江蘇省金陵中學(xué)、海安中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

金陵中學(xué)、海安中學(xué)2023屆高三10月第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)2022.10一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.2.為虛數(shù)單位，則滿足的方程是（）A. B. C. D.3.的展開式中的系數(shù)為（）A.28 B.－28 C.56 D.－564.設(shè)為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則（）A. B. C. D.5.已知數(shù)列，若：數(shù)列是等比數(shù)列；：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.關(guān)于函數(shù)其中，給出下列四個結(jié)論：甲：6是該函數(shù)的零點； 乙：4是該函數(shù)的零點；丙：該函數(shù)的零點之積為0； ?。悍匠逃袃蓚€不等的實根若上述四個結(jié)論中有且只有一個結(jié)論錯誤，則該錯誤的結(jié)論是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁7.設(shè)常數(shù)使方程在區(qū)間上恰有五個解，則（）A. B. C. D.8.設(shè)，表示不超過的最大整數(shù)，若存在實數(shù)，使得，，…，同時成立，則正整數(shù)的最大值是（）A.4 B.5 C.6 D.7二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最大值為3 B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減10.已知實數(shù)，，滿足且，則下列不等式關(guān)系一定正確的是（）A. B. C. D.11.已知與均為單位向量，其夾角為，則（）A. B.C.若，則 D.若，則12.連接正方體每個面的中心構(gòu)成一個正八面體.甲隨機(jī)選擇此正八面體的三個頂點構(gòu)成三角形，乙隨機(jī)選擇此正八面體三個面的中心構(gòu)成三角形，且甲、乙的選擇互不影響，則（）A.甲選擇的三個點構(gòu)成正三角形的概率為B.甲選擇的三個點構(gòu)成等腰直角三角形的概率為C.乙選擇的三個點構(gòu)成正三角形的概率為D.甲選擇的三個點構(gòu)成的三角形與乙選擇的三個點構(gòu)成的三角形相似的概率為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，不論為何值，曲線均存在一條固定的切線，則這條切線的方程是.14.已知函數(shù)，若存在，，使得在區(qū)間的最小值為－11且最大值為1，則符合條件的一組，的值為.15.在數(shù)列中，，，數(shù)列滿足，.若，，，則數(shù)列的前2022項和為.16.已知橢圓：的右焦點為，經(jīng)過原點且斜率的直線與橢圓交于，兩點，的中點為，的中點為.若，則橢圓的離心率的取值范圍是.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前項和為，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.18.（12分）在檢測中為減少檢測次數(shù)，我們常采取“合1檢測法”，即將個人的樣本合并檢測，若為陰性，則該小組所有樣本均未感染病毒；若為陽性，則改需對本組的每個人再做檢測.現(xiàn)有人，已知其中有2人感染病毒.（1）若，并采取“10合1檢測法”，求共檢測15次的概率；（2）設(shè)采取“5合1檢測法”的總檢測次數(shù)為，采取“10合1檢測法”的總檢測次數(shù)為，若僅考慮總檢測次數(shù)的期望值，當(dāng)為多少時，采取“10合1檢測法”更適宜？請說明理由.19.（12分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，為邊上一點，若.（1）證明：（i）平分；（ii）；（2）若，求的最大值.20.（12分）在一張紙上有一個圓：，定點，折疊紙片使圓上某一點好與點重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕，設(shè)折痕與直線的交點為.（1）求證：為定值，并求出點的軌跡方程；（2）設(shè)，為曲線上一點，為圓上一點（，均不在軸上）.直線，的斜率分別記為，，且，求證：直線過定點，并求出此定點的坐標(biāo).21.（12分）已知底面為菱形的直四棱柱，被平面所截幾何體如圖所示，若，，.（1）求點到平面的距離；（2）求銳二面角的余弦值.22.（12分）已知函數(shù)，，.（1）若在存在極小值點，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有3個零點，，（），求證：（i）；（ii）.金中、海安2023屆高三年級10月第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一、單選題1-5：CDBAA 6-8：BCA8.【答案】A【解析】，，，，（，，，）當(dāng)時，可以找到使其在區(qū)間上，當(dāng)時，無法找到使其在區(qū)間上，即正整數(shù)的最大值為4，故選A.二、多選題9.【答案】BC【解析】，A錯，，B對，，C對，，D錯，，故函數(shù)單調(diào)增.10.【答案】AC【解析】由題意得或，A對，，B錯，時與選項矛盾，C對，，D錯，，，時，，與選項矛盾.11.【答案】ABD【解析】A對，，B對，，C錯，，D對，.12.【答案】ACD【解析】甲總有種情況，乙總有種情況.A對，甲為正三角形則在上下頂點選一且中間四個頂點選二，即8種；B錯，甲為等腰直角三角形則分三種情況：中間選三個點即4種；上下都選加中間一點，即4種，上下選一中間選二即4種，共12種；C對，乙為正三角形即一方（上方或下方）四個中心選一，且另一方選擇兩個相對的中心，即8種；D對，相似則都為正三角形或等腰直角三角形，即都為正三角形時由A，C得概率為，都為等腰直角三角形時，乙的情況共有24種，結(jié)合B得概率為，即總概率為.三、填空題13.【答案】【解析】要滿足題意，則取，即切點為，所以切線方程為.14.【答案】【解析】，為簡單，則令，即讓函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時要滿足題意則，解得.15.【答案】【解析】由已知得，，所以，即前2022項中偶數(shù)項的和為：；又由已知得，，所以，即奇數(shù)項為公比為－1的等比數(shù)列，即，即前2022項中奇數(shù)項和為1；綜上所述，前2022項和為.16.【答案】【解析】設(shè)（不妨設(shè)，），則，同理，所以由點在橢圓上得，結(jié)合上述條件可得：，化簡得，即，解得，所以.四、解答題17.【解析】（1），即；（2）由已知得，所以.18.【解析】（1）現(xiàn)共有50人，由題意先平均分為5組，檢測5次，因為共檢測15次，所以兩個感染者必定分在同一組中，所以共檢測15次的概率有兩種算法，第一種是分組分配思想，第二種是算一組已經(jīng)有一名感染者的情況下，選中另一名感染者，即兩種算法結(jié)果為和，結(jié)果均為；（2）當(dāng)感染者在同一組時，，，此時，，當(dāng)感染者不在同一組時，，，此時，，所以，，由題意，答：當(dāng)時，采取10合1檢測法更適宜.19.【解析】（1）（i）在三角形中，由正弦定理得，在三角形中，由正弦定理得，因為與互補，所以，由題意得，所以，即，所以平分得證；（ii）因為，所以，由余弦定理得，化簡得，由（i）得，代入上式有：，即得證；（2）由已知得，所以是直角三角形，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，所以的最大值為.20.【解析】（1）由題意得，所以，即的軌跡是以，為焦點，實軸長為2的雙曲線，即：；（2）由已知得：，：，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，由韋達(dá)定理得，所以，即，所以，聯(lián)立直線方程與圓方程，由韋達(dá)定理得，所以，即，因為，即，所以，若直線所過定點，則由對稱性得定點在軸上，設(shè)定點，由三點共線得，即，所以直線過定點.21.【解析】（1）設(shè)，由已知易得，，，，且面，設(shè)點到平面的距離為，則，即，即；（2）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得，，，，即，，，設(shè)面法向量為，則，設(shè)，則，設(shè)面法向量為，則，設(shè)，則，所以.答：銳二面角的余弦值為.22.【解析】（1），設(shè)，則，時，，單調(diào)遞增，要滿足題