2017年北京高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

絕密★啟封并使用完畢前2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）本試卷共5頁(yè)，150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）若集合A={x|－2<x<1}，B={x|x<－1或x>3}，則A?B=（A）{x|－2<x<－1}（B）{x|－2<x<3}（C）{x|－1<x<1}（D）{x|1<x<3}（2）若復(fù)數(shù)（1－i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（A）(–∞，1)（B）(–∞，－1)（C）(1，+∞)（D）(–1，+∞)（3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（A）2（B）（C）（D）（4）若x，y滿足x≤3，x+y≥2，則x+2y的最大值為y≤x，（A）1（B）3（C）5（D）9（5）已知函數(shù)，則 （A）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)（B）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （C）是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)（D）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)（6）設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的 （A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（7）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（A）3（B）2（C）2（D）2（8）根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）若雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)m=_______________.（10）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=–1，a4=b4=8，則=__________.（11）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)，則|AP|的最小值為.（12）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱。若，則=.（13）能夠說(shuō)明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù).若a＞b＞c，則a+b＞c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為_(kāi)_____________________________.（14）三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示，其中點(diǎn)Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，i=1，2，3。①記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q1，Q2，Q3中最大的是_________。②記pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則p1，p2，p3中最大的是_________。三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（15）（本小題13分）在△ABC中，=60°，c=a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7,求△ABC的面積.（16）（本小題14分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.(I)求證：M為PB的中點(diǎn)；(II)求二面角BPDA的大??；(III)求直線MC與平面BDP所成角的正炫值。（17）（本小題13分）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥。一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示為服藥者.（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A,B,C,D,四人中隨機(jī)選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E（）；（Ⅲ）試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫(xiě)出結(jié)論）（18）（本小題14分）已知拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P(1,1).過(guò)點(diǎn)(0,)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點(diǎn)A,B，其中O為原點(diǎn).（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）求證：A為線段BM的中點(diǎn).（19）（本小題13分）已知函數(shù)f(x)=excosx?x.（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,]上的最大值和最小值.（20）（本小題13分）設(shè){an}和{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列，記cn=max{b1–a1n,b2–a2n,…,bn–ann}(n=1,2,3,…)，其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．（Ⅰ）若an=n，bn=2n–1，求c1,c2,c3的值，并證明{cn}是等差數(shù)列；（Ⅱ）證明：或者對(duì)任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，當(dāng)n≥m時(shí)，；或者存在正整數(shù)m，使得cm,cm+1,cm+2,…是等差數(shù)列．2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）答案一、（1）A （2）B （3）C （4）D（5）A （6）A （7）B （8）D二、（9）2 （10）1（11）1 （12）（13）（答案不唯一） （14）Q1 p2三、（15）（共13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)?，，所以由正弦定理?（Ⅱ）因?yàn)?，所?由余弦定理得，解得或（舍）.所以△ABC的面積.（16）（共14分）解：（I）設(shè)交點(diǎn)為，連接.因?yàn)槠矫?，平面平面，所?因?yàn)槭钦叫危詾榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn).（II）取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)椋?又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，所以平?因?yàn)槠矫妫?因?yàn)槭钦叫?，所?如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即.令，則，.于是.平面的法向量為，所以.由題知二面角為銳角，所以它的大小為.（III）由題意知，，.設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.（17）（共13分）解：（Ⅰ）由圖知，在服藥的50名患者中，指標(biāo)的值小于60的有15人，所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人指標(biāo)的值小于60的概率為.（Ⅱ）由圖知，A,B,C,D四人中，指標(biāo)的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值為0,1,2..所以的分布列為012故的期望.（Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差.（18）（共14分）解：（Ⅰ）由拋物線C：過(guò)點(diǎn)P（1，1），得.所以拋物線C的方程為.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.（Ⅱ）由題意，設(shè)直線l的方程為（），l與拋物線C的交點(diǎn)為，.由，得.則，.因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），所以直線OP的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.直線ON的方程為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.因?yàn)?，所?故A為線段BM的中點(diǎn).（19）（共13分）解：（Ⅰ）因?yàn)?，所?又因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅱ）設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以對(duì)任意有，即.所以