高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 練案（19）第三章 三角函數(shù)、解三角形 第一講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

[練案19]第三章三角函數(shù)、解三角形第一講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．單位圓中，200°的圓心角所對的弧長為(D)A．10π B．9πC．eq\f(9π,10) D．eq\f(10π,9)[解析]單位圓的半徑r＝1,200°的弧度數(shù)是200×eq\f(π,180)＝eq\f(10π,9)，由弧度數(shù)的定義知eq\f(10π,9)＝eq\f(l,r)，所以l＝eq\f(10π,9).故選D.2．(2020·河北唐山一中模擬)已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為(B)A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)[解析]由題意得，點P到原點的距離r＝eq\r(64m2＋9)，∴cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，∴m>0，∴eq\f(4m2,64m2＋9)＝eq\f(1,25)，即m＝eq\f(1,2).3．(2020·河南省駐馬店市期末)已知點P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在(B)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]因為點P(tanα，cosα)在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα<0,cosα<0))，所以α為第二象限角，故選B.4．(2020·福建莆田二十四中月考)一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是6，則這個扇形的圓心角的弧度數(shù)是(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為θ，半徑為R.由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θR＝6，,\f(1,2)θR2＝6.))解得θ＝3，即扇形的圓心角的弧度數(shù)是3.故選C.5．在△ABC中，若sinA·cosB·tanC<0，則△ABC的形狀是(B)A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．不能確定[解析]∵△ABC中每個角都在(0，π)內(nèi)，∴sinA>0.∵sinA·cosB·tanC<0，∴cosB·tanC<0.若B，C同為銳角，則cosB·tanC>0.∴B，C中必定有一個鈍角．∴△ABC是鈍角三角形．故選B.6．集合{α|kπ＋eq\f(π,4)≤α≤kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}中的角所表示的范圍(陰影部分)是(C)[解析]當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)，此時α表示的范圍與eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)表示的范圍一樣；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)，此時α表示的范圍與π＋eq\f(π,4)≤α≤π＋eq\f(π,2)表示的范圍一樣，結(jié)合圖形知選C.7．已知A＝{α|α＝eq\f(k,4)π＋eq\f(π,12)，k∈Z}，當(dāng)k＝k0(k0∈Z)時，A中的一個元素與角－eq\f(17π,12)終邊相同，若k0取最小正值為a，最大負(fù)值為b，則a＋b＝(C)A．－12 B．－10C．－4 D．4[解析]與－eq\f(17,12)π終邊相同的角的集合為：{β|β＝2kπ－eq\f(17,12)π，k∈Z}，當(dāng)k＝1時，β＝eq\f(7,12)π，此時A＝{α|α＝eq\f(kπ,4)＋eq\f(π,12)，k∈Z}中的k0取值為2；當(dāng)k＝0時，β＝－eq\f(17,12)π，此時A＝{α|α＝eq\f(kπ,4)＋eq\f(π,12)，k∈Z}中的k0取值為－6，∴a＋b＝2－6＝－4.8．已知角α終邊上一點P的坐標(biāo)是(2sin2，－2cos2)，則sinα等于(D)A．sin2 B．－sin2C．cos2 D．－cos2[解析]因為r＝eq\r(2sin22＋－2cos22)＝2，由任意三角函數(shù)的定義，得sinα＝eq\f(y,r)＝－cos2.故選D.二、多選題9．某人從家步行到學(xué)校，一般需要10分鐘，則10分鐘時間鐘表的分針走過的角度是(BD)A．eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3)C．60° D．－60°[解析]因為分針是按順時針方向旋轉(zhuǎn)的，故分針走過的角是負(fù)角，又分針旋轉(zhuǎn)了10分鐘，故分針走過的角是－60°.故選B、D.10．(2020·吉林長春普通高中模擬改編)若角α的頂點為坐標(biāo)原點，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線y＝－eq\r(3)x上，則角α的取值集合是(AD)A．{α|α＝2kπ－eq\f(π,3)，或α＝2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}B．{α|α＝2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}C．{α|α＝kπ－eq\f(2π,3)，k∈Z}D．{α|α＝kπ－eq\f(π,3)，k∈Z}[解析]因為直線y＝－eq\r(3)x的傾斜角是eq\f(2π,3)，所以終邊落在直線y＝－eq\r(3)x上的角的取值集合為{α|α＝2kπ－eq\f(π,3)或α＝2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}或{α|α＝kπ－eq\f(π,3)，k∈Z}．故選A、D.三、填空題11．－2020°角是第__二__象限角，與－2020°角終邊相同的最小正角是__140°__，最大負(fù)角是__－220°__.[解析]∵－2020°＝－6×360°＋140°，∴－2020°角的終邊與140°角的終邊相同．∴－2020°角是第二象限角，與－2020°角終邊相同的最小正角是140°.又是140°－360°＝－220°，故與－2020°終邊相同的最大負(fù)角是－220°.12．在直角坐標(biāo)系xOy中，O是原點，A(eq\r(3)，1)，將點A繞O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到B點，則B點坐標(biāo)為(－1，eq\r(3)).[解析]依題意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，設(shè)點B坐標(biāo)為(x，y)，所以x＝2cos120°＝－1，y＝2sin120°＝eq\r(3)，即B(－1，eq\r(3))．13．一扇形是從一個圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的eq\f(2,3)，面積等于圓面積的eq\f(5,27).則扇形的弧長與圓的周長之比為eq\f(5,18).[解析]設(shè)圓的半徑為r，則扇形的半徑為eq\f(2r,3)，記扇形的圓心角為α，則eq\f(\f(1,2)α\f(2r,3)2,πr2)＝eq\f(5,27)，所以α＝eq\f(5π,6).所以扇形的弧長與圓的周長之比為eq\f(l,c)＝eq\f(\f(5π,6)·\f(2r,3),2πr)＝eq\f(5,18).14．(2020·鄭州模擬)函數(shù)y＝lg(2sinx－1)＋eq\r(1－2cosx)的定義域為[2kπ＋eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(5π,6))(k∈Z).[解析]要使原函數(shù)有意義，必須有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2sinx－1>0，,1－2cosx≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx>\f(1,2)，,cosx≤\f(1,2)，))如圖，在單位圓中作出相應(yīng)三角函數(shù)線，由圖可知，原函數(shù)的定義域為[2kπ＋eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(5π,6))(k∈Z)．B組能力提升1．(2020·河北石家莊模擬)已知角α(0°≤α<360°)終邊上一點的坐標(biāo)為(sin150°，cos150°)，則α＝(C)A．150° B．135°C．300° D．60°[解析]sin150°＝eq\f(1,2)>0，cos150°＝－eq\f(\r(3),2)<0，角α終邊上一點的坐標(biāo)為(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))，故該點在第四象限，由三角函數(shù)的定義得sinα＝－eq\f(\r(3),2)，又0°≤α<360°，所以角α為300°，故選C.2．(2020·唐山模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(cosx,|cosx|)＋eq\f(tanx,|tanx|)的值域為(D)A．{3,2,1} B．{－1,2,1}C．{－1,0,1} D．{－1,3}[解析]由sinx≠0，cosx≠0，知x終邊不在坐標(biāo)軸上，若x為第一象限角，f(x)＝eq\f(sinx,sinx)＋eq\f(cosx,cosx)＋eq\f(tanx,tanx)＝3.若x為第二象限角，f(x)＝eq\f(sinx,sinx)＋eq\f(cosx,－cosx)＋eq\f(tanx,－tanx)＝－1.若x為第三象限角，f(x)＝eq\f(sinx,－sinx)＋eq\f(cosx,－cosx)＋eq\f(tanx,tanx)＝－1.若x為第四象限角，f(x)＝eq\f(sinx,－sinx)＋eq\f(cosx,cosx)＋eq\f(tanx,－tanx)＝－1.故選D.3．(2020·河南省洛陽市高三統(tǒng)考)已知角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，頂點與坐標(biāo)原點重合，終邊過點P(3,4)，則eq\f(sinα＋2cosα,sinα－cosα)＝(A)A．10 B．eq\f(1,10)C．5 D．eq\f(1,5)[解析]根據(jù)角α的終邊過P(3,4)，利用三角函數(shù)的定義，得tanα＝eq\f(4,3)，所以有eq\f(sinα＋2cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋2,tanα－1)＝eq\f(\f(4,3)＋2,\f(4,3)－1)＝eq\f(\f(10,3),\f(1,3))＝10.故選A.4．(2020·廣東廣州花都模擬)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，是《算經(jīng)十書》中最重要的一種，其中《方田》章有弧田面積計算問題，計算術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面積的計算公式為弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圓弧(簡稱為弧田弧)和以圓弧的端點為端點的線段(簡稱為弧田弦)圍成的平面圖形，公式中“弦”指的是弧田弦的長，“矢”等于弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差．現(xiàn)有一弧田，其弦長AB等于6m，其弧所在圓為圓O，若用上述弧田面積計算公式算得該弧田的面積為eq\f(7,2)m2，則cos∠AOB＝(D)A．eq\f(1,25) B．eq\f(3,25)C．eq\f(1,5) D．eq\f(7,25)[解析]設(shè)矢為xm，則由弧田面積公式得eq\f(7,2)＝eq\f(1,2)(6x＋x2)，解得x＝1或x＝－7(舍去)，設(shè)圓O的半徑為Rm，則