小學(xué)數(shù)學(xué)3年級(jí)培優(yōu)奧數(shù)講義 第07講-填數(shù)游戲（含解析）

第07講填數(shù)游戲

第學(xué)習(xí)目標(biāo)&

?經(jīng)歷填數(shù)游戲活動(dòng)，初步提高分析推理能力。

?在探索、嘗試、交流等活動(dòng)中，體會(huì)填數(shù)游戲的樂(lè)趣，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

春知識(shí)梳理

本講有兩部分主要內(nèi)容：

1、幻方的概念和性質(zhì)，簡(jiǎn)單幻方的編制；

2、把一些數(shù)字按照一定要求排列成相應(yīng)的圖形，叫做數(shù)陣圖。

大致分為三類(lèi)：(1)封閉型數(shù)陣圖

(2)輻射型數(shù)陣圖

(3)復(fù)合型數(shù)陣圖

幻方的概念：所謂幻方是指在正方形方格表的每個(gè)方格內(nèi)填入數(shù)，使得每行、每列和兩條對(duì)角

線上的各數(shù)之和相等；而階數(shù)是指每行、每列所包含的方格數(shù)。

幻方題可以粗略的分為兩種

(1)限制了所填入的數(shù)字，或者給出了需要填入的各個(gè)數(shù)字，或者已經(jīng)填入一個(gè)或幾個(gè)

數(shù)字；

(2)另一種是對(duì)填入的數(shù)字沒(méi)有任何限制，填對(duì)即可。

幻方問(wèn)題主要方法：

(1)累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和關(guān)鍵位置上的數(shù)字。通常將若干個(gè)“幻

和”累加在一起，再計(jì)算每一個(gè)位置上的重?cái)?shù)，從而求出“幻和”和關(guān)鍵位置上的數(shù)字。

(2)求出“幻和”和關(guān)鍵位置上的數(shù)字后，結(jié)合枚舉法完成數(shù)陣圖的填寫(xiě)，在填寫(xiě)數(shù)陣

圖的過(guò)程中注意從特殊的數(shù)字和位置入手。

⑶比較法：利用比較的方法可以直接填出某些位置的數(shù)字。注意觀察數(shù)陣圖中相關(guān)聯(lián)的“幻

和”之間的關(guān)系，注意它們之間共同的部分，去比較不同的部分

本講還有一部分內(nèi)容是數(shù)陣圖拓展，也就是在三年級(jí)數(shù)陣圖初步的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)陣圖問(wèn)題

的解題方法。數(shù)陣圖問(wèn)題方法多樣且特殊，我們將在例題中詳細(xì)講解。其實(shí)這些方法和幻方是

一致的，大家可以在下面的學(xué)習(xí)中體會(huì)到這一點(diǎn)。

簪，典例分析

例1、在下圖中分別填入1—9,使兩條直線上五個(gè)數(shù)的和相等，和是多少呢?

例2、把數(shù)字1——8分別填入下圖的小圓圈內(nèi)，使每個(gè)五邊形上5個(gè)數(shù)的和都等于20。

例3^在圖中填入2——9,使每邊3個(gè)數(shù)的和等于15。

例4、把1—8填入下圖。內(nèi)，使每邊上三個(gè)數(shù)的和最大。求最大的和是多少？

例5、在下圖各圓空余部分填上.、八，、°,乂,個(gè)圓的4個(gè)數(shù)的和都是21。

2

6

例6、將3、4、5三個(gè)數(shù)分別填在圖形的方格種，使每行每列每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和相等。

例7、把2、3、4、5分別填入。內(nèi)，使每條線上三個(gè)數(shù)的和都等于10。

,U.

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(5—o-<c

例8、將2、4、5、7分別填入下列圖中，使每條線上三個(gè)數(shù)的和等于13。

例9、將1、2、3、4,5、6、7分別填入圖中，使每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都等

于15o

演實(shí)戰(zhàn)演練

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＞課堂狙擊

1.將6、8、9、10、11、12六個(gè)數(shù)分別填在小圓圈里，使每個(gè)大圓圈上五個(gè)數(shù)的和等于40。

2.把2、3、4、6四個(gè)數(shù)分別填在燈籠里，使每個(gè)圓圈上四個(gè)燈籠里的數(shù)加起來(lái)，和都等于14。

4.將1、2、3、4、5、6、7這七個(gè)數(shù)分別填入圓圈內(nèi)，使每條線上的三個(gè)數(shù)的和都相等。

5.將1、2、3、4、5、6、7這七個(gè)數(shù)分別填入圓圈內(nèi)，使每條線上三個(gè)數(shù)的和都是10。

O

尸、

6.將1、2、3、4、5、6填入圖中的小圓圈內(nèi)，使每個(gè)大圓上4個(gè)數(shù)的和都是16。

＞課后反擊

1、如圖：在空格中填入不同的數(shù)，使每一橫行、豎行、斜行的三個(gè)數(shù)的和等于15。

2、下圖中三個(gè)圓圈兩兩相交形成七個(gè)部分，分別填上1—7七個(gè)自然數(shù)，在一些部分中，自

然數(shù)3,5,7三個(gè)數(shù)已填好，請(qǐng)?zhí)钌掀溆喔鲾?shù)，使每個(gè)圓圈中四個(gè)數(shù)的和都是15。

57

3

用數(shù)字1,2來(lái)填數(shù)，使正方形每條邊的和為5,四條邊的和為13

將2,3,5填入右圖六個(gè)圓圈里，使每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的和相等。

5.將1,2,3,4,5,6,7,8,9九個(gè)數(shù)字分別填入圖中的小圓圈中，使三角形每邊上四個(gè)

數(shù)的和是17?

6.把3,6,9,12,15五個(gè)數(shù)填在下面的。里，使每條線上三個(gè)數(shù)的和與正方形四個(gè)角上四

個(gè)數(shù)的和相等。

;名師點(diǎn)撥，

一勿方問(wèn)題主要方法：

(1)累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和關(guān)鍵位置上的數(shù)字。通常將若干個(gè)'‘幻

和”累加在一起，再計(jì)算每一個(gè)位置上的重?cái)?shù)，從而求出“幻和”和關(guān)鍵位置上的數(shù)字。

(2)求出“幻和”和關(guān)鍵位置上的數(shù)字后，結(jié)合枚舉法完成數(shù)陣圖的填寫(xiě)，在填寫(xiě)數(shù)陣

圖的過(guò)程中注意從特殊的數(shù)字和位置入手。

(3)比較法：利用比較的方法可以直接填出某些位置的數(shù)字。注意觀察數(shù)陣圖中相關(guān)聯(lián)的“幻

和”之間的關(guān)系，注意它們之間共同的部分，去比較不同的部分

本講還有一部分內(nèi)容是數(shù)陣圖拓展，也就是在三年級(jí)數(shù)陣圖初步的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)陣圖問(wèn)題

的解題方法。數(shù)陣圖問(wèn)題方法多樣且特殊，我們將在例題中詳細(xì)講解。其實(shí)這些方法和幻方是

一致的，大家可以在下面的學(xué)習(xí)中體會(huì)到這一點(diǎn)。

＞學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)』

堂a

＞本節(jié)課我學(xué)到了

＞我需要努力的地方是

第07講填數(shù)游戲

教學(xué)目標(biāo)A

學(xué)經(jīng)歷填數(shù)游戲活動(dòng)，初步提高分析推理能力。

?在探索、嘗試、交流等活動(dòng)中，體會(huì)填數(shù)游戲的樂(lè)趣，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

覆知識(shí)梳理，「

本講有兩部分主要內(nèi)容：

1、幻方的概念和性質(zhì)，簡(jiǎn)單幻方的編制；

2、把一些數(shù)字按照一定要求排列成相應(yīng)的圖形，叫做數(shù)陣圖。

大致分為三類(lèi)：(1)封閉型數(shù)陣圖

(2)輻射型數(shù)陣圖

(3)復(fù)合型數(shù)陣圖

幻方的概念：所謂幻方是指在正方形方格表的每個(gè)方格內(nèi)填入數(shù)，使得每行、每列和兩條對(duì)角

線上的各數(shù)之和相等；而階數(shù)是指每行、每列所包含的方格數(shù)。

幻方題可以粗略的分為兩種

(1)限制了所填入的數(shù)字，或者給出了需要填入的各個(gè)數(shù)字，或者已經(jīng)填入一個(gè)或幾個(gè)

數(shù)字；

(2)另一種是對(duì)填入的數(shù)字沒(méi)有任何限制，填對(duì)即可。

幻方問(wèn)題主要方法：

(1)累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和關(guān)鍵位置上的數(shù)字。通常將若干個(gè)“幻

和”累加在一起，再計(jì)算每一個(gè)位置上的重?cái)?shù)，從而求出“幻和”和關(guān)鍵位置上的數(shù)字。

(2)求出“幻和”和關(guān)鍵位置上的數(shù)字后，結(jié)合枚舉法完成數(shù)陣圖的填寫(xiě)，在填寫(xiě)數(shù)陣

圖的過(guò)程中注意從特殊的數(shù)字和位置入手。

⑶比較法：利用比較的方法可以直接填出某些位置的數(shù)字。注意觀察數(shù)陣圖中相關(guān)聯(lián)的“幻

和”之間的關(guān)系，注意它們之間共同的部分，去比較不同的部分

本講還有一部分內(nèi)容是數(shù)陣圖拓展，也就是在三年級(jí)數(shù)陣圖初步的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)陣圖問(wèn)題

的解題方法。數(shù)陣圖問(wèn)題方法多樣且特殊，我們將在例題中詳細(xì)講解。其實(shí)這些方法和幻方是

一致的，大家可以在下面的學(xué)習(xí)中體會(huì)到這一點(diǎn)。

\典例分析

例1、在下圖中分別填入1—9,使兩條直線上五個(gè)數(shù)的和相等，和是多少呢?

【解析】我們可以這樣想，把1——9中間的5填到中心的。內(nèi)，剩下八個(gè)數(shù)，一大一小，搭配

成和都是10的四組，這樣兩條直線上五個(gè)數(shù)的和都是5+10x2=25o如果把1填在中心的。內(nèi)，

這樣剩下的八個(gè)數(shù)可以一大一小搭配成和都是11的四組，這時(shí)兩條直線上五個(gè)數(shù)的和是1+

11x2=23。

想想：兩條直線上五個(gè)數(shù)的和還可以是多少？

邊形上5個(gè)數(shù)的和都等于20。

'+8=36,題中要使每個(gè)五邊形上五

個(gè)數(shù)的和等于20,那么兩個(gè)五邊形上數(shù)字的總和是20x2=40o兩個(gè)五邊形上的數(shù)字總和比8

個(gè)數(shù)的和多40—36=4,多4的原因是圖中中間兩個(gè)圓圈的數(shù)字算了兩次，多算了一次。1—8

中只有1和3的和為4所以先確定關(guān)鍵的中間兩個(gè)圓圈中，一個(gè)填1.一個(gè)填320—(1+3)=16

16可以分成2+6+8和4+5+7,所以本題應(yīng)該這樣填：

例3、在圖中填入2——9,使每邊3個(gè)數(shù)的和等于15。

【解析】解這題的關(guān)鍵是填出圖中9求和時(shí)這4個(gè)頂點(diǎn)各算了兩次，多算了一

次，所以4邊數(shù)的和是15x4=60,所給的數(shù)的和是2+3+4+5+6+7+8+9=44,所以4個(gè)頂

點(diǎn)數(shù)的和是60—44=16。我們可選出3+7+4+2=16填入4個(gè)頂點(diǎn)。

想一想，有沒(méi)有其他填法？.

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例4、把1—8填入下圖。內(nèi)，使每心_1^一I外口;|/小取八。求最大的和是多少？

【解析】要使每邊上三個(gè)數(shù)之和最一，_________7、6、5填在四角，因?yàn)樗膫€(gè)角上的數(shù)

在求和時(shí)各用了兩次，其他數(shù)各用了一次。由此我們可以列出求和的算式為：

[(8+7+6+5)x2+44-3+2+11-4=62-4和不是整數(shù)，說(shuō)明四條邊上的總和要減少2才行，這

只要將填在角上的5換成3即可。所以，最大的和為：(62—2)+4=15.

例5、在下圖各圓空余部分填上3、5、7、8,使每個(gè)圓的4個(gè)數(shù)的和都是21。

【解析】這題的關(guān)鍵是找出中間部分填什么，因?yàn)樗o的3個(gè)數(shù)都是雙數(shù)，恰好每個(gè)圓內(nèi)

有兩個(gè)雙數(shù)，它們的和也是雙數(shù)，再填入兩個(gè)數(shù)后，使每個(gè)圓的4個(gè)數(shù)的和是21.21是單

數(shù)，也就是每個(gè)圓內(nèi)填入的兩個(gè)數(shù)的和為單數(shù)，而3、5、7、8中3、5、7都是單數(shù)，要

使和為單數(shù)，8要填入中間部分，如右圖。

例6、將3、4、5三個(gè)數(shù)分別填在圖形的方格種，使每行每列每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和相等。

【解析】可以這樣想，如,—5,每列的三個(gè)數(shù)也分別是3、4、5,那么,

每行、每列三個(gè)數(shù)的和是相等的。如果要滿足對(duì)角線三個(gè)數(shù)的和與每行、每列三個(gè)數(shù)的和相等,

一組可用3、4、5,另一組三個(gè)數(shù)必定都是4。

例7、把2、3、4、5分別填入。內(nèi)，使每條線上三個(gè)數(shù)的和都等于10。

【解析】可以這樣想，右邊一條線上出現(xiàn)了1和6,最上面的圓中可填10—6—1=3；左邊下

面兩個(gè)圓中數(shù)的和是10—3=7（7可以分成2和5）?？上逻吜韮蓚€(gè)數(shù)的和是10—1=9（9可以分

成4和5）,那么5是左邊和下邊兩條邊上的公用數(shù)，5應(yīng)填在左下角的圓內(nèi)，2和4分別填在

左邊和下邊的中間圓內(nèi)。

例8、將2、4、5、7分別填入下列圖中，使每條線上三個(gè)數(shù)的和等于13。

【解析】要使每條線上的三個(gè)數(shù)相加的和等十13,可以從有兩個(gè)數(shù)的那一邊入手，左下角可

填13—8—3=2；在上邊8和1的中間可填13—8—1=4；右下角可以填13—2—6=5；右邊1

和5的中間應(yīng)填13-l-5=7o

例9、將1、2、3、4、5、6、7分別填入圖中，使每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都等

于15?

【解析】先從中間橫行入手，15—9—5=1,8的下面填1；第一豎行15—8—1=6,最下一格

填6；兩個(gè)對(duì)角分別填15—8—5=2和15—6—5=4；第一橫行和第三橫行中間數(shù)應(yīng)填15—8

—4=3,15—6—2=7。

「廿；3?

1實(shí)戰(zhàn)演練

＞課堂狙擊

1.將6、8、9、10、11、12六個(gè)數(shù)分別填在小圓圈里，使每個(gè)大圓圈上五個(gè)數(shù)的和等于40o

【解析】從圖中可以看出，在5?12八個(gè)數(shù)中，7和5是兩個(gè)大圓中的公用數(shù)。那么大圓中另

三個(gè)數(shù)的和應(yīng)是40—7—5=28。可以推導(dǎo)出左邊大圓中的另三個(gè)數(shù)可以為12、10和6；右邊

大圓中另三個(gè)數(shù)可以為11、9和8,反之亦可。

2.把2、3、4、6四個(gè)數(shù)分別填在燈籠里，使每個(gè)圓圈上四個(gè)燈籠里的數(shù)加起來(lái)，和都等于14。

【解析】上方圓圈里已有兩個(gè)燈籠填好5和1,要使四個(gè)燈籠內(nèi)的數(shù)加起來(lái)和是14,另外兩個(gè)

燈籠里的數(shù)加起來(lái)的和應(yīng)是8。在2、3、4、6這四個(gè)數(shù)中，只有2+6=8,所以把2和6分別

填入這兩個(gè)燈籠里，再把剩下的3和4填在另外兩個(gè)相應(yīng)的燈籠里。

4.將1、2、3、4、5、6、7這七個(gè)數(shù)分別填入圓圈內(nèi)，使每條線上的三個(gè)數(shù)的和都相等。

小、…一

【解析】“4”這個(gè)數(shù)是中間數(shù),八少:八⑸八71.人，再將其余六個(gè)數(shù)分成三組,因?yàn)?+2+3+

5+6+7=24,24+3=8,所以有1+7=8,2+6=8,3+5=8,分別把這六個(gè)數(shù)填入圓圈內(nèi)就行

了。

5.將1、2、3、4、5、6、7這七個(gè)數(shù)分別填入圓圈內(nèi)，使每條線上三個(gè)數(shù)的和都是10。

O

【解析】關(guān)鍵是要確定中間的圓圈里填幾?？梢赃@樣想：先分別求出七個(gè)數(shù)的和與三條線上的

九個(gè)數(shù)的和，并作比較，30-28=2,這多出的2,是由于中間圓圈內(nèi)的數(shù)重復(fù)計(jì)算了2次，

所以中間圓圈里應(yīng)填2+2=1,然后將其余的六個(gè)數(shù)分成三組，每一組的和為9：2+7=9,3

+6=9,4+5=9,同一組的數(shù)，填到同一條線上。

6.將1、2、3、4、5、6填入圖中的小圓圈內(nèi)，使每個(gè)大圓上4個(gè)數(shù)的和都是16。

【解析】所給的六個(gè)數(shù)之和是1+2+3+4+5+6=21,題中要求每個(gè)大圓上數(shù)之和為16,那

么兩個(gè)大圓上數(shù)的總和是16x2=32。兩個(gè)大圓上數(shù)總和比六個(gè)數(shù)的和多32—21=11,怎么多

了？因?yàn)閳D中間兩圓圈里的數(shù)算了兩次，多算了一次就多了11。1?6中只有5和6合起來(lái)

是11,所以先確定中間的兩個(gè)圓圈中一個(gè)填5、一個(gè)填6,確定了這兩個(gè)關(guān)鍵的數(shù)，其余圓圈

里的數(shù)就不難確定了。用16-(5+6)=5,5=4+1=3+2,兩個(gè)大圓中另外兩個(gè)小圓里分別填

4、1和2、3

＞課后反擊

1、如圖：在空格中填入不同的數(shù)，使每一橫行、豎行、斜行的三個(gè)數(shù)的和等于15。

3

H

[ZJLZ1,

2、下圖中三個(gè)圓圈兩兩相交形成七個(gè)部分，分別填上1—7七個(gè)自然數(shù)，在一些部分中，自

然數(shù)3,5,7三個(gè)數(shù)已填好，請(qǐng)?zhí)钌掀溆喔鲾?shù)，使每個(gè)圓圈中四個(gè)數(shù)的和都是15。

【解析】

隨

3,用數(shù)字1,2來(lái)填數(shù)，使正方形每條邊的和為5,四條邊的和為13。

【解析】122

21

212

4.將2,3,5填入右圖六個(gè)圓圈里，使每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的和相等。

【解析】先把2、3、5寫(xiě)在一人mK而入三個(gè)頂點(diǎn)上，然后再根據(jù)組成其它三角形的各

個(gè)頂點(diǎn)都是用2、3、5這三個(gè)數(shù)進(jìn)行求解即可.（答案不唯一）

5.將1，別填入圖中的小圓圈中,使三角形每邊上四個(gè)

數(shù)的和是17。

【解析】1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,而每條邊上四個(gè)數(shù)字之和是1