集合的概念及運(yùn)算

第一節(jié)集合的概念與運(yùn)算最新考綱：1?了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系；2?理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；3?理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；4?理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集；5?能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算.基礎(chǔ)知識回顧 植理識記自測JICHUZHISHIHUIGU '觀知識梳理I 元素與集合集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性.元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號三或表示.集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.問題探究：集合｛0｝是空集嗎？它與｛0｝,0有什么區(qū)別？提示：集合｛0｝不是空集，因?yàn)樗性?，同理，｛0｝也不是空集，因?yàn)樗性?,但｛0｝與｛0｝不同，因?yàn)樗鼈兊脑夭煌?是不含任何元素的隹厶集合?2.集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系 、、、文字語言符號語言集合間的基本關(guān)系相等集合A與集合B中的所有元素都相同A二B子集A中任意一個元素均為B中的元素AB真子集A中任意一個元素均為B中的元素，且B中至少有一個元素不是A中的元素AB空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

3?集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集圖形語言(2?1QS符號語言AuB二{x\xwA，或xwBlAQB二{x\xwA,且xwB}［UA二{x\xwU，且x年A}4?集合的運(yùn)算性質(zhì)并集的性質(zhì)：AU0=A；AUA=A；AUB=BUA；AUB=AOB—A.交集的性質(zhì)：AG0=0；AGA=A；AGB=BGA；AAB=AOA—B.補(bǔ)集的性質(zhì)：AU(M=U；A。([,)=0；[川,)=4.砂基礎(chǔ)自測1 1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“廠或“X”)TOC\o"1-5"\h\z⑴集合｛x|y=\：X—l｝與集合｛yy=i；X—l｝是同一個集合.( )1一1--若{x2,l}={0,l}，則x=0,1.(1一1--已知集合A—{x\mx—1},B={1,2},且A—B,則實(shí)數(shù)m=1含有n個元素的集合的子集個數(shù)是2n,真子集個數(shù)是2n—1,非空真子集的個數(shù)是2n—2.()若A={O,1},B={(x,y)\y=x+l}，則A—B.( )［答案］(1)X⑵X⑶X⑷V(5)X2.(2015?新課標(biāo)全國卷II)已知集合A={—2,—1,0,1,2},B={x\(x—1)(x+2)<0},則AGB=( )B.{0,1}A.{B.{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}懈析］由題意知B二{x|?2<x<l}，所以AHB={-1,0}?故選A.［答案］A(2016?北京東城期末統(tǒng)測)已知集合A={x|0<x<2},B={x|(x—l)(x+l)>0},TOC\o"1-5"\h\z則AUB=( )(0,1)(1,2)1)U(0,+x)(—g,—1)U(1,+x)懈析］由已知條件可得B={x|(x-1)(x+1)>0}={x|x>1或x<-1},「.AUB={x|0<x<2}U{x|x>1或x<-1}={x|x>0或x<-1}，故選C.［答案］C(2015?濟(jì)南3月模擬)已知集合A={x||x—1|<2},B={x|y=lg(x2+x)}，設(shè)U=R，則AG(［皿)等于()A.［3,+兀) B.(—1,0］C.(3,+^) D.［—1,0］懈析］解不等式|x-1|<2得-1<x<3，所以A={x|-1<x<3}?要使函數(shù)y=lg(x2+x)有意義，須x2+x>0,解得x<-1或x>0,所以B={x|x<-1或x>0},［UB={x|-1<x<0}，所以AG(［/)=(-1,0］，故選B.［答案］B(2015?東北三省四市第二次聯(lián)考)設(shè)集合A={1,2,4},集合B={xX=a+b,a^A,b^A},貝V集合B中的元素個數(shù)為 .［解析］VaeA,bwA,x=a+b,「.x=2,3,4,5,6,8，:B中有6個元素.［答案］6

ItAODIANHUDOHGTAHJIUItAODIANHUDOHGTAHJIU考點(diǎn)一集合的基本概念掌握集合的概念，關(guān)鍵是把握集合中元素的特性，要特別注意集合中元素的互異性，一方面利用集合中元素的互異性能順利找到解題的切入點(diǎn)；另一方面，在解答完畢時，注意檢驗(yàn)集合的元素是否滿足互異性以確保答案正確.用描述法表示集合時，首先應(yīng)清楚集合的類型和元素的性質(zhì).加強(qiáng)對集合中元素的特征的理解，互異性常常容易忽略，求解問題時要特別汪意.(2016?銀川質(zhì)檢)已知集合力={0,1,2},則集合B={x-ylx^A，y^A}中元素的個數(shù)是()TOC\o"1-5"\h\zA.1 B.3C.5 D.9已知集合A={m+2,2m2+m},若3$A，貝Vm的值為 .［解題指導(dǎo)］切入點(diǎn)：集合中元素的特征；關(guān)鍵點(diǎn)：集合中元素的互異性.懈析］(1)逐個列舉可得?x二0,y二0,1,2時,x-y=0,-1,-2；x=1,y二0,1,2時，x-y=1,0,-1；x=2,y=0,1,2時，x-y二2,1,0.根據(jù)集合中元素的互異性可知集合B的元素為-2,-1,0,1,2.共5個.(2)因?yàn)?gA，所以m+2=3或2m2+m=3.當(dāng)m+2=3,即m二1日寸，2m2+m—3,此時集合A中有重復(fù)元素3,所以m二1不符合題意，舍去；當(dāng)2m2+m=3時，解得m=-|或m=1（舍去），3 1 |因?yàn)楫?dāng)m二-二時，m+2二2工3，符合題意.所以m二-3［答案3［答案］(1)C(2)-2（1）用描述法表示集合時要把握元素的特征，分清點(diǎn)集、數(shù)集；（2）要特別注意集合中元素的互異性，在解題過程中最容易被忽視，因此要對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，防止所得結(jié)果違背集合中元素的互異性.匚】對點(diǎn)訓(xùn)練若集合A={xWR|ox2+ax+1=0}中只有一個元素，則a=（ ）A.4 B.2C.0 D.0或4懈析］由題意得，ax2+ax+1=0只有一^實(shí)數(shù)解，當(dāng)a=0時，方程無實(shí)數(shù)解；當(dāng)aH0時，則/二a2-4a二0,解得a=4（a=0不合題意舍去），故選A.［答案］A已知集合A={t2+s2|t,s^Z},且x^A,y^A,則下列結(jié)論正確的是（ ）A.x+y^A B.x~y^AxC.xy^A D.—GA丿 y懈析］由集合A二{t2+s2|t,seZ}（即A中元素均可以表示為兩個整數(shù)平方和的形式），可得1=02+12,2=12+12，所以x=1eA,y—2eA,但1+2—3年A,故A.“x+yeA”不成立；又1-2—-1年A，故B.“x-yeA”不成立；又^A，故xD.“yeA”不成立?故選C.

［答案］C3.A、B是兩個集合，A={y|y=x2—2},B={—3,1,y}，其中y^A，貝Uy的取值集合是 .懈析］因?yàn)锽是一個集合，由集合元素的互異性可知yH?3且yHl,A是函數(shù)y=x （2015?皖南八校聯(lián)考）已知R表示實(shí)數(shù)集，集合M={x|0WxW2},N={x|x2—2x—3>0} （2015?皖南八校聯(lián)考）已知R表示實(shí)數(shù)集，集合M={x|0WxW2},N={x|x2—2x—3>0}，則下列結(jié)論正確的是（）A.M^N B.MU［rNC.［rMUN D.［rNUM （2015?鄭州模擬）已知集合A={x|_2WxW5},B={x|m+1<x<2m—1}，若B匚A,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .［解題指導(dǎo)］切入點(diǎn)：子集的定義；關(guān)鍵點(diǎn)：含有字母參數(shù)時，應(yīng)對0關(guān)注.懈析］⑴集合N二{x|x2-2x-3>0}二{x|x>3或x<-1},所以［RN二{x|-1WxW3}，又M二{x|0WxW2}，所以MJ［RN，故選B.⑵當(dāng)m+1>2m-1,即m<2時，B=0,［答案］{y\y^-2且yHl}考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系判斷集合間關(guān)系往往轉(zhuǎn)化為元素與集合間關(guān)系，對描述法表示的集合要抓住元素及屬性，可將元素列舉出來或通過元素特征，對連續(xù)數(shù)集和抽象集合，常借助數(shù)形結(jié)合的思想（借助數(shù)軸，韋恩圖及函數(shù)圖象等）解決.空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集?在解題時，若未明確說明集合非空時，要考慮到集合為空集的可能性.

滿足滿足B^A；’州方［［丁-2m+1 2m-\5xm三2,

即m±-3,

lmm三2,

即m±-3,

lmW3.m+1W2m-1,m+1 -2,、2m-1W5,.?.2WmW3.故m<2或2WmW3，即m的取值范圍為{m|mW3}.［答案］(1)B(2){m|mW3}(1)判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法：一是化簡集合，從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系；(2)已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系?解決這類問題常常是合理利用數(shù)軸、Venn圖來幫助分析；(3)B為A的子集，不要漏掉B二0時的情況.對點(diǎn)訓(xùn)練(2015?重慶卷)已知集合A={1,2,3},B={2,3}，則()A.A=B B.AQB=0C.AB D.BA［解析］TA二{1,2,3},B二{2,3},.2,3wA且2,3gB,1gA但1B，:BA.［答案］D(2016?合肥模擬)已知集合P={x|x2+x—6=0},S={x|ax+1=0}，若SUF,則實(shí)數(shù)a的取值組成的集合是A.1]3B.r1A.1]3B.r1C」3,1]2D.〔0，3,1]2懈析］由題意得，P二{-3,2}.當(dāng)a二0時，S二0，滿足S^P；當(dāng)aH0時，方程ax+1二0的解為x二-］,為滿足S"，可使-］二-3,或->2,1_2-

=

或1_31_2-

=

或1_3--

即r1故所求集合為］°,31]2［答案］D3.（2016?南充調(diào)研）已知集合A={x|4W2xW16},B=［a,b］,若A^B，則實(shí)數(shù)a-b的取值范圍是 .[解析]集合A二｛x|4W2xW16｝二｛x|22W2xW24｝二｛x|2WxW4｝二[2,4]，因?yàn)锳UB，所以aW2,b±4，所以a-bW2-4=-2，即實(shí)數(shù)a-b的取值范圍是（-OO[答案](--,-2]考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算在進(jìn)行集合的運(yùn)算時，先看清集合的元素和所滿足的條件，再把所給集合化為最簡形式，并合理轉(zhuǎn)化求解，必要時充分利用數(shù)軸、韋恩圖、圖象等工具使問題直觀化，并會運(yùn)用分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法，使運(yùn)算更加直觀、簡潔.韋恩圖示法和數(shù)軸圖示法是進(jìn)行集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的常用方法，其中運(yùn)用數(shù)軸圖示法要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心.(2015?天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6}，集合B二{1,3,4,6,7}，則集合AG(［皿)=( ){2,5} B.{3,6}C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}已知集合A={y\y=x2—2x,,GR},B={y|y=—x2+2x+6,,GR},則A^B［解題指導(dǎo)］切入點(diǎn)：集合的交、并、補(bǔ)的概念；關(guān)鍵點(diǎn)：化簡集合，準(zhǔn)確運(yùn)算.［解析］(1)先求得集合B的補(bǔ)集，再進(jìn)行交集運(yùn)算由題意得［皿二{2,5,8},??AG［皿二{2,3,5,6}G{2,5,8}二{2,5}.(2)y—x2-2x—(x-1)2_1 -1,y=-x2+2x+6=-(x-1)2+7^7,.?A—{y\y±-1},B—{y|yW7},故APB—{y|-1<y<7}?［答案］(1)A⑵{y|-1WyW7}［拓展探究］⑴在例3(2)中，若集合A變?yōu)锳={x\y=x2-2x,x^R},其他條件不變，求APB.(2)在例3(2)中，若集合A、B變?yōu)椋篈={(x，y)|y=x2—2x，x^R}，B={(x,y)|y=—x2+2x+6，x^R}，求APB.［解］(1)因A中元素是函數(shù)自變量，則A—R,而B—{y|yW7}，則APB—{y|yW7}.y二x2■2x,(2)由］ x2-2x-3=0,y x2+2x+6解得x=3或x=-1.x=3,x二-1,于是，| 或＜、y二3 、y二3,故/鮎二{(3,3),(-1,3)}.考點(diǎn)四與集合有關(guān)的新定義問題與集合有關(guān)的新定義問題屬于信息遷移類問題，它是化歸思想的具體運(yùn)用，在新給出的運(yùn)算法則的前提下，將題目中的條件轉(zhuǎn)化成符合新的運(yùn)算法則的形式,是解答此類問題的關(guān)鍵.分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過程中，是破解新定義型試題的關(guān)鍵所在.(2016?南昌質(zhì)檢)若X是一個集合，t是一個以X的某些子集為元素的集合,且滿足：①X屬于T，0屬于T；②T中任意多個元素的并集屬于T；③T中任意多個元素的交集屬于T，則稱T是集合X上的一個拓?fù)?已知集合X={a，b,c},對于下面給出的四個集合T：t={0，{a}，{c}，{a，b，c}}t={0，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}t={0，{a}，{a，b}，{a，c}}t={0，{a，c}{b，c}，{c}，{a，b，c}}其中是集合X上的拓?fù)涞募蟃的序號是 .［解題指導(dǎo)］切入點(diǎn)：拓?fù)涞母拍?；關(guān)鍵點(diǎn)：從概念出發(fā)解決問題.是集合X上的拓?fù)洌粷M足：①X屬于T,0屬于T,?1中任意多個元素的并集屬于T,?l中任意多個元素的交集屬于t,因此(2)是集合X上的拓?fù)?；{a,b}U{a,c}={a,b,c}^T,故(3)不是集合X上的拓?fù)?；滿足：①X屬于T,0屬于T,@T中任意多個元素的并集屬于T,@T中任意多個元素的交集屬于T,因此(4)是集合X上的拓?fù)?［答案］⑵(4)解決集合中新定義問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解新定義的實(shí)質(zhì)，緊扣新定義進(jìn)行推理論證，把其轉(zhuǎn)化為我們熟知的基本運(yùn)算.匸】對點(diǎn)訓(xùn)練對于任意兩個正整數(shù)m,〃，定義運(yùn)算(用十表示運(yùn)算符號)：當(dāng)m,n都是正偶數(shù)或都是正奇數(shù)時，m十n=m+n；當(dāng)m,n中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，m十n=mXn.例如4十6=4+6=10,3十7=3+7=10,3十4=3X4=12.在上述定義中，集合M={(a,b)|a十b=12,a,b^N*}的元素有 個.［解析］m,n同奇同偶時有11組：(1,11),(2,10),…,(11,1)；m,n一奇一偶時有4組：(1,12),(12,1),(3,4),(4,3).［答案］15 方法規(guī)律總結(jié) ［方法技巧］集合中的元素的三個特征，特別是無序性和互異性在解題時經(jīng)常用到.解題后要進(jìn)行檢驗(yàn)，要重視符號語言與文字語言之間的相互轉(zhuǎn)化.對連續(xù)數(shù)集間的運(yùn)算，借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化；對已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系，求其中參數(shù)的取值范圍時，要注意單獨(dú)考察等號.對離散的數(shù)集間的運(yùn)算，或抽象集合間的運(yùn)算，可借助Venn圖.［易錯點(diǎn)睛］1．解題中要明確集合中元素的特征，關(guān)注集合的代表元素（集合是點(diǎn)集、數(shù)集還是圖形集）．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時刻關(guān)注對空集的討論，防止漏解．3．解題時注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系；二是集合與集合的包含關(guān)系．Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進(jìn)行集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的常用方法，其中運(yùn)用數(shù)軸圖示法時要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心．課時跟蹤訓(xùn)練(一)一、選擇題1■集合A={x|x2+x—6W0},B={y|y=\'X,0WxW4}，則AG(［rB)=()A.［—3,2］ B.［―2,0)U(0,3］C.［－3,0］ D.［－3,0)［解析］由題知A={x|x2+x-6W0}二{x|-3WxW2},二{y［y=\lx,0WxW4}二{y|0WyW2}，所以［RB二{x|x>2或x<0}，所以An(:rB)二{x|-3<x<0}，所以選D.［答案］DTOC\o"1-5"\h\z2.(2015?石家莊一模)若已知M={0,1,2,3,4},N={1,3,5,7},P=MnN，則集合P的子集個數(shù)為( )A.2 B.3C.4 D.5懈析］TP二{1,3},二集合P的子集個數(shù)為4,故選C.［答案］C(2015?浙江卷)已知集合P={x|x2—2x±0},0={x|l<xW2}，則(［RP)G0=()A.［0,1) B.(0,2］C.(1,2) D.［1,2］［解析］先化簡集合P，再應(yīng)用集合的補(bǔ)集與交集的定義進(jìn)行計(jì)算?由X2-2x20,得xW0或x±2，即P二{x|xW0或x±2}，所以［RP={x|0<x<2}=(0,2)?又g={x|1<x<2}=(1,2］，所以(:RP)ng=(1,2).［答案］C(2015?寧波二模)設(shè)全集U=R,/={x|x(x+3)<0},B={x|x<—1}，則圖{x|—3<x<—1}{x|—3<x<0}{x|—1<x<0}{x|x<—3}［解析］因?yàn)锳={x|x(x+3)<0}={x|-3<x<0},:UB={x|x2-1}，陰影部分為An(：UB)，所以An(：UB)={x|-1<x<0}，故選C.［答案］C5.(2015?山西四校聯(lián)考)設(shè)U=R,A={xy=x\jX},B={y|y=_x2},則An(［ub)=()A.0 B.RC.{x|x>0} D.{0}［解析］TA二{x|y二x\：X}二{x|x±0},B二{y|y=-x2}={y|yW0} 二{y|y>0}，從而有An(：UB)={x|x>0}.［答案］C(2016?唐山統(tǒng)考)設(shè)全集U=R，已知集合A={x|x±l},B={x|(x+2)?(x－1)<0}，則( )A.AQB=0 B.AUB=UC.lyB^A D.［產(chǎn)B［解析］VB={x|(x+2)(x-1)<0},AB={x|-2<x<1},vA={x|x^1}，:AnB=0.［答案］A(2015?臨沂二檢)已知集合A={1,3,、m},B={1,m},AUB=A，貝Vm=()A.0或；'3 B.0或3C.1或,''3 D.1或3［解析］由AUB=A，可得B^A，則m=3或m=\tm，得m=3或0或1.經(jīng)檢驗(yàn)m=1時，集合A={1,3,1},B={1,1}，顯然不成立.綜上有m=0或3，故選B.［答案］B已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x$A,x<y,x+y^A},則集合BTOC\o"1-5"\h\z中的元素個數(shù)為( )A.2 B.3C.4 D.5懈析］當(dāng)x=1時，y二2或3或4；當(dāng)x=2時,y=3,所以集合B中的元素個數(shù)為4.［答案］C(2015?沈陽質(zhì)量監(jiān)測(二))已知非空集合A,B,全集U=AUB，集合M=AnB，集合^=(：UB)u(：UA),貝y( )A.MUN=M B.MnN=0［解析］因?yàn)楸绢}涉及的集合間的運(yùn)算以及關(guān)系較為抽象，可以考慮利用Venn圖輔助解題?作出滿足題意的Venn圖，如圖所示，容易知道MCN二0,故選B.［答案］B10.設(shè)集合A={x|x2+2x—3>0},集合B={x|x2—2ax—1WO,a>0}.若A^B中恰含有一個整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()_4,3)C.34,A(_4,3)C.34,D.(1,+^)懈析］A={x|x2+2x-