高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題02 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題02命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件一、【知識精講】1．命題用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題．2．四種命題及其相互關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系圖1-2-1(2)四種命題的真假關(guān)系①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；②兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．3．充分條件與必要條件(1)若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)若p?q，且qeq\o(?,/)p，則p是q的充分不必要條件；(3)若peq\o(?,/)q且q?p，則p是q的必要不充分條件；(4)若p?q，則p是q的充要條件；(5)若peq\o(?,/)q且qeq\o(?,/)p，則p是q的既不充分也不必要條件．[知識拓展]集合與充要條件設(shè)集合A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}，則有：(1)若A?B，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件．(2)若B?A，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件．(3)若A＝B，則p是q的充要條件．二、【典例精練】例1.(2019·菏澤模擬)有以下命題：①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；②“面積相等的兩個(gè)三角形全等”的否命題；③“若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實(shí)數(shù)解”的逆否命題；④“若A∩B＝B，則A?B”的逆否命題．其中真命題是()A．①② B．②③C．④ D．①②③【答案】D【解析】①原命題的逆命題為“若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1”，是真命題；②原命題的否命題為“面積不相等的兩個(gè)三角形不全等”，是真命題；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命題是真命題，故其逆否命題也是真命題；④由A∩B＝B，得B?A，所以原命題是假命題，故其逆否命題也是假命題，故①②③正確．【方法小結(jié)】1．由原命題寫出其他三種命題的方法由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，將條件與結(jié)論互換即得逆命題，將條件與結(jié)論同時(shí)否定即得否命題，將條件與結(jié)論互換的同時(shí)進(jìn)行否定即得逆否命題．例2．(1)(2017·北京高考)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件例2.(2018·天津高考)設(shè)x∈R，則“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”是“x3＜1”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】(1)A(2)A【解析】(1)法一由題意知|m|≠0，|n|≠0.設(shè)m與n的夾角為θ.若存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn，則m與n反向共線，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cosθ＝－|m||n|<0.當(dāng)90°<θ<180°時(shí)，m·n<0，此時(shí)不存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn.故“存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件．故選A．法二∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴當(dāng)λ<0，n≠0時(shí)，m·n<0.反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，當(dāng)〈m，n〉∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時(shí)，m，n不共線．故“存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件．故選A．(2)由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)，得0＜x＜1，則0＜x3＜1，即“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”?“x3＜1”；由x3＜1，得x＜1，當(dāng)x≤0時(shí)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))≥eq\f(1,2)，即“x3＜1”“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”．所以“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”是“x3＜1”的充分而不必要條件．【方法小結(jié)】充分條件、必要條件的三種判斷方法1定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.2集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，適用于命題中涉及字母的范圍的推斷問題.3等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷，適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題.例3.已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍是________．【答案】[0,3]【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))所以0≤m≤3.所以當(dāng)0≤m≤3時(shí)，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3]．【方法小結(jié)】根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍的方法(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解．(2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．三、【名校新題】1．(2019·長春質(zhì)監(jiān))命題“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是()A．若x2≥1，則x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，則x2<1C．若x>1或x<－1，則x2>1D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1【答案】D【解析】命題的形式是“若p，則q”，由逆否命題的知識，可知其逆否命題是“若?q,則?p”的形式，所以“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是“若x≥1或x≤－1，則2.(2019·湖北八校聯(lián)考)若a，b，c，d∈R，則“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差數(shù)列”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)a＝－1，b＝0，c＝3，d＝4時(shí)，a＋d＝b＋c，但此時(shí)a，b，c，d不成等差數(shù)列；而當(dāng)a，b，c，d依次成等差數(shù)列時(shí)，由等差數(shù)列的性質(zhì)知a＋d＝b＋c.所以“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差數(shù)列”的必要不充分條件，故選B.3.(2019·湘東五校聯(lián)考)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是()A．m>eq\f(1,4) B．0<m<1C．m>0 D．m>1【答案】C【解析】若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，則Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>eq\f(1,4)，因此當(dāng)不等式x2－x＋m>0在R上恒成立時(shí)，必有m>0，但當(dāng)m>0時(shí)，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m>0.4．（蚌埠一中2019屆高三考試題）已知，都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由條件得a>b,不能得到；反之，由得a>b,?a5.（滁州市2019屆高三統(tǒng)考題）若為實(shí)數(shù)，則“”是的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由條件知a,b同號。當(dāng)a,b都為正時(shí)，可得a<1b；當(dāng)a,b都為負(fù)時(shí)，可得b>6.（安徽肥東一中2019屆高三考試題）若，是兩個(gè)非零的平面向量，則“”是“”的（）A.充分且不必要條件B.必要且不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】?a7．（黃山市2019屆高三八校聯(lián)考）“”是“直線的傾斜角大于”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)a<?1,直線斜率大于1，所以傾斜角大于π4；反之，當(dāng)直線傾斜角大于π4時(shí)，若大于π2，8．（福建長汀、連城等六校2019屆高三聯(lián)考）下列關(guān)于命題的說法錯(cuò)誤的是（）A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”；B.“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件；C.若命題，則；D.命題“”是假命題.【答案】C【解析】按照原命題與逆否命題的定義，知A正確；“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充要條件是a>1，∴“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件，所以B正確；對于D，?x∈?∞,0,2x>3x,∴D9．（2019年荊州市高三八校聯(lián)考）下列有關(guān)命題的說法正確的是（）A．，使得成立．B．命題：任意，都有，則：存在，使得．C．命題“若且，則且”的逆命題為真命題．D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則是的必要不充分條件．【答案】D【解析】選項(xiàng)A，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值3，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，：存在，使得，所以B錯(cuò)誤．選項(xiàng)C，逆命題為：“若且，則且”當(dāng)時(shí)，滿足且，但不滿足且，所以C錯(cuò)誤．選項(xiàng)D，若數(shù)列是等比數(shù)列，，則，反過來，若數(shù)列是等比數(shù)列，當(dāng)公比為1時(shí)，，不能推出，故D正確．10.（合肥一六八中學(xué)2019屆高三上學(xué)期周考試題）以下有關(guān)命題的說法錯(cuò)誤的是（）A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.“”是“”成立的必要不充分條件C.對于命題，使得，則，均有D.若為真命題，則與至少有一個(gè)為真命題【答案】D【解析】若p真q假，則為真，但與都是假命題，所以D錯(cuò)11．（江西省紅色七校2019屆高三第一次聯(lián)考）設(shè)，是非零向量，“”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)a∕∕b時(shí)，12．（江西省紅色七校2019屆高三第一次聯(lián)考）下列命題正確的個(gè)數(shù)是()①．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B”的逆命題是真命題；②．命題p：x≠2或y≠3，命題q：x+y≠5則p是q的必要不充分條件；③．“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“?x∈R，x3﹣x2+1＞0”；④．“若a＞b，則2a＞2b﹣1”的否命題為“若a≤b，則2a≤2b﹣1”．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①③④正確13.（合肥市2019屆高三一模（理科））已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對實(shí)數(shù)，“”是“”的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因fx是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，a>b?a>b,所以有fa>f14.（合肥市2019屆高三一模（文科））已知函數(shù)，對于實(shí)數(shù)，“”是“”的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】函數(shù)fx是奇函數(shù)且在15.（2019年皖北協(xié)作區(qū)高三聯(lián)考）設(shè)為正數(shù)，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)a+b>c,取a=b=2,c=3,則a2+b2=8,c2=9,8<9,所以a2+b2>c2不成立16.(2019·齊魯名校調(diào)研)給出下列說法：①“若x＋y＝eq\f(π,2)，則sinx＝cosy”的逆命題是假命題；②“在△ABC中，sinB>sinC是B>C的充要條件”是真命題；③“a＝1”是“直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0互相垂直”的充要條件；④命題“若x<－1，則x2－2x－3>0”的否命題為“若x≥－1，則x2－2x－3≤0”．以上說法正確的是________(填序號)．【答案】①②④【解析】對于①，“若x＋y＝eq\f(π,2)，則sinx＝cosy”的逆命題是“若sinx＝cosy，則x＋y＝eq\f(π,2)”，當(dāng)x＝0，y＝eq\f(3π,2)時(shí)，有sinx＝cosy成立，但x＋y＝eq\f(3π,2)，故逆命題為假命題，①正確；對于②，在△ABC中，由正弦定理得sinB>sinC?b>c?B>C，②正確；對于③，“a＝±1”是“直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0互相垂直”的充要條件，故③錯(cuò)誤；對于④，根據(jù)否命題的定義知④正確．17.（合肥市2019屆高三二模）若“”