理論力學(xué)課件：剛體的基本運(yùn)動(dòng)

剛體的基本運(yùn)動(dòng)6.1剛體的平行移動(dòng)6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)6.3轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度6.4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的傳動(dòng)問題6.5剛體的角速度和角加速的矢量表示點(diǎn)的速度和加速度的矢積表示思考題

6.1剛體的平行移動(dòng)

工程中某些物體的運(yùn)動(dòng),例如,圖6-1所示的沿直線軌道行駛車輛的車廂運(yùn)動(dòng)、擺式選礦篩的運(yùn)動(dòng)等,都有一個(gè)共同的特點(diǎn),即如果在物體內(nèi)任取一直線段,在運(yùn)動(dòng)過程中這條直線段始終與它的最初位置平行。剛體的這種運(yùn)動(dòng)稱為平行移動(dòng),簡(jiǎn)稱平動(dòng)或平移。剛體平動(dòng)時(shí),若剛體內(nèi)任一點(diǎn)的軌跡是直線,則稱為直線平動(dòng);若任一點(diǎn)的軌跡是曲線,則稱為曲線平動(dòng)。圖6-1(a)所示的車廂做直線平動(dòng),而圖6-1(b)所示的篩體做曲線平動(dòng)。圖6-1

設(shè)剛體做平動(dòng)。如圖6-2所示,在剛體內(nèi)任選兩點(diǎn)A和B,令點(diǎn)A的矢徑為rA,點(diǎn)B的矢徑為rB,則兩條矢端曲線就是兩點(diǎn)的軌跡。由圖可知圖6-2

式(6-1)兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù),因?yàn)槌Ｊ噶縭AB的導(dǎo)數(shù)等于零,于是有

即

6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

工程中常見的齒輪、機(jī)床的主軸、電機(jī)的轉(zhuǎn)子等運(yùn)動(dòng)都有這樣的一個(gè)共同特點(diǎn),即它們運(yùn)動(dòng)時(shí),在其體內(nèi)(或體外)有一條直線始終保持不動(dòng),這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),這條固定不動(dòng)的直線稱為轉(zhuǎn)軸。顯然,剛體內(nèi)不在轉(zhuǎn)軸上的各點(diǎn)都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。

下面研究定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。設(shè)有一剛體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng),要確定轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在任一瞬時(shí)的位置,過z軸作固定的半平面Ⅰ、半平面Ⅱ固結(jié)在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上,如圖6-3所示。圖6-3

【例6-1】已知汽輪機(jī)在啟動(dòng)時(shí),主動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為φ=πt3,式中φ以rad計(jì),t以s計(jì)。求t=3s時(shí)的角速度和角加速度。

解因轉(zhuǎn)動(dòng)方程已知,將它對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)即可求出角速度和角加速度,即

將t=3s代入,得

【例6-2】機(jī)器啟動(dòng)時(shí),飛輪做勻加速轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)過20s后,轉(zhuǎn)速從0增至150r/min。求飛輪的角加速度及它在20s內(nèi)轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)?

6.3轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度

當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),其上任一點(diǎn)M在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),圓心在轉(zhuǎn)軸上,轉(zhuǎn)動(dòng)半徑R為點(diǎn)M到轉(zhuǎn)軸的距離。由于運(yùn)動(dòng)軌跡已知,可采用自然法來研究M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。取固定平面Ⅰ與該圓周的交點(diǎn)O'為弧坐標(biāo)的原點(diǎn),以φ角增加方向?yàn)檎?如圖6-4所示。圖6-4

在任一瞬時(shí)t,點(diǎn)M的位置用弧坐標(biāo)來確定

式中,R為點(diǎn)M到軸心O的距離。

點(diǎn)M的速度大小為

即剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),其上任一點(diǎn)的速度大小等于剛體的角速度與該點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸線的距離的乘積,速度的方向沿該點(diǎn)圓周的

切線方向并指向轉(zhuǎn)動(dòng)的一方。

圖6-5

當(dāng)ω與α轉(zhuǎn)向相同時(shí),剛體做加速轉(zhuǎn)動(dòng),點(diǎn)的切向加速度

at

與速度v的指向相同;當(dāng)ω與α轉(zhuǎn)向相反時(shí),剛體做減速轉(zhuǎn)

動(dòng),at

與v的指向相反,如圖6-6所示。圖6-6

點(diǎn)M全加速度a的大小為

其方向如圖6-6所示。

由于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的α、ω的瞬時(shí)值為一定值,由式(6-15)可知任一瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)點(diǎn)的加速度的大小按線性規(guī)律分布,即點(diǎn)的加速度的大小與該點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離成正比,如圖6-7所示。圖6-7

【例6-3】一半徑R=0.2m的圓輪繞定軸O沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng),如圖6-8所示。輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方程φ=-t2+4t(φ以rad計(jì),t以s計(jì))。該輪緣上繞有一柔軟的繩索(伸長(zhǎng)量忽略不計(jì)),繩索端部掛一重物A。試求當(dāng)t=1s時(shí),輪緣上任一點(diǎn)M和重物A的速度與加速度。圖6-8

1.齒輪傳動(dòng)

齒輪作為傳動(dòng)部件在機(jī)械中常被使用。例如,使用齒輪將電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)傳到機(jī)床的主軸,齒輪傳動(dòng)帶動(dòng)表針的轉(zhuǎn)動(dòng)等。

現(xiàn)以一對(duì)嚙合的圓柱齒輪為例來研究齒輪的傳動(dòng)問題。圓柱齒輪傳動(dòng)分為外嚙合(見圖6-9(a))和內(nèi)嚙合(見圖6-9(b))兩種。

6.4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的傳動(dòng)問題圖6-9

2.皮帶輪傳動(dòng)

在工程中,常見到電動(dòng)機(jī)通過皮帶使變速箱的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的例子,如圖6-10所示。設(shè)主動(dòng)輪、從動(dòng)輪的半徑分別為r1、r2,角速度分別為ω1、ω2。

在傳動(dòng)過程中,如不考慮膠帶的厚度,設(shè)皮帶不可伸長(zhǎng)且無相對(duì)滑動(dòng),則有下列關(guān)系式:

于是皮帶輪的傳動(dòng)比公式為

即兩輪的角速度與其半徑成反比。圖6-10

【例6-4】卷揚(yáng)機(jī)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)如圖6-11所示。已知電機(jī)轉(zhuǎn)速n=985r/min,各齒輪齒數(shù)分別為z1=17,z2=80,z3=19,z4=81。求齒輪4的角速度。圖6-11

解電動(dòng)機(jī)的角速度為

6.5剛體的角速度和角加速的矢量表示

點(diǎn)的速度和加速度的矢積表示

繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體及剛體內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)還可用矢量分析的方法來研究。一般情況下,描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),常用轉(zhuǎn)動(dòng)方程φ、轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω及角加速度α來說明。在矢量分析方法中,ω、α可用向量來表示。圖6-12

于是有結(jié)論:繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上任一點(diǎn)的速度,可用剛體的角速度矢量與該點(diǎn)矢徑的矢量積來表示。圖6-13

由右手螺旋法則得知,其方向與法向加速度an的方向相同,如圖6-13(c)所示。即

于是有結(jié)論:轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于其切向加速度與法向加速度的矢量和,其中切向加速度等于剛體的角加速度矢與該點(diǎn)矢徑的矢量積,而法向加速度等于剛體的角速度矢與該點(diǎn)的速度矢的矢量積。圖6-14

解(1)由于剛體的運(yùn)動(dòng),固結(jié)在其上的動(dòng)坐標(biāo)系的單位矢量i'、j'和k'的大小不變,但其方向在變化。由式(6-21)有其端點(diǎn)的速度為

以上三式也稱為泊松公式,圖6-14(a)中只畫出了矢量k'端點(diǎn)的速度vk'。

思考題

6-1點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)與剛體的平動(dòng)有無區(qū)別?6-2如果剛體上每一點(diǎn)軌跡都是圓,則剛體一定做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。這句話對(duì)嗎?6-3以ω表示定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角速度,則它在t秒內(nèi)的轉(zhuǎn)角為φ=ωt。這一公式是否正確?在什么條件下才是正確的?6-4有人說:“剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),角加速度為正表示加速轉(zhuǎn)動(dòng),角加速度為負(fù)表示減速轉(zhuǎn)動(dòng)?！睂?duì)嗎?為什么?

6-5飛輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng),若其直徑增大一倍,輪緣上點(diǎn)的速度和加速度是否都增大一倍?若飛輪角速度增大一倍,輪緣上點(diǎn)的速度和加速度是否也增大一倍?

6-6-如思考題6-6圖所示,繞在鼓輪上的繩子的一端系一重物M,當(dāng)重物下降時(shí),問繩上的兩點(diǎn)A和B與輪緣上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)C和D的速度和加速度是否相同?思考題6-6圖

6-7如思考題6-7