集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章集合集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：一、集合1、集合的概念集合：一般地，把一些能夠確定的不同的對象看出一個(gè)整體，就說這個(gè)整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合(或集)，通常用大寫英文字母A,B,C…表示。集合的元素：構(gòu)成集合的每個(gè)對象叫做這個(gè)集合的元素(或成員)，通常用小寫寫英文字母a,b,c...表示。2、 元素與集合的屬于關(guān)系：笑若a是集合A的元素，就說a屬于A，記作：awA，讀作“a屬于A”若a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作：a電A，讀作“a不屬于A”。3、 空集0:不含任何元素的集合叫做空集，記作0。4、 集合元素的基本性質(zhì)：確定性、互異性、無序性。5、 集合的分類：有限集：含有有限個(gè)元素的集合；無限集：含有無限個(gè)元素的集合。6、 常用數(shù)集的表示 牢記，熟記自然數(shù)集(非負(fù)整數(shù)集)N；正整數(shù)集N或N*；整數(shù)集Z；有理數(shù)集0；實(shí)數(shù)集R；+正實(shí)數(shù)集R+，均是無限集。二、集合的表示法1、 列舉法：適用于有限集，且元素個(gè)數(shù)不多，或者是無限集，元素個(gè)數(shù)較多，但呈現(xiàn)一定規(guī)律，列出幾個(gè)元素作為代表，其余用“…”代替。2、 描述法：元素的特征性質(zhì)：如果在集合I中，屬于集合A的任意一個(gè)元素都具有性質(zhì)p(x)，而不屬于A的元素都不具有性質(zhì)P(x)，則p(x)叫做集合A的一個(gè)特征性質(zhì)。P(x)是集合A的一個(gè)特征性質(zhì)，集合A可以表示為&e11p(x)},它表示的集合A為在集合I中具有性質(zhì)P(x)的所有元素構(gòu)成的。注意：若元素的范圍為R時(shí)，eR可以省略?！锝?jīng)典例題：例一、現(xiàn)已知一個(gè)集合為kX,x2)，貝y實(shí)數(shù)x滿足的條件為 。【X豐1,-1,0】解：由于元素的互易性，因此得到關(guān)系x豐1;x2豐1;x豐x2，從而解得x豐1,—1,0。例二、用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?_e_{0}；0_纟_例二、用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?_e_{0}；0_纟_0；0_e{0}；0_纟_N+{0}豐0。例三、給定集合A、B，定義A*B=xm-n,meA,neB}。若A={4,5,6},B={1,2,3}，則集合A*B的所有元素之和為 ?！?5】解：題意為從集合A中任意選取一個(gè)元素，與集合B中的任意一個(gè)元素作差，所得元素為集合A*B的元素，這里要注意元素的互異性。故x=4-1,4-2,4-3,5-1,5-2,5-3,6-1,6-2,6-3=1,2,3,4,5即A*B={1,2,3,4,5}，元素之和為15。例四、設(shè)集合A={2,3,a2+2a-3),B={a+3,2}若已知5eA，且5笑B，求實(shí)數(shù)a。解：由于5eA，故有a2+2a—3=5，解得a=-4或2。但題目要求5笑B，因此a+3豐5，即a豐2。因此a=-4。例五、實(shí)數(shù)集A滿足條件：1笑A，若aeA，則亠eA。1-a若2eA，求A；集合A能否為單元素集合？若能，求出A；若不能，說明理由；求證：1-丄eA。a解：(1)由題意知，若aeA，則eA。因此2eA，則有丄;=-1eA。1-a 1-2由一1eA，則_ =^eA。由卞e(cuò)A，則一-=2eA。因此A=^2,-1,-1-(T)2 2 1-1 I22若讓集合A為單元素集合，必須滿足a= 。整理得到a2-a+1=0，1-a驗(yàn)證A=1-4<0，因此沒有a滿足上述方程，即集合A不能為單元素集合。1由于題意有若aeA，貝y eA。1-a1 1 a-1 1因此當(dāng)eA時(shí)，可有 = =1-—eA。1-a 1一1a a1-a例六、以下集合各代表什么：M={m|m=2k,keZ} 偶數(shù)、X={x|x=2k+1,keZ}――奇數(shù)}這些均是數(shù)集，與代表元素的不同沒有關(guān)系。Y={yy=4k+1,keZ} 奇數(shù)丿④P={(x,y)|y=x+1,xeR}——點(diǎn)集(有序數(shù)對集合)幾何意義：滿足直線y=x+1圖像上所有的點(diǎn);代數(shù)意義：滿足二元一次方程y=x+1的解。例七、若集合A二例七、若集合A二x2+(a—1)x+b二o｝中，僅有一個(gè)元素a，則a=1【3】1【9】解：題意可只兩個(gè)條件，其一是僅有一個(gè)元素，即方程只有一個(gè)解。其二為單元素即為a。因此得到兩個(gè)關(guān)系式：將a代入方程有a2+(a+1)a+b=0和A=(a-1)2-4b=0,從中求出a=3,b=9。例八、已知集合A二ax2-3x+2二。｝,其中a為常數(shù)，且aeR。例八、已知集合A二若A是空集，求a的范圍；若A中只有一個(gè)元素，求a的范圍；若A中至多只有一個(gè)元素，求a的范圍。解：(1)因?yàn)锳是空集，則必須要求方程ax2—3x+2=0無實(shí)根，即A=9—8a<0，9因此a> 。82)若A中只有一個(gè)元素，此時(shí)需要討論a是否為0。2)2當(dāng)a=0時(shí)，方程為—3x+2=0，解得x二，符合題意;9當(dāng)a豐0時(shí)，方程為ax2—3x+2=0，要求A=9—8a=0，即a=。89綜上所述，a=0或8若A中至多只有一個(gè)元素，即有一個(gè)元素，或沒有。只要綜合(1)(2)的答案即9可。故a的取值范圍是a=0或a> 。8三、子集和真子集1、子集：集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，則集合A叫做集合B的子集。記作：A匸B或BnA讀作“A包含于B”或“B包含A”若集合P中存在著不是集合Q的元素，則集合P不是集合Q的子集。記作：PgQ或QZP注意：(1)自身性：A匸A，任何集合是它本身的子集。規(guī)定：0匸A，空集是任何子集的真子集。e與匸區(qū)別：e是從屬關(guān)系，表示元素與集合之間的關(guān)系，匸是包含關(guān)系，表示集合與集合之間的關(guān)系。2、真子集：若集合A是集合B的子集(簡化：若A匸B，數(shù)學(xué)語言的簡潔)，并且集合B中至少含有一個(gè)元素不屬于集合A，則集合A是集合B的真子集。

記作：B或B疋A讀作“A真包含于B”或“B真包含A”注意：（1）空集0是任何非空集合的真子集。（2）A匸B A二B3、韋恩圖：包含關(guān)系的傳遞性A匸B,B匸C，則A匸C； 維恩圖表示AuAuB,BuC則AuC集合N+，NZQ,R之間的關(guān)系，用維恩圖表示4、個(gè)數(shù)規(guī)律：（card（A）表示集合A的元素個(gè)數(shù)）元糸子集真子集非空子集非空真子集5、集合相等：A匸B,B匸A，則A=B★經(jīng)典例題：例一、判斷下列集合是否為同一個(gè)集合①A={l,2},B={（1,2）} 不是，一個(gè)是點(diǎn)集，一個(gè)是數(shù)集A={xeN10<x<5},B={xeR10<x<5) 不是，元素范圍不同A={y1y=2x+l},B={(x，y)1y=2x+l} 不是，一個(gè)是點(diǎn)集，一個(gè)是數(shù)集是，元素相同，均是實(shí)數(shù)，與代表元素?zé)o關(guān)④A={xIx>5},B={yIy>5}是，元素相同，均是實(shí)數(shù)，與代表元素?zé)o關(guān)例二、用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?u {a}； {a} u {a,b}； {a} u {a}； 0u {a}；{l,2,3}_u_{l,2,3,4}；0_u_0H例三、若集合A={1,3,x},B=(2,1}，且BuA，則x= 【0或土再】解：依題BuA，則x2=x,或x2=3，解出x=0,1,土啟；由于元素具有互異性，故舍去1。例四、已知集合A={x|1<x<4},B={x|x<a}，若AuB，則實(shí)數(shù)a的取值集合為.H[{aa>4}】解：步驟：①在數(shù)軸上畫出已知集合；由x<A確定，應(yīng)往左畫（若為x>A，則往右畫），進(jìn)而開始實(shí)驗(yàn)；得到初步試驗(yàn)結(jié)果；驗(yàn)證端點(diǎn)。試驗(yàn)得到：a>4，當(dāng)a=4時(shí)，由于A集合也不含有4,故滿足AuB。豐綜上所述，｛\a>4｝。例五、滿足｛1｝匸Mu｛l,2,3｝的集合M為 【｛1｝,｛1,2豐解：因?yàn)椋?｝匸M，因此M中必須含有1這個(gè)元素。又知道Mu｛1,2,3｝豐故得到｛1｝,｛1,2｝,｛1,3｝。（｛1,2,3｝不滿足真子集的要求）四、集合的運(yùn)算1、交集：一般地，對于兩個(gè)給定集合A,B，由屬于A又屬于B的所有元素構(gòu)成的集合,叫做A,B的交集。核心詞匯：共有。記作：AB讀作“A交B”A二｛123,4,5B=｛3,4,5,6,8｝，AB=｛3,4,5｝交集為0在畫數(shù)軸時(shí),要注意層次感和端點(diǎn)的虛實(shí)！2、 交集的性質(zhì)：AA=A；如果A匸B，則AB=A。3、 并集：一般地，對于兩個(gè)給定集合A,B，由兩個(gè)集合的所有元素構(gòu)成的集合，叫做A,B的并集。核心詞匯：全部。記作：AB讀作“A并B”只要是線下面的部分都要！4、 并集的性質(zhì)：AA=A；如果A匸B，則AB=B5、 補(bǔ)集：如果給定的集合A是全集U的一個(gè)子集，由U中不屬于A的所有元素構(gòu)成的集合，叫做A在u中的補(bǔ)集。核心詞匯：剩余。記作“/”U讀作：“A在U中的補(bǔ)集”

6、補(bǔ)集的性質(zhì)：★經(jīng)典例題：例一、已知集合M={0,1,2,4,5,7},N={1,4,6,8,9},P={4,7,9},則（MN）（MP）等于 【{1,4,7}】解：McN=X1,4WM心={4,7}，故（M N）（M P）={1,4,7}。例二、設(shè)集合M={mgZ丨―3<m<2},NngZI-1廷nW3},則MN= 【{-1,1}】解：首先觀察兩個(gè)集合均為數(shù)集，代表元素的不同不影響集合本身。其次范圍均為整數(shù),故M={一2，-1，。，1},N={一1，。，1，2,3}，因此取交集后，得到的結(jié)果應(yīng)為{-101}。例三、A={xI-1<x<3}，B={xIx>a}，若AB=0,貝飲數(shù)a的取值范圍是 【a>3】解：步驟：①在數(shù)軸上畫出已知集合；由x<a確定，應(yīng)往左畫（若為x>a，則往右畫），進(jìn)而開始實(shí)驗(yàn)；得到初步試驗(yàn)結(jié)果；驗(yàn)證端點(diǎn)。試驗(yàn)得到的結(jié)果為a>3，驗(yàn)證端點(diǎn)，當(dāng)a=3時(shí)，由于A集合不含有3,滿足交集為0。綜上所述，a的取值范圍是a>3。例四、求滿足M匸{a，a，例四、求滿足M匸{a，a，a，a123a,a}】24a}={a，31【{a,a}或{a,12}，且M {a，a，a}={a，a}的集合Mo1 2 3 1 2na}2a，a}，則M={a,a}或M={a,a,a}3 4 1 2 1 2 4解：由于M{a，1又有MQ{a,1例五、集合A={0,2,a},B={,a2}，若AB={0，1,2,4，16}，貝ija的值為a，2則可以推得M中必有a1，篤，沒有a3。4】解：A解：A={0,2,a},B={,a2},AB=^0,1,2,4,16}".?.a=4a=4u例六、設(shè)集合U={(x,y)y=x-1},A=<(x,y)|三乜=1>，則C^A=—【{（0,-1）}】解：表示平面上滿足直線丄也=解：表示平面上滿足直線丄也=1的無數(shù)點(diǎn),x其中x主0,y1o又U={x,y）y=x-1}表示平面上滿足直線y=x-1上的全部點(diǎn)，故補(bǔ)集為{(o,-1)},這組有序數(shù)對例七、已知集合A={x|x2+px一2=0},B={x|x2一x+q=0},且AoB={一2,0,1},求實(shí)數(shù)p,q的值?！緌=o,p=1】解：觀察A集合，可知o電A，又有aOB={—2,0,1}，則0eB。將0代入x2-x+q=0，得至I」q=0，反解x2-x=0，得至I」x=0或1。由于AoB={-2,0,1},B={0,1}，則一2eA。將-2