浙江省浙大附中2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝滿足q=34+24，則公比4=()

A.1B.2C.3D.4

乃3

2.在直角中，NC=］，AB=4,AC=2,若則CZ).CB=()

A.-18B.-6^3C.18D.6>/3

3.已知向量滿足百，且q與匕的夾角為則(a+b)-(2a-力=()

,19

4.已知正項等比數(shù)列｛4｝滿足%=2a6+3%,若存在兩項q，%，使得%々“=9。；，則一+一的最小值為().

mn

28

A.16B.—C.5D.4

3

5.等腰直角三角形的斜邊48為正四面體ABC。側(cè)棱,直角邊繞斜邊A5旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，有下

列說法：

(1)四面體E-BCZ)的體積有最大值和最小值；

(2)存在某個位置，使得

(3)設(shè)二面角?！钠矫娼菫?。，則82ND4E；

(4)AE的中點M與A3的中點N連線交平面BCD于點P,則點尸的軌跡為橢圓.

其中，正確說法的個數(shù)是()

B.2C.3D.4

6,若關(guān)于x的不等式有正整數(shù)解，則實數(shù)火的最小值為（）

（X）~Z1

A.9B.8C.7D.6

7,若平面向量c,滿足|a|=2,|。|=4,a-h=4,\c-a+b\=y/3>則|c；一方|的最大值為（）

A.5a+百B.5&-百C.2V13+V3D.2岳-6

8.設(shè)。={一1,01,2},集合A={x|x?<l,xeU},則G*=<）

A.{0,1,2}B.{-1,1,2}C.{-1,0,2}D.{-1,0,1）

9.設(shè)等差數(shù)列{4}的前〃項和為S“，且$8=0,%=-3,則59=（）

A.9B.12C.-15D.-18

10.設(shè)。,E,尸分別為AA8C的三邊BC,C4,AB的中點，則EB+FC=（）

A.^ADB.ADC.BCD.^BC

11.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要

求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的一半，羊吃了馬的一半.”請問各畜賠多少？它的大意

是放牧人放牧?xí)r粗心大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升）,

三畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半.問羊、

馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（）

255010025255010020040050100200

A，c〒〒kD-亍'T'T

12.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長、寬、高分別為2,a,b,且2a+0=；（a>0,匕〉0）,

則此三棱錐外接球表面積的最小值為（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.角a的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點尸（1,2）,則s加O-a）的值是

14.如圖，直三棱柱ABC—ABC中，NC48=90°,AC=AB=2,CC,=2,尸是8G的中點，則三棱錐。一4。7

的體積為.

15.已知兩圓相交于兩點A(a,3),8(—1,1),若兩圓圓心都在直線x+y+O=O上，則a+b的值是.

16.已知函數(shù)/(x)=4sinx+gx3在x=。處的切線與直線心-y-6=0平行，則〃為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)等差數(shù)列｛為｝的公差為2,4，4,4分別等于等比數(shù)列也,｝的第2項，第3項，第4項.

(1)求數(shù)列｛《,｝和也｝的通項公式；

(2)若數(shù)列匕｝滿足2+&++乙=6…求數(shù)列｛%｝的前2020項的和.

a\a2an

18.(12分)已知函數(shù)/(%)=aln(l+x),g(x)=gd—g=

(1)當(dāng)年0時，f(x)＜h(x)恒成立，求。的取值范圍；

(2)當(dāng)xVO時，研究函數(shù)尸(x)=h(x)-g(x)的零點個數(shù)；

(3)求證：3^＜隨＜迎2(參考數(shù)據(jù)：mi.1=0.0953).

10002699

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線(7的方程為/一2%+丁2=0.以原點。為極點，X軸的正半軸為極軸建立

極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為e=

(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程，并求出直線/與曲線C的交點M,N的極坐標(biāo)；

2

(2)設(shè)P是橢圓二+丁=1上的動點，求PMN面積的最大值.

4

20.(12分)設(shè)函數(shù)=(aeR).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于x的方程ln(ar+〃+l)=x+l有唯一的實數(shù)解，求a的取值范圍.

。?

21.(12分)如圖，在平面四邊形ABCD中，ZD=—,sinZBAC=cosZB=—,AB=13.

313

(1)求AC；

(2)求四邊形ABC。面積的最大值.

22.(10分)(1)已知數(shù)列｛a,,｝滿足：6=1,4=丸，且。,2=%+田,1—71461(/1為非零常數(shù)，〃N2,〃eN*),

求數(shù)列｛2｝(〃22,"€網(wǎng)的前”項和；

.an-\)

(2)已知數(shù)列也｝滿足：

(i)對任意的〃eN",0<bn<bn+］；

n-1k+\{k&N'"),

*町，(〃>0,Q>0,%>0),且)=

(ii)對任意的〃>2,neN,2T?bn+i=<

n=2k〈kGN)

①若〃=1,彷=%,求數(shù)列也｝是等比數(shù)列的充要條件.

②求證:數(shù)列仇也也也也，％，…，*，&所2，…是等比數(shù)列，其中eN*.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

由正項等比數(shù)列滿足4=34+24，即q/=3q+2aa，又。尸0,即/一24-3=0,運算即可得解.

【詳解】

解：因為%=34+2a2,所以qq?=3q+2qq,又a尸0,所以d-2q-3=0,

又4>0,解得4=3.

故選：C.

【點睛】

本題考查了等比數(shù)列基本量的求法，屬基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

Ar1

在直角三角形ABC中，求得cosNC4B=—上=一，再由向量的加減運算，運用平面向量基本定理，結(jié)合向量數(shù)量

AB2

積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，化簡計算即可得到所求值.

【詳解】

7T

在直角AABC中，ZC=-,AB=4,AC=2,,

2

cosZCAB=-=-,

AB2

—3—2

若AD=5AB,則8?。3=(40—40-(43-40=4048-4。4。-4。48+4。-

=-AB2--ABAC-ACAB+AC2=-xl6--x4x2xl+4=18.

22222

故選C.

【點睛】

本題考查向量的加減運算和數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題.

3.A

【解析】

根據(jù)向量的運算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.

【詳解】

(a+b)?Qa-b)=2a-b+a?/?=2-3+lx百=g.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

由%=24+3%，可得4=3,由。小?！?9a；,可得加+八=4,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.

【詳解】

2

設(shè)等比數(shù)列公比為式4>0）,由已知，a5q=2a5q+3a5,即d=2q+3,

解得4=3或q=-l（舍），又所以q3"fq3"T=9a：,

191191n9"7

即3*2=32,故加+〃=4,所以一+'=—（—+乙）（根+〃）=—（10+—+2一）

mn4mn4mn

>-（10+279）=4,當(dāng)且僅當(dāng)機=Ln=3時，等號成立.

4

故選：D.

【點睛】

本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問題，涉及到等比數(shù)列的知識，是一道中檔題.

5.C

【解析】

解：對于（1）,當(dāng)CZ）_L平面ABE,且E在A3的右上方時，E到平面的距離最大，當(dāng)平面A5E,且E在

AB的左下方時，E到平面BCD的距離最小，

二四面體E-8CO的體積有最大值和最小值，故（1）正確；

對于（2）,連接OE,若存在某個位置，使得又AEJ_5E,則平面8OE,可得AE_LZ>E,進一步可得

AE=DE,此時E-AB。為正三棱錐，故（2）正確；

對于（3）,取A8中點0,連接OO,EO,則NOOE為二面角O-4B-E的平面角，為9,

直角邊AE繞斜邊48旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，0G[0,7t）,

JT

ZDAEG[—,n）,所以能/OAE不成立.（3）不正確；

對于（4）AE的中點"與48的中點N連線交平面8。于點尸，尸到3c的距離為：dp.BC,

IpBI

因為上所以點P的軌跡為橢圓.（4）正確.

+-BC

故選：C.

點睛：該題考查的是有關(guān)多面體和旋轉(zhuǎn)體對應(yīng)的特征，以幾何體為載體，考查相關(guān)的空間關(guān)系，在解題的過程中，需

要認真分析，得到結(jié)果，注意對知識點的靈活運用.

6.A

【解析】

k

根據(jù)題意可將(iFw-L轉(zhuǎn)化為地?陽￡,令/(力=皿，利用導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性即可得到實數(shù)攵的最小值.

⑴-27xkx

【詳解】

k

因為不等式有正整數(shù)解，所以x>0,于是(_1丫4_!_轉(zhuǎn)化為lN31n3,x=l顯然不是不等式的解，當(dāng)x>l時,

-27%

,八Inx、31n3

lnx>0,所以-----231n3可變形為——>-----.

xxk

令"貝(1/(力=上學(xué)，

XX

...函數(shù)“X)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,T8)上單調(diào)遞減，而2<e<3,所以

當(dāng)xeN'時，人=max{〃2),〃3)}=殍，故號之手，解得人9.

J3K

故選：A.

【點睛】

本題主要考查不等式能成立問題的解法，涉及到對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等，意在

考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

7.C

【解析】

可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)，化簡為三角函數(shù)最值.

【詳解】

由題意可得：

c—h—(c-&+〃)+3—2b),

\a-2b5=("26)2=|a|2+4-1|2-4a2=4+4x16-4x4=52

:.\a-2h|=2如，

c-b/=(c-/?)2=[(c-a+b)+(a-2b')]2=\(c-a+b)+(a-2b)\2

=|C一。+/?F+\a-2b\L+2-|c-a+b\-\a-2b\cos<c-a+b,a+2b>

=3+52+2XA/3X2VT3xcos<c-a+h,a+2b>

=55+4A/39xcos<c-a+b,a+2b>

,,55+4庖

「55+4屈=52+2x2而x6+3=(2萬+揚2,

故選：C

【點睛】

本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達是本題的關(guān)鍵

點.本題屬中檔題.

8.B

【解析】

先化簡集合A,再求CA.

【詳解】

由/<1得：一1<%<1,所以A={0},因此。,4={-1,1,2},故答案為B

【點睛】

本題主要考查集合的化簡和運算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.

9.A

【解析】

由$8=0,%=-3可得4，4以及“9,而$9=58+。9,代入即可得到答案.

【詳解】

4+2d=-3,

q=-7,

設(shè)公差為d,則他+等。=。,解得

d=2,

%=%+8d=9,所以S9=Sg+旬=9.

故選：A.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列基本量的計算，考查學(xué)生運算求解能力，是一道基礎(chǔ)題.

10.B

【解析】

根據(jù)題意,畫出幾何圖形，根據(jù)向量加法的線性運算即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示：

EB=-^（BC+BA^,FC=-^[CB+CA）

￡B+FC=-^（BC+BA）-1（CB+C4）

^-AB+-AC^AD

22

故選:B

【點睛】

本題考查了向量加法的線性運算,屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

設(shè)羊戶賠糧4升，馬戶賠糧a2升，牛戶賠糧的升，易知4，4，4成等比數(shù)列,4=2,q+4+%=5。，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)

可求出答案.

【詳解】

設(shè)羊戶賠糧4升，馬戶賠糧o2升，牛戶賠糧%升，則4，?2，%成等比數(shù)列，且公比4=2,%+4+%=5。,則

/I2\兒5050100c，200

a?+q+q)=50,故q=———^=—,^=2^=—,a3=2-at=〒.

故選:D.

【點睛】

本題考查數(shù)列與數(shù)學(xué)文化，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了學(xué)生的運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構(gòu)造長方體，于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球，進而

得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值.

【詳解】

由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個頂點位于長方體ABC。-A與的四個頂點，即為三棱錐4-。片"，且

長方體用GA的長、寬、高分別為2,a),

...此三棱錐的外接球即為長方體ABC。-AgG。的外接球,

且球半徑為R=依+/+/="+/+?,

22

.?.三棱錐外接球表面積為4〃5+/上尸=%(4+/+戶)=5萬(a—1『+巫，

\7

121

.?.當(dāng)且僅當(dāng)。=1,匕=二時，三棱錐外接球的表面積取得最小值為二萬.

24

故選B.

【點睛】

(1)解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離都等于球的半徑，同時要作一圓

面起襯托作用.

(2)長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線，對于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問題時可考慮通

過構(gòu)造長方體，通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.墓

5

【解析】

計算sina^y=氈，再利用誘導(dǎo)公式計算得到答案.

r5

【詳解】

由題意可得x=l,j=2,r=小，:.sina=*=4叵,'.sin{n-?)=sina=Z2/E.

r55

故答案為：2叵.

5

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)定義，誘導(dǎo)公式，意在考查學(xué)生的計算能力.

2

14.-

3

【解析】

證明平面例。。，于是KMC/=%-AGC=；%MGC，利用三棱錐的體積公式即可求解?

【詳解】

平面ABC,ABi平面ABC,

AA^IAB,又ABJ_AC,A41cAe=4.

A8_L平面A4cC，

P是8G的中點，

.??%-AGP=%-AGC=；%-AGC=g,；g2.2.2=g.

2

故答案為：y

【點睛】

本題考查了線面垂直的判定定理、三棱錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.-1

【解析】

根據(jù)題意，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得A8與直線x+y+人=0垂直，且的中點在這條直線

x+y+b^0±,列出方程解得即可得到結(jié)論.

【詳解】

由A(a,3),B(-l,l),設(shè)AB的中點為

根據(jù)題意，可得巴1+2+6=0,且須8=2二」=1，

2(2+1

解得，a=\,b=-2,故a+Z?=—1.

故答案為：一1.

【點睛】

本題考查相交弦的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于利用相交弦的性質(zhì)，即兩圓的連心線垂直平分相交弦，屬于基礎(chǔ)題.

16.4

【解析】

根據(jù)題意得出〃=/'(()),由此可得出實數(shù)〃的值.

【詳解】

/(x)=4sinx+-^x3,/f(x)=4cosx+x2,直線〃x-y-6=0的斜率為〃，

由于函數(shù),f(x)=4sinx+gx3在n=0處的切線與直線內(nèi)一y一6=0平行，

則〃=/'(。)=4.

故答案為：4.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的切線與直線平行求參數(shù)，解題時要結(jié)合兩直線的位置關(guān)系得出兩直線斜率之間的關(guān)系，考查計算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2022

17.(1)a“=2n,bn=2"；(2)2019x2+8.

【解析】

⑴根據(jù)題意同時利用等差、等比數(shù)列的通項公式即可求得數(shù)列｛%｝和他,｝的通項公式；

(2)求出數(shù)列｛c“｝的通項公式，再利用錯位相減法即可求得數(shù)列｛q,｝的前2020項的和.

【詳解】

⑴依題意得：行=地，

所以(q+6>=(q+2)(q+14),

所以4：+12q+36=a：+164+28,

解得4=2.a?=2n.

設(shè)等比數(shù)列也通公比為所以4=/吟=2，

又打=%=4,b“=4x2"-2=2".

⑵由(1)知，a“=2〃也=2".

因為冬+旦+….+￡曰+&=2向①

4%%4

當(dāng)心2時,2+8+…+'±=2〃②

%。2%

由①一②得，—=2\即%=〃.2'出，

an

又當(dāng)〃=1時，q=a也=23不滿足上式，

8,n=1

：'Cn=\n-T+',n>2'

數(shù)歹。｛c.｝的前2020項的和52儂=8+2x展+3x2&+…+2020x22021

=4+1x2?+2x23+3x2"+…+2020x22必

2342(,202021

^7；020=1X2+2X2+3X2+---+2019X2+2020X2③，

貝！I24020=1*23+2x2"+3x+…+2019x22&I+2020x22022④，

由③一④得：一支)20=2?+2,+24+…+2202,-2020x22922

72/1_(7202。、

=*，=~--2O2OX22022=-4-2O19x22022，

1-2

所以7^0=2019x223+4,

所以S202。=4映+4=2019X22022+8?

【點睛】

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)，錯位相減法求和，考查學(xué)生的邏輯推理能力，化歸與轉(zhuǎn)化能力及綜合運

用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學(xué)運算.是中檔題.

18.(1)(-co,l］；(2)見解析；(3)見解析

【解析】

(1)令H(x)=h(x)-f(x)=es-1-aln(x+1)(x>0),求得導(dǎo)數(shù)，討論a>l和彩1,判斷導(dǎo)數(shù)的符號，由恒成

立思想可得a的范圍；(2)求得F(x)=h(x)-g(x)的導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，判斷p(x)的單調(diào)性，討論aW-1,a

>-1,F(x)的單調(diào)性和零點個數(shù)；(3)由(1)知，當(dāng)a=l時，ex>l+ln(x+1)對x>0恒成立，令x=-5-；由(2)

10

知，當(dāng)a=-l時，e'>!/+x+i對xVO恒成立，令彳=--!-,結(jié)合條件，即可得證.

310

【詳解】

(I)解：令H(x)=h(x)-f(x)=ex-1-aln(x+1)(x>0),

則(x)=ex一~r(x^O),

x+1

①若空1,則H,(x)>0,H(x)在［0,+oo)遞增，

x+1

H(x)>H(0)=0,即f(x)<h(x)在［0,+8)恒成立，滿足，所以agl；

②若a>l,Hr(x)=ex--^pS［O,+oo)遞增，Hf(x)>H*(0)=1-a,且1-a<0,

且X一+8時，Hf(x)一+8,則(0,+8),

使(xo)=0進而H(x)在［0,xo)遞減，在(xo,收)遞增，

所以當(dāng)x￡(0,xo)時H(x)<H(0)=0,

即當(dāng)x￡(0,xo)時，f(x)>h(x),不滿足題意，舍去；

綜合①，②知a的取值范圍為(-8,1］.

(II)解：依題意得F(x)=h(x)-g(x)=e'-lAxJ+ax(x<0),貝!)F(x)=ex-x2+a,

o

貝(JF"(x)=e，-2x>0在(-oo,0)上恒成立，故F，(x)=ex-x2+a(-co,0)遞增，

所以F'(x)<FT(0)=l+a,且x--oo時，F(xiàn)*(x)t-oo；

①若1+aWO,BPa<-1,貝！JP(x)VP(0)=l+a<0,

故F(x)在(-oo,0)遞減，所以F(x)>F(0)=0,F(x)在(-oo,0)無零點；

"

②若l+a>0,BPa>-1,則mxjE(“0,0)使F'(x0)=0.

進而F(x)在(Q,xj)遞減，在(x0‘，0)遞增，F(xiàn)(x(/)<F(0)=0，

且x—>-8時，F(xiàn)(x)=(eK-1)-^"x(x"-3a)f+8,

F(x)在(g,xj)上有一個零點，在［x。'，0)無零點，

故F(x)在(-8,0)有一個零點.

綜合①②，當(dāng)aW-1時無零點；當(dāng)a>-l時有一個零點.

(m)證明：由(I)知，當(dāng)a=l時，ex>l+ln(x+1)對x>0恒成立，

令x4，則e元即1唬黯；

由(II)知，當(dāng)a=-l時，€、〉^^：^^+1對*〈()恒成立，

O

令X;玲，則e.卷＞工(，)3，+1還，所以黑

10e3101030002699

故有嚼〈1%〈黑■.

1000”2699

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)零點存在定理的運用，考查分類討論思想方法，以及運算能力和推理能

力，屬于難題.對于函數(shù)的零點問題，它和方程的根的問題，和兩個函數(shù)的交點問題是同一個問題，可以互相轉(zhuǎn)化；

在轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點時，如果是一個常函數(shù)一個含自變量的函數(shù)，注意讓含有自變量的函數(shù)式子盡量簡單一些.

19.(1)0=2cos6,M(O,O),(2)乎.

【解析】

(1)利用公式即可求得曲線C的極坐標(biāo)方程；聯(lián)立直線和曲線C的極坐標(biāo)方程，即可求得交點坐標(biāo);

(2)設(shè)出點P坐標(biāo)的參數(shù)形式，將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值的問題即可求得.

【詳解】

(1)曲線C的極坐標(biāo)方程：O=2cos6

p=2cos^/、

(71

聯(lián)立L萬，得N1,工,又因為M(O,O)都滿足兩方程,

故兩曲線的交點為M(O,O),N1,(

(2)易知=直線/：y="c.

1275cosa-sin0

設(shè)點P(2cosa,sina),則點尸到直線/的距離d=

2

SPMN.=g-\MN\-d=四［a")|(其中tan°=2&)?

:ZMN面積的最大值為姮.

4

【點睛】

本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的相互轉(zhuǎn)化，涉及利用橢圓的參數(shù)方程求面積的最值問題，屬綜合中檔題.

20.(1)當(dāng)“VO時，/a)遞增區(qū)間時(7,+8),無遞減區(qū)間，當(dāng)?！?時，f(x)遞增區(qū)間時(Ina,+8),遞減區(qū)間

時(一0°/na)；(2)a<0或a=l.

【解析】

(1)求出/‘(X),對。分類討論，先考慮r(x)20(或/'(x)40)恒成立。的范圍，并以此作為”的分類標(biāo)準，若

不恒成立，求解了'(X)>,/'(%)<0,即可得出結(jié)論；

(2)ln(ax+a+l)=x+l有解，即《向-心+1)-1=0,令f=x+l"⑺=0,轉(zhuǎn)化求函數(shù)/(x)=0只有一個實數(shù)解,

根據(jù)(1)中的結(jié)論，即可求解.

【詳解】

(1)/(x)=ex-ax-\,f'(x)=ex—a,

當(dāng)a40時，/'(x)>0恒成立，

當(dāng)a>0時,f'(x)>0,x>Ina,f'(x)<0,x<Ina,

綜上，當(dāng)a40時，/(x)遞增區(qū)間時(-8,+8),無遞減區(qū)間，

當(dāng)a>0時，”幻遞增區(qū)間時(Ina,+8),遞減區(qū)間時(F/na)；

(2)ln(ar+a+l)=x+loe*+l=a(x+l)+l>0,

oex+I-a(x+l)-l=0

令x+l=f,原方程只有一個解，只需/■⑺=0只有一個解，

即求〃x)=e'-依-1只有一個零點時，。的取值范圍，

由(1)得當(dāng)“40時，八幻在(-8,+°。)單調(diào)遞增，

且/(0)=0,函數(shù)只有一個零點，原方程只有一個解一1,

當(dāng)a>0時，由(1)得/")在x=Ina出取得極小值，也是最小值，

當(dāng)。=1時，此時函數(shù)只有一個零點，

原方程只有一個解-1，

當(dāng)a>0且a。1

遞增區(qū)間時(Ina,+8),遞減區(qū)間時(—8,Ina)；

/(Ina)</(0)=0,當(dāng)x->-ooJ(x)f+oo,

x->+*/(x)->”"(x)有兩個零點,

即原方程有兩個解，不合題意，

所以。的取值范圍是或a=l.

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到單調(diào)性、零點、極值最值，考查分類討論和等價轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

21.(1)12;(2)5=1273+30

【解析】

(1)根據(jù)同角三角函數(shù)式可求得cos/R4C=sinN3,結(jié)合正弦和角公式求得揄/改力=曲(/84。+/3),即

7T

可求得ZBC4=一,進而由三角函數(shù)

2

(2)設(shè)4。=乂力。=%根據(jù)余弦定理及基本不等式，可求得個的最大值，結(jié)合三角形面積公式可求得S0火的最大

值，即可求得四邊形ABCO面積的最大值.

【詳解】

(1)sinZBAC-cosZB--,

13

則由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得cosZBAC=sinNB==p,

則sinZBCA=sin(/BAC+ZB)

=sinABAC-cosAB+cosABAC-sinNB

551212

------X--------1----X.......-

13131313

n

則ZBCA=~,

2

所以AC=A8sin8=13x"=12.

13

(2)設(shè)AZ)=x,￡>C=y,

在SAC中由余弦定理可得AC?=01+DC2-2D4-oc.?o