大一高數(shù)課件第八章8-1-1多元函數(shù)的基本概念

大一高數(shù)課件第八章8-1-1多元函數(shù)的基本概念Contents目錄多元函數(shù)的定義與表示多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的可微性多元函數(shù)的定義與表示01多元函數(shù)設(shè)D是一個非空實數(shù)集合，P是實數(shù)集合中的一個非空子集，若對于每一個x∈D，P中有一個確定的數(shù)值y與之對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作y=f(x)，其中x是自變量，y是因變量，P稱為定義域，D稱為值域。多元函數(shù)若定義域D中存在兩個或兩個以上的自變量，則稱該函數(shù)為多元函數(shù)。全純函數(shù)如果一個多元函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點都可微，則稱該函數(shù)為全純函數(shù)。定義用代數(shù)符號表示多元函數(shù)的各個分量。代數(shù)表示法將多元函數(shù)的各個分量表示為向量或矩陣的形式。向量表示法將多元函數(shù)表示為一個方程組，通過解方程組得到各個分量。隱函數(shù)表示法表示方法對于二元函數(shù)z=f(x,y)，其幾何意義為平面上的曲線。平面曲線對于三元函數(shù)z=f(x,y,z)，其幾何意義為三維空間中的曲面。三維曲面對于n元函數(shù)z=f(x1,x2,...,xn)，其幾何意義為n+1維空間中的超曲面。超曲面對于多元函數(shù)的各個分量，可以構(gòu)成一個流形，流形是幾何學中一個重要的概念。流形多元函數(shù)的幾何意義多元函數(shù)的極限02一元函數(shù)極限的定義與性質(zhì)定義對于函數(shù)$f(x)$，若在點$x_0$的某一去心鄰域內(nèi)，當$x$無限趨近于$x_0$時，函數(shù)值$f(x)$無限趨近于某一常數(shù)$A$，則稱$A$為函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處的極限。性質(zhì)極限具有唯一性、有界性、局部有界性、局部保號性、四則運算法則等。對于多元函數(shù)$f(x,y,z,...)$，若在點$(x_0,y_0,z_0,...)$的某一去心鄰域內(nèi)，當各變量分別無限趨近于相應(yīng)的值時，函數(shù)值$f(x,y,z,...)$無限趨近于某一常數(shù)$A$，則稱$A$為函數(shù)$f(x,y,z,...)$在點$(x_0,y_0,z_0,...)$處的極限。定義與一元函數(shù)極限的性質(zhì)類似，但需要考慮多個變量的變化情況。性質(zhì)多元函數(shù)極限的定義多元函數(shù)極限的性質(zhì)性質(zhì)1極限的唯一性：對于任意點$(x_0,y_0,z_0,...)$處的極限，其值是唯一的。性質(zhì)2局部有界性：在點$(x_0,y_0,z_0,...)$的某一鄰域內(nèi)，多元函數(shù)是有限的。性質(zhì)3局部保號性：在點$(x_0,y_0,z_0,...)$的某一鄰域內(nèi)，若函數(shù)值無限趨近于正數(shù)或負數(shù)，則該函數(shù)在此鄰域內(nèi)與該常數(shù)同號。性質(zhì)4四則運算法則：與一元函數(shù)類似，極限的四則運算法則也適用于多元函數(shù)。多元函數(shù)的連續(xù)性03定義如果函數(shù)在某點的極限值等于函數(shù)值，則函數(shù)在該點連續(xù)。性質(zhì)連續(xù)函數(shù)具有局部有界性、局部保號性、可積性等性質(zhì)。一元函數(shù)連續(xù)性的定義與性質(zhì)如果對于任何接近于某點的x值，函數(shù)在該點的極限值都等于函數(shù)值，則函數(shù)在該點連續(xù)。連續(xù)函數(shù)具有局部有界性、局部保號性、可積性等性質(zhì)。多元函數(shù)連續(xù)性的定義性質(zhì)定義局部保號性如果函數(shù)在某點的極限值大于0，則存在一個正數(shù)δ，使得當所有自變量滿足|x-x0|<δ時，f(x)>0?？煞e性如果函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則該函數(shù)在[a,b]上可積。局部有界性對于任意給定的正數(shù)ε，存在正數(shù)δ，使得當所有自變量滿足|x-x0|<δ時，|f(x)-f(x0)|<ε。多元函數(shù)連續(xù)性的性質(zhì)多元函數(shù)的可微性04一元函數(shù)可微性的定義如果函數(shù)在某點的導數(shù)存在，則該函數(shù)在該點可微。要點一要點二一元函數(shù)可微性的性質(zhì)可微函數(shù)在其定義域內(nèi)的任意點都存在導數(shù)，且導數(shù)具有連續(xù)性。一元函數(shù)可微性的定義與性質(zhì)多元函數(shù)可微性的定義如果函數(shù)在某點的偏導數(shù)都存在，則該函數(shù)在該點可微。多元函數(shù)可微性的定義對于多元函數(shù)，在某點的某個自變量變化時，其他自變量保持不變，得到的導數(shù)稱為偏導數(shù)。偏導數(shù)的定義可微函數(shù)的偏導數(shù)連續(xù)