上海市中考數(shù)學模擬測試卷【含解析】

2021年上海市中考數(shù)學模擬測試卷

一、選擇題：（本大題共6題.每題4分，總分值241以下各題的四個選項中，有且只有一

個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】

1.14分）以下運算正確的選項是（）

A.3x+2x=5x2B.3x-2x=xC.3x92x=6xD.3x4-2x=—

3

2.14分）如果機>〃，那么以下結(jié)論錯誤的選項是（）

A.6+2>〃+2B.m-2>n-2C.2m>2nD.-2m>-2n

3.14分）以下函數(shù)中，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大的是（）

A.y=—B.y=--C.尸芭D.尸一自

3xx

4.（4分）甲、乙兩名同學本學期五次引體向上的測試成績（個數(shù)）成績?nèi)缦聢D，以下判斷

正確的選項是（〕

A.甲的成績比乙穩(wěn)定

B.甲的最好成績比乙高

C.甲的成績的平均數(shù)比乙大

D.甲的成績的中位數(shù)比乙大

5.（4分）以下命題中，假命題是（〕

A.矩形的對角線相等

B.矩形對角線交點到四個頂點的距離相等

C.矩形的對角線互相平分

D.矩形對角線交點到四條邊的距離相等

6.（4分）0A與外切，0c與0A、08都內(nèi)切，且A8=5,4c=6,BC=7,那么。C

的半徑長是（〕

A.11B.10C.9D.8

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，總分值48分）【請將結(jié)果直接填入答紙的相應

位置上】

7.（4分）計算：（2a2）2=.

8.（4分）f（x）=/-1,那么/（-I）=.

9.（4分）如果一個正方形的面積是3,那么它的邊長是.

10.（4分）如果關(guān)于x的方程/-x+〃?=0沒有實數(shù)根，那么實數(shù)m的取值范圍是.

11.（4分）一枚材質(zhì)均勻的骰子，六個面的點數(shù)分別是1,2,3,4,5,6,投這個骰子，

擲的點數(shù)大于4的概率是.

12.（4分）？九章算術(shù)?中有一道題的條件是:“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛.”

大致意思是：有大小兩種盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2

斛米，依據(jù)該條件，1大桶加1小桶共盛____

斛米.（注：斛是古代一種容量單位）

13.（4分）在登山過程中，海拔每升高1千米，氣溫下降6℃,某登山大本營所在的位置的

氣溫是2C,登山隊員從大本營出發(fā)登山，當海拔升高x千米時，所在位置的氣溫是y"C,

那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式是.

14.（4分）小明為了解所在小區(qū)居民各類生活垃圾的投放情況，他隨機調(diào)查了該小區(qū)50戶

家庭某一天各類生活垃圾的投放量，統(tǒng)計得出這50戶家庭各類生活垃圾的投放總量是

100千克，并畫出各類生活垃圾投放量分布情況的扇形圖（如下圖），根據(jù)以上信息，估

計該小區(qū)300戶居民這一天投放的可回收垃圾共約千克.

15.14分）如圖，直線含30°角的三角板的直角頂點C在/I上，30°角的頂點4

在/2上，如果邊AB與4的交點。是A8的中點，那么Nl=度.

B

16.（4分）如圖，在正邊形A8COEF中，設遍=W，BC=b＞那么向量標用向量W、E表

17.14分）如圖，在正方形A8CD中，E是邊A￡＞的中點.將AABE沿直線BE翻折，點A

落在點尸處，聯(lián)結(jié)。凡那么NE。尸的正切值是

18.（4分）在△ABC和△A181C1中，/C=/Ci=90°,AC=4Ci=3,8c=4,BiCi=2,

點。、￡＞i分別在邊48、AiBi上，且△人□）名△CA1D1,那么4。的長是

三、解答題（本大題共7題，總分值78分）

12

19.（10分）計算：b/3-II-V2X-83

2-V3

20.（io分）解方程：2L-―—=1

x-2x?-2x

21.CO分）在平面直角坐標系xOy中（如圖），一次函數(shù)的圖象平行于直線y=L,且經(jīng)

2

過點A（2,3）,與x軸交于點艮

（1）求這個一次函數(shù)的解析式；

（2）設點C在y軸上，當AC=BC時，求點C的坐標.

1

o-i-1-~

22.(10分)圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形ABCD表示該車的后備箱，在翻開

后備箱的過程中，箱蓋ACE可以繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)角為60°時，箱蓋AQE

落在4。'E'的位置(如圖2所示).40=90厘米，OE=30厘米，EC=40厘米.

(1)求點。到BC的距離；

(2)求E、E'兩點的距離.

23.[12分)：如圖，A&AC是00的兩條弦，§.AB=AC,。是AO延長線上一點，聯(lián)結(jié)

BO并延長交。。于點E,聯(lián)結(jié)C。并延長交00于點F.

(1)求證：BD=CD；

(2)如果A82=AO?AZ),求證：四邊形43QC是菱形.

24.(12分)在平面直角坐標系xOy中(如圖)，拋物線歹=--2%，其頂點為A.

(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點A的坐標，并說明它的變化情況；

(2)我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“不動點”.

①試求拋物線y=7-2x的“不動點”的坐標；

②平移拋物線y=f-2%,使所得新拋物線的頂點B是該拋物線的“不動點”，其對稱

軸與x軸交于點C,且四邊形0ABe是梯形，求新拋物線的表達式.

1

O1x

25.(14分)如圖1,AD,8。分別是8c的內(nèi)角NBAC、NA8C的平分線，過點A作

AE±AD,交BD的延長線于點

E.圖1圖2

(1)求證：ZE——ZC；

2

(2)如圖2,如果AE=AB,且BQ：DE=2：3,求cos/ABC的值;

⑶如果/ABC是銳角，且AABC與相似，求NA8C的度數(shù)，并直接寫出△理'里

SAABC

的值.

2021年上海市中考數(shù)學模擬測試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題共6題.每題4分，總分值241以下各題的四個選項中，有且只有一

個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】

1.（4分）以下運算正確的選項是（）

A.3x+2x=5x~B.3x-2x=xC.3x*2x=6xD.3x4-2x=—

3

【分析】根據(jù)整式的運算法那么即可求出答案.

【解答】解：（A）原式=5x,故A錯誤；

（C）原式=6/,故C錯誤；

（￡?）原式=W,故。錯誤；

2

應選：B.

【點評】此題考查整式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的運算法那么，此題屬于根

底題型.

2.14分）如果,〃>”，那么以下結(jié)論錯誤的選項是（）

A.m+2>n+2B.m-2>n-2C.2m>2nD.-2m>-2n

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：,.加>〃，

-2m<-2",

應選：D.

【點評】此題考查不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用不等式的性質(zhì)，此題屬于根底

題型.

3.14分）以下函數(shù)中，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大的是（）

A.y=—B.y=--C._y=—D.y=-—

33xx

【分析】一次函數(shù)當a>0時，函數(shù)值y總是隨自變量x增大而增大，反比例函數(shù)當上<0

時，在每一個象限內(nèi)，y隨自變量x增大而增大.

【解答】解：A、該函數(shù)圖象是直線，位于第一、三象限，y隨x的增大而增大，故本選

項正確.

B、該函數(shù)圖象是直線，位于第二、四象限，y隨x的增大而減小，故本選項錯誤.

C、該函數(shù)圖象是雙曲線，位于第一、三象限，在每一象限內(nèi)，)，隨x的增大而減小，故

本選項錯誤.

。、該函數(shù)圖象是雙曲線，位于第二、四象限，在每一象限內(nèi)，隨x的增大而增大，故

本選項錯誤.

應選：A.

【點評】此題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的增減性；熟練掌握一次函數(shù)、反比例函數(shù)

的性質(zhì)是關(guān)鍵.

4.(4分)甲、乙兩名同學本學期五次引體向上的測試成績(個數(shù))成績?nèi)缦聢D，以下判斷

正確的選項是()

A.甲的成績比乙穩(wěn)定

B.甲的最好成績比乙高

C.甲的成績的平均數(shù)比乙大

D.甲的成績的中位數(shù)比乙大

【分析】分別計算出兩人成績的平均數(shù)、中位數(shù)、方差可得出答案.

【解答】解：甲同學的成績依次為：7、8、8、8、9,

那么其中位數(shù)為8,平均數(shù)為8,方差為工義[(7-8)2+3X(8-8)2+(9-8)2]=0.4；

5

乙同學的成績依次為：6、7、8、9、10,

那么其中位數(shù)為8,平均數(shù)為8,方差為工義[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)

5

2+(10-8)2]=2,

二甲的成績比乙穩(wěn)定，甲、乙的平均成績和中位數(shù)均相等，甲的最好成績比乙低，

應選：A.

【點評】此題考查了方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方差越大，那么平均值

的離散程度越大，穩(wěn)定性也越小；反之，那么它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越

好.也考查了中位數(shù).

5.14分）以下命題中，假命題是（）

A.矩形的對角線相等

B.矩形對角線交點到四個頂點的距離相等

C.矩形的對角線互相平分

D.矩形對角線交點到四條邊的距離相等

【分析】利用矩形的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項.

【解答】解：A、矩形的對角線相等，正確，是真命題；

8、矩形的對角線的交點到四個頂點的距離相等，正確，是真命題；

C、矩形的對角線互相平分，正確，是真命題；

。、矩形的對角線的交點到一組對邊的距離相等，故錯誤，是假命題，

應選：D.

【點評】此題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解矩形的性質(zhì)，難度不大.

6.（4分）OA與外切，OC與OA、02都內(nèi)切，且AB=5,4c=6,BC=1,那么OC

的半徑長是（）

A.11B.10C.9D.8

【分析】如圖，設。A,OB,OC的半徑為x,y,z.構(gòu)建方程組即可解決問題.

【解答】解：如圖，設OA,OB,OC的半徑為x,y,z.

'x+y=5

由題意：,z-x-6>

z-y=7

x=3

解得<y=2>

z=9

應選：C.

【點評】此題考查兩圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問題，

屬于中考?？碱}型.

二、填空題：(本大題共12題，每題4分，總分值48分)【請將結(jié)果直接填入答紙的相應

位置上】

7.14分)計算：(2次)2=4/.

【分析】根據(jù)積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的幕相乘，計算即

可.

【解答】解：⑵2)2=22/=4次

【點評】主要考查積的乘方的性質(zhì)，熟練掌握運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.14分)f(x)=7-1,那么/(-I)-0.

【分析】根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系，可得答案.

【解答】解：當x=-1時，/(-1)=(-1)2-1=0.

故答案為：0.

【點評】此題考查了函數(shù)值，把自變量的值代入函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.

9.14分)如果一個正方形的面積是3,那么它的邊長是—退一.

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答.

【解答】解：???正方形的面積是3,

...它的邊長是班.

故答案為：V3

【點評】此題考查了二次根式的應用，主要利用了正方形的性質(zhì)和算術(shù)平方根的定義.

10.14分)如果關(guān)于x的方程--/膽=0沒有實數(shù)根，那么實數(shù)機的取值范圍是m>L.

【分析】由于方程沒有實數(shù)根，那么其判別式△<(),由此可以建立關(guān)于，〃的不等式，解

不等式即可求出m的取值范圍.

【解答】解：由題意知△=1-4m<0,

4

故填空答案；〃?>2.

4

【點評】總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：

(1)△>()=方程有兩個不相等的實數(shù)根；

[2）△=（）=方程有兩個相等的實數(shù)根

（3）AVOo方程沒有實數(shù)根.

11.（4分）一枚材質(zhì)均勻的骰子，六個面的點數(shù)分別是1,2,3,4,5,6,投這個骰子，

擲的點數(shù)大于4的概率是1.

一J-

【分析】先求出點數(shù)大于4的數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【解答】解：???在這6種情況中，擲的點數(shù)大于4的有2種結(jié)果，

擲的點數(shù)大于4的概率為2=工，

63

故答案為：1.

3

【點評】此題考查的是概率公式，熟記隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)

果數(shù)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)的商是解答此題的關(guān)鍵.

12.（4分）？九章算術(shù)?中有一道題的條件是:“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛.”

大致意思是：有大小兩種盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2

斛米，依據(jù)該條件，1大桶加1小桶共盛A

斛米.（注：斛是古代一種容量單位）

【分析】直接利用5個大桶加上1個小桶可以盛米3斛，1個大桶加上5個小桶可以盛米

2斛，分別得出等式組成方程組求出答案.

【解答】解：設1個大桶可以盛米x斛，1個小桶可以盛米y斛，

那么儼

[x+5y=2

故5x+x+y+5y=5,

那么x+y=—.

6

答：1大桶加1小桶共盛”斛米.

6

故答案為：1.

6

【點評】此題主要考查了二元一次方程組的應用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

13.（4分）在登山過程中，海拔每升高1千米，氣溫下降6℃,某登山大本營所在的位置的

氣溫是2℃,登山隊員從大本營出發(fā)登山，當海拔升高x千米時，所在位置的氣溫是

那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y=-6x+2.

【分析】根據(jù)登山隊大本營所在地的氣溫為2℃,海拔每升高1km氣溫下降6℃,可求出

y與x的關(guān)系式.

【解答】解：由題意得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-6x+2.

故答案為：y--6x+2.

【點評】此題考查根據(jù)實際問題列一次函數(shù)式，關(guān)鍵知道氣溫隨著高度變化，某處的氣

溫=地面的氣溫-降低的氣溫.

14.（4分）小明為了解所在小區(qū)居民各類生活垃圾的投放情況，他隨機調(diào)查了該小區(qū)50戶

家庭某一天各類生活垃圾的投放量，統(tǒng)計得出這50戶家庭各類生活垃圾的投放總量是

100千克，并畫出各類生活垃圾投放量分布情況的扇形圖（如下圖），根據(jù)以上信息，估

計該小區(qū)300戶居民這一天投放的可回收垃圾共約90千克.

【分析】求出樣本中100千克垃圾中可回收垃圾的質(zhì)量，再乘以邈?可得答案.

50

【解答】解：估計該小區(qū)300戶居民這一天投放的可回收垃圾共約刎100X15%=90

50

（千克），

故答案為：90.

【點評】此題主要考查扇形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖是用整個圓表示總數(shù)用圓內(nèi)各個扇形的

大小表示各局部數(shù)量占總數(shù)的百分數(shù).也考查了用樣本估計總體.

15.（4分）如圖，直線含30°角的三角板的直角頂點C在/1上，30°角的頂點4

在/2上，如果邊AB與4的交點。是A8的中點，那么/1=120度.

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到D4=DC,那么NQCA=/D4C=30°,

再利用三角形外角性質(zhì)得到/2=60°,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求N1的度數(shù).

【解答】解：是斜邊AB的中點,

：.DA=DC,

.?.NDC4=/D4C=30°,

AZ2=ZDCA+ZDAC=60a,

Vl|^/2,

；./1+/2=180°,

.,./l=180°-60°=120°.

故答案為120.

【點評】此題考查了直接三角形斜邊上的中線：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜

邊的一半（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）.也考查了平行線的性質(zhì).

16.（4分）如圖，在正邊形ABCQEF中，設百=W，BC=b.那么向量而用向量W、E表

—?—?

不為2_g+也.

【分析】連接CF.利用三角形法那么：BF=BC+CF，求出而即可.

【解答】解：連接CF.

,/多邊形ABCDEF是正六邊形,

AB//CF,CF=2BA,

.??CF=2a，

?/BF=BC+CF，

BF=2寸b，

故答案為2a+b

【點評】此題考查平面向量，正六邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法

那么，屬于中考常考題型.

17.（4分）如圖，在正方形ABCC中，E是邊的中點.將△ABE沿直線BE翻折，點A

落在點尸處，聯(lián)結(jié)。F,那么NEQF的正切值是2.

【分析】由折疊可得AE=FE,NAEB=NFEB,由折疊的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即

可得至進而得到tanZEDF=tanZAEB=2.

AE

【解答】解：如下圖，由折疊可得AE=FE,NAEB=NFEB=L/AEF,

2

;正方形ABC。中，E是A力的中點，

:.AE=DE=^AD^1AB,

22

：.DE=FE,

：.NEDF=NEFD,

又，：4AEF是ADEF的外角，

ZAEF=ZEDF+ZEFD,

NEDF=LNAEF,

2

：.NAEB=ZEDF,

.".tanZEDF=lanZAEB=-^-=2.

AE

故答案為：2.

【點評】此題主要考查了折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖

形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.

18.（4分）在△ABC和△481。中，/C=/Ci=90°,AC=AiCi=3,BC=4,8iCi=2,

點￡）、Di分別在邊A8、A\B\±,且△ACD絲△C14OI,那么4。的長是A.

一工一

【分析】根據(jù)勾股定理求得AB=5,設AZ）=x,那么8D=5-x,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

得出CI￡>I=AD=X,ZA\C\Di=ZA,ZA\D\C\=ZCDA,即可求得NC1D181=NBOC,

根據(jù)等角的余角相等求得NBiCiQi=NB,即可證得根據(jù)其性質(zhì)得出

旦=2,解得求出A。的長.

X

【解答】解：如圖,???在△ABC和△A131C1中，ZC=ZCi=90°,AC=AiCi=3,BC

=4,BiCi=2,

??AB—j2_j_2=5,

設A￡>=x,那么30=5-x,

?/△AC。絲△C14D1,

AC\D\=AD=x,ZA\C\D\=ZA,ZA\D\C\=ZCDAf

；?/CiDiBi=/BDC,

VZB=90°-NA,ZBiCiDi=90°-ZA1C1D1,

：.ZB\C\D\=ZBf

AACiBiD^ABCD,

RD=呢，即旦=2,

C]DiC[B]x

解得x=5,

3

：.AD的長為空，

3

故答案為”.

3

cCl

【點評】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，三角形相似的判定和性質(zhì),

證得△CIBIDS^BC。是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共7題，總分值78分）

2

19.〔10分）計算：|?-1卜我義加+1-85

2^3

【分析】首先計算乘方，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值是多少

即可.

2

【解答】解：1V3-1|~V2XV6+1-8?

W3

—5/3_1_2?+2+J^-4

=-3

【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進行

實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最

后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.另外，

有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

20.（10分）解方程：―—=1

x-2x?-2x

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：Zr2-8=x2-lx,即，+2x-8=0,

分解因式得：（x-2）（x+4）=0,

解得：x—2或x--4,

經(jīng)檢驗x=2是增根，分式方程的解為x=-4.

【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗.

21.（10分）在平面直角坐標系中（如圖），一次函數(shù)的圖象平行于直線丫=上，且經(jīng)

過點A（2,3）,與x軸交于點艮

（1）求這個一次函數(shù)的解析式；

(2)設點。在y軸上，當AC=3C時，求點C的坐標.

?4

1

O1x

【分析】(1)設一次函數(shù)的解析式為了=區(qū)+兒解方程即可得到結(jié)論；

(2)求得一次函數(shù)的圖形與入?軸的解得為B(-4,0),根據(jù)兩點間的距離公式即可得

到結(jié)論.

【解答】解：⑴設一次函數(shù)的解析式為：y=kx+b,

:一次函數(shù)的圖象平行于直線y=4,

???一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A[2,3),

.*.3=-i-x注b,

：.b=2,

???一次函數(shù)的解析式為y=L+2；

2

(2)由y=L+2,令y=0,得L+2=0,

22

?”=-4,

...一次函數(shù)的圖形與x軸的解得為B(-4,0),

:點C在〉軸上，

...設點C的坐標為[0,y),

"：AC=BC,

,'V(2-0)2+(3-y)2-V(-4-0)2+(0-y)2,

經(jīng)檢驗：y=-1是原方程的根，

2

???點C的坐標是（0,--）.

2

【點評】此題考查了兩直線相交與平行問題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確的理解

題意是解題的關(guān)鍵.

22.110分）圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形ABCD表示該車的后備箱，在翻開

后備箱的過程中，箱蓋AOE可以繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)角為60°時，箱蓋AOE

落在A。'E'的位置（如圖2所示）.AZ）=90厘米，OE=30厘米，EC=40厘米.

（1）求點》到BC的距離；

（2）求E、E'兩點的距離.

【分析】（1）過點。'作O'HLBC,垂足為點H,交4。于點尸，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

出AD'=AO=90厘米，ZDAD'=60°,利用矩形的性質(zhì)可得出乙4五。'=ZBHD'

=90°,在RtZ!\A。'尸中，通過解直角三角形可求出》F的長，結(jié)合FH=OC=OE+CE

及。'H=D'F+FH可求出點O'到BC的距離：

（2）連接AE,AE',EE',利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AE'=AE,NEAE'=60°,進

而可得出△AEE'是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得出EE'=AE,在Rt/^ADE

中，利用勾股定理可求出AE的長度，結(jié)合EE'=AE可得出E、E'兩點的距離.

【解答】解：（1）過點。'作￡>'H±BC,垂足為點交于點F,如圖3所示.

由題意，得：AD'=40=90厘米，ZDAD'=60°.

?.?四邊形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

：.ZAFD'=/BHD'=90°.

在RtZXA。'F中，O'F=AD'?sinZDAD'=90Xsin60°=45b厘米.

又：CE=40厘米，￡>E=30厘米，

AFH=DC=DE+CE=10厘米，

：.D'H=D'F+FH=（45>/3+70）厘米.

答：點。'到BC的距離為（45?+70）厘米.

（2）連接A￡,AE',EE',如圖4所示.

由題意，得：AE'=AE,ZEAE'=60°,

：./\AEE'是等邊三角形，

：.EE'=AE.

?..四邊形ABC。是矩形，

:.NADE=90°.

在RtZ\AZ）E中，AO=90厘米，￡>E=30厘米，

???AE=、AD2+DE2=3O標厘米,

：.EE'=30傷厘米.

答：E、E'兩點的距離是30/厘米.

【點評】此題考查了解直角三角形的應用、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及

勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）通過解直角三角形求出D'K的長度；（2）利用勾股定

理求出AE的長度.

23.（12分）：如圖，A&AC是0。的兩條弦，且AB=AC,。是AO延長線上一點，聯(lián)結(jié)

BD并延長交。O于點E,聯(lián)結(jié)CD并延長交。。于點F.

(1)求證：BD—CD；

⑵如果求證：四邊形ABDC是菱形.

【分析】(1)連接BC,根據(jù)AB=AC,OB=OA=OC,即可得出AD垂直平分BC,根據(jù)

線段垂直平分線性質(zhì)求出即可；

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定求出NABO=NAOB=NB4O,求出BD=AB,再根

據(jù)菱形的判定推出即可.

【解答】證明：(1)如圖1,連接BC,OB,OC,

圖1

,：AB,AC是OO的兩條弦，且AB=AC,

...A在BC的垂直平分線上，

OB=OA=OC,

二。在BC的垂直平分線上，

：.AO垂直平分BC,

：.BD=CD；

(2)如圖2,連接08,

A

圖2

'：AB2=AO'AD,

???A-B_AD,

AOAB

NBAO=ADAB,

：./XABOsMADB,

J.ZOBA^ZADB,

,：OA=OB,

：.ZOBA^ZOAB,

：.ZOAB=ZBDA,

：.AB=BD,

\'AB=AC,BD=CD,

：.AB=AC=BD=CD,

，四邊形4BOC是菱形.

【點評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，線段垂直

平分線的性質(zhì)，菱形的判定，垂徑定理等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題

的關(guān)鍵.

24.（12分）在平面直角坐標系xOy中（如圖），拋物線y=7-2x,其頂點為A.

（1）寫出這條拋物線的開口方向、頂點A的坐標，并說明它的變化情況；

（2）我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“不動點”.

①試求拋物線），=/-2%的“不動點”的坐標；

②平移拋物線-2x,使所得新拋物線的頂點8是該拋物線的“不動點”，其對稱

軸與x軸交于點C,且四邊形0A8C是梯形，求新拋物線的表達式.

1

O-1x

【分析】(1)??7=1>0,故該拋物線開口向上，頂點A的坐標為(1,-1)；

(2)①設拋物線"不動點"坐標為Er),那么t=F-2t,即可求解；②新拋物線頂

點8為“不動點”，那么設點Bbn,m},那么新拋物線的對稱軸為：x=%，與x軸的

交點C(根，0),四邊形OABC是梯形，那么直線x=m在y軸左側(cè)，而點A[1,-1),

點、B(m,加，那么用=-1,即可求解.

【解答】解：(1)：a=l>0,

故該拋物線開口向上，頂點A的坐標為(1,-1);

(2)①設拋物線"不動點”坐標為(/,/),那么，=尸-2/,

解得：r=0或3,

故“不動點”坐標為(0,0)或(3,3)；

②???新拋物線頂點B為“不動點〃，那么設點8(",,〃)，

，新拋物線的對稱軸為：x=m,與x軸的交點C(m,0),

?.?四邊形O4BC是梯形，

直線在y軸左側(cè)，

與。4不平行，

OC//AB,

又?.?點A(1,-1),點B(m,m),

-1r

故新拋物線是由拋物線)，=/-2x向左平移2個單位得到的，

???新拋物線的表達式為：y=(x+1)2-1.

【點評】此題為二次函數(shù)綜合運用題，涉及到二次函數(shù)根本知識、梯形根本性質(zhì)，此類

新定義題目，通常按照題設順序，逐次求解即可.

25.(14分)如圖1,AD,8。分別是△ABC的內(nèi)角/BAC、/ABC的平分線，過點A作

AELAD,交BD的延長線于點

(1)求證：ZE——ZC；

2

(2)如圖2,如果AE=AB,且8。：DE=2：3,求cos/ABC的值；