導(dǎo)線所受的電場力等于另根導(dǎo)線在該導(dǎo)線處的電

場強(qiáng)度乘以單位長度導(dǎo)線所帶電子，即；F=/￡.應(yīng)該注意：式中的電場強(qiáng)

度E是另一根帶電導(dǎo)線激發(fā)的電場強(qiáng)度，電荷口身建M的電場不會對自身電

荷產(chǎn)生作用力.

解⑴設(shè)點(diǎn)■用線構(gòu)成的平面上,及、￡分別表示iF.、負(fù)帶電導(dǎo)線在尸點(diǎn)

的電場強(qiáng)度，則有

211

=....-+-----

2兀%（X

=%%j

2兀/血-x）

(2)設(shè)尸+、F分別表示正、負(fù)帶電導(dǎo)線單位長度所受的電場力,則有

顯然有尸+=下.相互作用力大小相等，方向相反，兩導(dǎo)線相互吸引.

9-12設(shè)勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E與半徑為R的步球面的對標(biāo)軸平行，試計

與通過此半球面的電場強(qiáng)度通最

題9-12圖

分析方法1：作半徑為火的平而S,半球面S?起可構(gòu)成閉合曲面,由于?閉

合面內(nèi)無電荷，由高斯定理

[EdS=—=0

eo

這衣明穿過閉合曲曲的凈通量為零，穿入平面S'的電場面度通量在數(shù)值H.

等于穿山半球面S的電場強(qiáng)度通用.因而

0=廬d5二十心

方法2：由電場強(qiáng)度通量的定義.對半球面S求積分,即叱=1E-d5

解I山干閉合曲曲內(nèi)無電荷分布,根據(jù)高斯定理，有

G=廬d5=/?

依照約定取閉合曲面的外法線方向?yàn)槊尕?lt;15的方向，

◎=-E-TIR'COSTt=TIR1E

解2取球坐標(biāo)系,電場強(qiáng)度矢景和加元在球坐標(biāo)系中可表示為

E=f(cos",“+sin^cos6/ff?+sin夕sineej

2

dS=RsinOd()der

0=d5=[ER-in'/in0d初。

=，ER'sin’網(wǎng)6jsin伊d<p

=nR'E

9-13地球周圍的大氣猶如?部大電機(jī)，由于雷雨云和大氣氣流的作用,

在晴大區(qū)域,大氣電離層總是帶有大鼠的正電荷，云層門也球表面必然帶行

負(fù)電荷.晴天大氣電場平均電場強(qiáng)度約為120Vm方向指向地面.試求

地球灰血單位面枳所帶的電荷(以每平方理米的電尸數(shù)表示)，

分析考慮到地球表面的電場強(qiáng)度指向地球球心,在大氣層中取，地球同心

的球而為高斯面.利用高斯定理可求得高斯血內(nèi)的凈電荷.

解隹大氣層臨近地球表面處取與地球表面同心的球面為高斯而，箕、r徑

R^R,.(.RE為地球平均半衿).由高斯定理

cf￡dS=-E4w&=—Yv

J一q

地球表面電荷,面密度

b=.g/4喇=一題￡=-1.06x10"C-m2

單位面枳額外電「數(shù)

n=<T/(-??)—6.63x105cm-，

9-14i?殳在半徑為脩勺球體內(nèi)電荷均勻分布,電詞體密慢為P,求帶電球內(nèi)

外的電場強(qiáng)度分打.

分析電荷均勻分布在球體內(nèi)9球?qū)ΨQ，帶電球激發(fā)的電場也不球?qū)ΨQ性.

根據(jù)靜電場是有源場,電場強(qiáng)度應(yīng)該沿徑向球?qū)ΨQ分布.因此可以利用高斯

定理求得均勻帶電球內(nèi)外的電場分布,以帶電球的球心為中心作同心球血為

高斯面，依照高斯定理TT

2

《石(15=4m-E=—

，/

I：式中。，是高斯面內(nèi)的電荷量，分別求出處廣帝電坤內(nèi)外的高斯面內(nèi)的電

荷量，即M求得帶電球內(nèi)外的電場強(qiáng)度分布.

解依照F:述分析，由商斯定理可得

r<RIlf,4兀=

/3

假設(shè)球體帶正電荷，電場強(qiáng)度方向沿徑向朝外一考慮到電場強(qiáng)度的方向,帶

電球體內(nèi)的電場強(qiáng)度為

E=上-尸

r>R時，4Tt產(chǎn)E=——iiR3

3

考慮到電場強(qiáng)度沿徑向朝外，帶電球體外的電場強(qiáng)度為

E=------e

3%”

9-15兩個帶有等策異號電荷的無限長同軸圓柱面，半徑分別為均和外

(總》凡)，單位長度上的電荷為X.求離軸線為r處的電場強(qiáng)度;⑴r<

Ri,(2)R\<r<R2，(3)r>R2.

t:\

題9-15圖

分析電荷分布在無限長同軸圈柱面匕電場強(qiáng)度也必定沿軸對稱分布，取

同軸圓柱面為高斯而，只有側(cè)面的電場強(qiáng)度通量不為?零，且

jEdS=E-2nrL,求出不同半徑高斯間內(nèi)的電荷￡q,即可解得各區(qū)域

電場的分布.

解作同軸圓柱而為高斯面，根據(jù)高斯定理

E-2iwL=><//.

r<R\,Z[=0

E[=0

A|<r<RZ,工q=江

￡'=J-

?2%廠

r>Ri￡q=o

E,=0

在:帶電向附近，電場強(qiáng)度大小不連續(xù)，如圖(b)所示，電場強(qiáng)度有一躍變

xAa

A￡==---------=—

2ncorL/

9-16如圖所示，布,三個點(diǎn)電荷Qi、Q：、0沿一條百線等間距分布且

01=。3=Q.已知我中任一點(diǎn)電荷所受合力均為零，求在固定0、Q的

情況3將0從點(diǎn)借多到無方遠(yuǎn)處外力所作的功.

OioQiG

題9-16圖

分析由庫侖方的定義，根據(jù)、03所受合力為零可求得外力作功獷

應(yīng)等」電場力作功"的負(fù)值，即眇"=一叱求電場力作功的方法有兩種：

（1）根據(jù)功的定義，電場力作的功為

W=J,QEd/

其中￡是點(diǎn)電荷a、0產(chǎn)生的合電場強(qiáng)度.

（2）根據(jù)電場力作功與電勢能差的關(guān)系，仃

%=2（匕一匕）=。2匕

其中％是0、03在點(diǎn)。產(chǎn)生的電勢（取無窮遠(yuǎn)處為零電勢）.

解1由題意0所受的合力為年

Q,Q,+Q,-=0

4JTE/~4jt￡0（2rf）*

解得a=-；Q、=-；Q

44

由點(diǎn)電荷電場的登加，a、Q激發(fā)的電場在y軸上任意?點(diǎn)的電場強(qiáng)度為

￡=%+%'=2兀嚴(yán)

將a從點(diǎn)。尚；軸移到無窮遠(yuǎn)處，（沿其他路徑所作的功相同，請想想

為什么？）外力所作的功為

仍r?！豢?包力吟丹丁dk懸

解2與解1相同,在任一點(diǎn)電荷所受合力均為零時。,=-10,并由電勢

4

的容加得?、03在點(diǎn)。的電勢

匕=。、

“4叫d4叫〃2叫d

將a從點(diǎn)o推到無窮遠(yuǎn)處的過程中.外力作功

比較上述兩種方法，顯然用功，電勢能變化的關(guān)系來求解較為簡潔.這是因

為在:許多實(shí)際問邂中宜接求電場分布用難較大，而求電勢分布短箍單w.

9-17已知均勻帶電長直線附近的電場強(qiáng)度近似為

MA

E=-------e,

2ir%r

其中尤為電荷線密度,（］）求在r=廠|和，=，.？兩點(diǎn)間的電勢差；（2）在點(diǎn)電荷

的出場申，我們曾取L8處的電勢為零，求均勻帶電氏直線附近的電勢時,

能有這樣取？試說明.

解（D由于電場力作功與路鐸無關(guān)，若沿徑向枳分，則有

（2）不能,嚴(yán)格地講，電場強(qiáng)度E=—斗只適用尸無限長的均勻帶電宜

2nc（,r

線，而此時電荷分布在無限空間，L8處的電勢應(yīng)叮直線上的電勢相等.

9-18一個球形雨滴半徑為0.40mm,帶有電量L6pC,它表面的電勢右多

大？兩個這樣的雨滴相遇后合并為一個較大的雨滴，這個雨滴表面的電坍

乂是多大？

分析取無窮遠(yuǎn)處為零電勢參考點(diǎn)，半徑為R帶電量為q的帶電球形雨滴

表面電勢為

4叫R

當(dāng)兩個球形雨滴合并為個較大雨滴后，半徑增大為啦R,代入上式后可

以求出兩附滴相遇合并后,雨滴表血的也勢.

解根據(jù)已知條件球形雨滴半鈴R=0.40mm.帶有電晶%=1.6pC,可以

求得帶電球形雨清農(nóng)面電勢

匕工」一曳=36V

4嗎4

當(dāng)兩個球形雨滴合并為一個較大雨滴后，雨滴半徑&=啦凡，帶行電量

例=2%，制滴表面電勢

匕=?2=57V

9-19電荷面密度分別為+c和一”的兩塊“無限大”均勻帶電的平行平板.

如圖(a)放置，取坐標(biāo)原點(diǎn)為專電勢點(diǎn)，求空間芥點(diǎn)的電勢分布井畫力電勢

分析由于“無FN人”均勻帶電的平行平板電荷分布在“無限”空間，不能

采用點(diǎn)電荷電勢會加的方法求電勢分布：應(yīng)該首先由“無限大”均勻帶電平

板的電場強(qiáng)度捺加求電場強(qiáng)度的分布，然后依照電勢的定義式求電辭分布.

解由“無限大”均勻帶電平板的電場強(qiáng)度土，-九通加求得電場強(qiáng)度的

2%

分布，

0(x<-a)

E=<—I(-d<X<￡7)

好

0(x>a)

電勢等「移動單位正電荷到等電勢點(diǎn)電場力所作的功

E?d/二-"工(-a<x<〃)

%

r=d/+j*￡d/=—(x<-a)

%

K=￡Ed/+￡Ed/=--a(x>a]

中勢變化曲線如圖（b）所示.

9-20兩個同心球面的半徑分別為凡和尺,各自帶有電荷Qi和。2.求:

（I）各區(qū)域電勢分布,并畫出分布曲線；（2）兩球面間的電勢差為多少?

速9-20圖

分析通?？刹捎脙煞N方法.

方法（】）由于電荷均勻分布在球面上，電場分布也具打球?qū)ΨQ性，因此，可

根據(jù)電勢9電場強(qiáng)度的枳分關(guān)系求電勢.取同心球而為高斯面.借助高斯定

加可求得各區(qū)域的電場強(qiáng)度分布，再市匕,=|￡?（］/可求得電勢分布.⑵

利用電勢件加原理求電勢.?個均勻帶電的球面,在球面外產(chǎn)生的電勢為

Q

4兀尸

在球面內(nèi)電場強(qiáng)度為零，電協(xié)處處相等，等于球面的電勢

r=—^―

4%衣

其中R是球面的卜徑.根據(jù)上述分析，利用電勢登加原理,將兩個球面在各

區(qū)域產(chǎn)生的電勢疊加，可求得用勢的分布.

解1（1）由高斯定理可求得電場分布

￡,=0

Qx

,>,e,(/?,<r</?2)

4冗%廠

瑪=e,(r>7?J

4mo產(chǎn)

由電勢/=[￡?<!/可求得各區(qū)域的電勢分布.

當(dāng)rW吊時,有

'f.-dZ+f￡2d/+(￡rd/

=。+21+0+02

庭°[&

4R24it還R2

g.,Qz

4叫A4%&

當(dāng)描WrWR1時，有

匕=『當(dāng)d/+[盧d

_01?0+。2

4%用4%&

Q、Q：

4叫/4nc07?,

當(dāng)&時，有

匕=「心必=生2

」4叫,

(2)兩個球面間的電勢?差

1

與d/二Q\

4%R2)

解1(I)由各球面中.勢的疊加計第電勢分布.若該點(diǎn)位「兩個球而內(nèi),即r

W%,則

匕二0、。2

4股禺4%為

若謨點(diǎn)位丁?兩個球而之間,即KWY于，則

匕=-^+2

4%/4吟R?

若該點(diǎn)位于兩個球面之外，即r三尺，則

y=。+&

4叫/

（2）兩個球面間的電勢差

42=（匕一匕》1=7^—7^

1

4兀7舄4xe0/?,

9-21-半徑為R的無限長帶電細(xì)棒，其內(nèi)部的電荷均勺分布，電荷的體

密度為小現(xiàn)取柞衣面為手電勢，求空間電勢分布并畫出分布曲線.

題9-21圖

分析無限長均勻帶電細(xì)悻電荷分布呈軸對稱.其電場和電勢的分布也呈軸

對稱.選取同軸柱而為而斯而,利用高斯定理

—jpdK

川求得電場分布￡6九再根據(jù)電勢弟的定義

匕一匕=/鳳??山

并取棒表血為零電勢（及=0）,即可得空間任意點(diǎn)〃的電勢，

解取高度為/、半徑為r且與帶電棒同軸的圓柱面為高斯面，山高斯定理

當(dāng)rWAH-J-

E-2nrl=nr'lp/s?

得

當(dāng)r2Kll'f

E-2mi=izR'ip!

得

取棒表面為零電勢,空間電勢的分布仃

當(dāng)rWR時

當(dāng)尸》??時

如圖所示是電勢y隨空間位置卜的分布曲線.

9-22一腳盤半徑R=3.(X)“10,m.圓盤均勻帶電，電荷而密度“二2.00

5,?

xioCm*.(1)求軸線上的電勢分布；(2)根據(jù)電場強(qiáng)度與電勢梯度的

關(guān)系求電場分布：(3)計算離盤心30.0cm處的電勢和電場強(qiáng)度，

題9-22圖

分析將圓盤分割為一組不同半徑的同心帶電細(xì)端環(huán),利用帶電細(xì)環(huán)軸線I；

?點(diǎn)的電淤公式.將不同半徑的帶電圓環(huán)在軸線匕?點(diǎn)的電勢積分相加，即

可求得帶電圓盤在軸線上的電勢分布，再根據(jù)電場強(qiáng)度與電勢之間的微分關(guān)

系式可求得電場強(qiáng)度的分布.

解(1)如圖所示，圓盤I：半徑為/的帶電和圓環(huán)在軸線上任一點(diǎn)/激發(fā)的電

勢

1a2nrdr

4%”+/

由電勢登加，軸線上任一點(diǎn)P的電勢的

(2)軸線IJT點(diǎn)的電場強(qiáng)度為

電場強(qiáng)度方向沿x軸方向.

(3)將場點(diǎn)至盤心的距離x=30.0cm分別代入式⑴和式(2),得

V=\691V

f=5607V'm-'

當(dāng)x>>R時，圓盤也可以視為點(diǎn)電荷，其電荷為0==5.65X10-sC.

依照點(diǎn)電荷電場中電勢和電場強(qiáng)度的計算公式，有

r=—2—=1695V

4TOOX

F=—S—=5649V-m1

4nff0.v

由此可見，當(dāng)x>>R時,可以忽略圓盤的幾何形狀，而將帶中的圓盤當(dāng)作

點(diǎn)電荷來處理.在本就中作這樣的近似處理，上和I但J誤差分別不超過

0.3%和0.8%,這已足以滿足般的測量精度.

9-23兩個根長的共軸圓柱面(%=3.0X10/m,%=0.10m),帶有

等量異號的電荷,兩者的電勢差為450V.求：(1)圓柱面單位氏度上帶有

多少電荷？(2)r=O.05m處的電場強(qiáng)度一

解(D由習(xí)題9一15的結(jié)果，可得兩圓柱而之間的電場強(qiáng)度為

￡=—^―

根據(jù)電勢"的定義TT

D

R1

解得2=2TOot/I2/ln-^=2.1xWCm^

⑵解得兩圓柱面之間r=0.05m處的電場強(qiáng)度

￡=—^—=7475Vm

2u￡ar

9-24輕原子核（如氮及其同位素笊、就的原子核）緒合成為較重原了核的

過程，叫做核聚變.在此過程中可以釋放出巨大的能量:.例如四個氫原子核

（質(zhì)子）結(jié)合成?個依原子核（a粒子）時，可釋放出25.9MW的能晝.即

4：Hf：He+2：e+25.9MeV

這類聚變反應(yīng)提供了太陽發(fā)光、發(fā)熱的能源.如果我們能在地球上'實(shí)現(xiàn)核聚

變.就能獲得千薪廉價的能源.但足要實(shí)現(xiàn)核聚變難度相當(dāng)大,只有在極高

的溫度F.使原子熱運(yùn)動的速度北常大.才能使原子核相碰而結(jié)分，故核聚

變反應(yīng)又稱作熱核反應(yīng).試估算：（D一個質(zhì)/（；H）以多大的動能（以電子

伏特去，J0運(yùn)動，才能從很遠(yuǎn)處到達(dá)。另?個質(zhì):相接觸的距離？⑵平均

熱運(yùn)動動能達(dá)到此值時，泯度有多高？（質(zhì)子的半徑約為1.0X1015m）

分析作為估算，可以將質(zhì)子上的電荷分布看作球?qū)ΨQ分布，因此質(zhì)子周國

的電勢分布為

將質(zhì)r作為經(jīng)典粒「處理，"1另質(zhì)「從無窮遠(yuǎn)處以動能小飛向該質(zhì)「時，

勢能增加，動能減少，如能克服庫侖斥力而使兩質(zhì)廣相研，則質(zhì)廣的初始幼

能

p>V1e

''IC。一群ey2R

4兀.,2R

假設(shè)該氫原廣核的初始功能就是氫分『熱運(yùn)動的平均動能，根據(jù)分r動理論

知：

3

Ek=kT

2

由上述分析可估算HI質(zhì)子的動能和此時氧氣的溫度.

解(1)兩個質(zhì)子相接觸時勢能最大，根據(jù)能最守恒

5

￡KO-e，'2R--=7.2xlOeV

4啊/2R

由￡l0=~mv；,可估算出質(zhì)子初始速率

1

vQ=,2%/〃?=12x10'rns"

該速度已達(dá)到光速的4%.

(2)依照上述假設(shè)，質(zhì)子的初始動能等于氮分子的平均功能

%=Ek=：仃

得7=±5^?5.6X|09K

3k

實(shí)際L在這么鬲的溫度下.中性原f已被離解為由廣和正離『，稱作等離f

態(tài),"i溫的等離子你不能用常規(guī)的容器來約束，乂能采用磁場來約束(托卡

馬克裝置)

9-25在一次典型的閃電中，兩個放電點(diǎn)問的電勢差約為10"V,被遷移

的電荷約為30c(1)如果釋放山來的能量都用來使0t的冰融化成0匕的

水，則可溶解多少冰？(冰的融化熱L=3.34X10,Ikg)(2)假設(shè)每個

家庭?年消耗的能量為3OOOkWh.則可為多少個家庭提供年的能量消

耗？

解(1)若閃電中釋放出來的全部能優(yōu)為冰所吸收，故可融化冰的質(zhì)中

m==8.98x104kg

即可融化約90噸冰.

(2)?個家庭?年消耗的能量為

&=3OOOkWh=1.08x1O'"J

怔qU”

n-二-——2.8

E“E?

一次閃電在極短的時間內(nèi)釋放出來的能審納可維持3個家庭一年消耗的電

能.

9-26已知水分子的電偶極知17X10Cm.這個水分子在電場強(qiáng)度

4-1.0X10Vm'的電場中所受力矩的最大仙是多少？

分析與解在均勻外電場中?電偶極廣所受的力矩為

M=pxE

當(dāng)電偶極子與外電場正交時，電照極子所受的力捧取最大值.因而有

=p￡=6.17xl0^Nm

9-27電了束焊接機(jī)中的電r槍如圖所示,K為陰極,A為陽極.陰極發(fā)射的

電『在陰極和陽極電場加速下聚集成-細(xì)束，以極高的速率穿過陽極上的小

孔，射到被焊接的金屬上使兩塊金屬熔化在起.已知U&K=2.5x10"V.

并設(shè)電:從陰極發(fā)射時的初速度為零，求：（1）電子到達(dá)被焊接金屬時具

有的功能：（2）電子射到金屬上時的速度.

分析電r被陰極和陽極間的電場加速獲得幼能，獲得的動能等于電r

在電場中減少的勢?能.由電子動能與速率的關(guān)系可以求得電子射到金福上時

的速度.

解（1）依照上述分析，電子到這被焊接金屬時具行的動能

氏=eU&*=2.5x104eV

⑵由于電子運(yùn)動的動能遠(yuǎn)小于電子靜匕的能量,可以將電戶當(dāng)做經(jīng)典粒子

處理.電子射到金屈上時的速度

題9-27圖

第十章靜電場中的導(dǎo)體與電介質(zhì)

10-1將一個帶正電的帶電體A從遠(yuǎn)處移到一個不帶電的導(dǎo)體B附近，則

導(dǎo)體B的電勢將()

(A)升高(B)降低(C)不會發(fā)生變化(D)無法確定

分析與解小帶電的導(dǎo)體B相對無窮遠(yuǎn)處為零電勢.由「帶k電的帶電體A

移到不帶電的導(dǎo)體B附近時，在導(dǎo)體B的近端感應(yīng)依電荷；在遠(yuǎn)端感應(yīng)正電

荷，不帶電導(dǎo)體的電勢將高于無窮遠(yuǎn)處,因而正確答案為(A).

10-2將-帶負(fù)電的物體M佬近?不帶電的導(dǎo)體N.在N的左端感應(yīng)出正電

荷，右端感同出負(fù)電荷.若將導(dǎo)體N的左端接地(如圖所示),則()

(A)N上的負(fù)電荷入地(B)N上的正電植入地

(C)N上的所有電荷入地(D)N上所有的感應(yīng)電荷入地

題10-2圖

分析與解導(dǎo)體N接地表明導(dǎo)體N為零電勢，即U無窮遠(yuǎn)處等電勢，這I導(dǎo)

體N在哪一端接地?zé)o關(guān).因而正確答案為(A).

10-3如圖所示將?個電量為q的點(diǎn)電荷放在?個半徑為R的不帶電的好

體球附近.點(diǎn)電荷距導(dǎo)體球球心為d,參見附圖.設(shè)無力遠(yuǎn)處為零電勢,則在

導(dǎo)體球球心。點(diǎn)有《）

（A）￡=0,K=—(B)E=—=—^—

4叫d4ra;(>/4M0

題10-3圖

分析與解達(dá)到臨電平衡時學(xué)體內(nèi)處處件點(diǎn)電場面度為零.點(diǎn)電荷g在導(dǎo)

體球表面感應(yīng)等后異號的感應(yīng)電荷土外導(dǎo)體球表面的感應(yīng)電荷士g在球心

。點(diǎn)激發(fā)的電勢為零.O點(diǎn)的電勢等丁點(diǎn)電荷g在該處激發(fā)的電勢.因而正

確答案為（A）.

10-4根據(jù)電介質(zhì)中的高斯定理，在電介質(zhì)中電位移矢量沿任意,個閉介

曲面的枳分等于這個曲面所包圍自由電荷的代數(shù)和.卜列推論正確的是（）

（A）若電位移矢量沿任意一個閉合曲面的積分等于零,曲面內(nèi)一定沒有

自由電荷

（B）若電位移矢鼠沿任意一個閉合曲面的枳分等于零，曲面內(nèi)電荷的代

數(shù)和一定等于零

（C）若電位移矢量沿任意個閉合曲面的積分不等于零，曲面內(nèi)一定有

極化電荷

（1））介質(zhì)中的高斯定律表明電位移矢觸僅僅與H由電荷的分布有關(guān)

（E）介質(zhì)中的電位移矢量與口由電荷和極化電荷的分布有關(guān)

分析與解電位移矢量沿任意?個閉合曲面的通量積分等于零，發(fā)明曲面

內(nèi)自由電荷的代數(shù)和等丁?零：山于電介質(zhì)會改變自由電荷的空何分布,介質(zhì)

中的電位移矢量與自由電荷與位移電荷的分布TT關(guān).因而正確答案為(E).

io-5對r?各向同性的均勻電介質(zhì)，卜列概念正確的足()

(A)電介質(zhì)充滿挖個電場并乩自由電荷的分布不發(fā)生變化時，電介法中

的電場強(qiáng)度定等于沒有電介質(zhì)時該點(diǎn)F|j場強(qiáng)咬的l/e,倍

(B)電介質(zhì)中的電場強(qiáng)度定等于沒行介質(zhì)時該點(diǎn)電場強(qiáng)度的"5倍

(C)在電介質(zhì)充滿整個電場時，電介質(zhì)中的電場強(qiáng)度?定等于沒杓電介

質(zhì)時該點(diǎn)電場強(qiáng)度的倍

CD)也介質(zhì)中的電場強(qiáng)度一定等于沒為介質(zhì)時該點(diǎn)電場強(qiáng)度的小倍

分析與解電介質(zhì)中的電場由自由電荷激發(fā)的電場9極化電荷激發(fā)的電場

迭加而成，由于極化電荷可能會改變電場中導(dǎo)體表面自由電荷的分布，山電

介質(zhì)中的高斯定理，僅當(dāng)電介質(zhì)充滿整個電場并旦自由電荷的分布不發(fā)生變

化時,在電介質(zhì)中任意高斯而S有

曲+/W,d5=《4.dS=—X<?(

即E=E/c:，因而正確答案為(A).

10-6不帶電的導(dǎo)體球A含有兩個球形空腔.兩空腔中心分別有一點(diǎn)電荷

佻、外，導(dǎo)體球外距甘體球較遠(yuǎn)的r處還TT個點(diǎn)電荷和(如圖所示).

試求點(diǎn)電荷佻、%、初各受多大的電場力.

題10-6圖

分析與解根據(jù)導(dǎo)體靜電平衡時電荷分市的規(guī)律,空腔內(nèi)點(diǎn)電荷的電場級終

止了空腔內(nèi)表而感應(yīng)電荷：導(dǎo)體球A外表面的感應(yīng)電荷近似均勻分布，因而

近似可看作均勻帶電球?qū)c(diǎn)電荷火的作用力.

471M

點(diǎn)電荷%5導(dǎo)體球A外表而感應(yīng)電荷在球形空腔內(nèi)激發(fā)的電場為零，點(diǎn)電

荷外、蛇處于球形空腔的中心，空腔內(nèi)表面感應(yīng)電荷均勻分布，點(diǎn)電荷乾、

仇受到的作用力為零.

10-7真空極管，其主要構(gòu)件是個半輕心=5.0X10'm的圓柱形陰

極和一個套在陰極外、羋徑%=4.5X10-'m的同軸圓簡形陽極.陽極電勢

比陰極電勢高3曲丫，陰極，陽極的長度均為2.=2.5X10?m.假設(shè)電/從

陰極射111時的速度為零.求：(1)該電子到達(dá)陽極時所II市的動能和速

率；(2)電子剛從陽極射出時所受的力.

題10-7-

分析(1)由于半徑見VVZ.,因此可將電極視作無限長圓柱面，陰極和

陽極之間的電場具有軸對稱性,從陰極射出的電r在電場力作用下從靜止開

始加速,電子所獲得的動能等于電場力所作的功，也即等于電子勢能的減

少.由此，可求得電子到達(dá)陽極時的動能和湮率.

(2)計算陽極表面附近的電場強(qiáng)度，山F=*求出電子在陰極表而所受

的電場力.

解(1)電子到達(dá)陽極時，勢能的減少昂:為

A￡=_"=Y.8xKr”J

cp

由于電子的初始速度為零,故

n

ck=Z\￡,ex=-A￡：cp=-4,8x1Q-J

因此電子到達(dá)陽極的速率為

(2)兩極間的電場強(qiáng)度為

E=-------er

2nx(1r

兩極間的電勢差

V=f￡-dr=[------dr=----ln^-

■?,2兀跖r2兀與為

負(fù)號表示陽極電勢島「陰極電勢.陰極去面電場強(qiáng)度

廠2V

E=--------*=-----=-<?r

2嗎閥RM公

%I

電子在陰極表面受力

F=-e￡=(4.37x1014N)^

這個力盡管很小,但作用在質(zhì)量為91IxlO^kg的電子匕電子獲得的

加速度可達(dá)至力加速度的5X10,’倍.

10-8一導(dǎo)體球好徑為R,外罩一半徑為我的同心薄導(dǎo)體球殼，外球殼

所帶總電荷為。，向內(nèi)球的電勢為了.求此系統(tǒng)的電勢和電場的分布.

分析若匕=—內(nèi)球山勢等于外球殼的電勢，則外球殼內(nèi)必定為等

47KH&

勢體，電場強(qiáng)度處處為零，內(nèi)球不帶電.

若%X—^―,內(nèi)球電勢不等上外球克電勢,則外球殼內(nèi)電場強(qiáng)度不為零，

4%凡

內(nèi)球帶電.?般情況下，假設(shè)內(nèi)導(dǎo)體球帶電g,導(dǎo)體達(dá)到靜電平面時電荷的

分布如圖所示.依照電荷的這吩布，利用高斯定理可求得電場分布.并由

%=[EW或電外心加求出電勢的分布.星后將電場電度和電勢用J知

量外、。、R、、&表小,

題10-8圖

解根據(jù)靜電平衡忖電荷的分布，可知電場分布E球?qū)ΨQ,取同心球而為好

斯而，山高昕定現(xiàn)寸￡?好=占上＞4"2=現(xiàn))￡”品,根據(jù)不同半徑的

高斯面內(nèi)的電荷分布，解得各區(qū)域內(nèi)的電場分布為

r時，￡,(r)=0

H,VrV幾時，￡,(r)=―J

4兀q廠

r＞凡時，E,(r)=,0+0,.

-4%r

rtl電場強(qiáng)度與電勢的積分關(guān)系，可得各相應(yīng)區(qū)域內(nèi)的電勢分布.

rv式時,

匕=工￡

J'Ed