第12講反比例函數(shù)及其圖象

第12講反比例函數(shù)及其圖象匯報(bào)人：XXX2024-01-29CATALOGUE目錄反比例函數(shù)基本概念與性質(zhì)反比例函數(shù)與直線交點(diǎn)問題反比例函數(shù)在實(shí)際問題中應(yīng)用反比例函數(shù)圖像變換規(guī)律探究拓展延伸：復(fù)合反比例函數(shù)及其圖像特點(diǎn)總結(jié)回顧與課堂練習(xí)01反比例函數(shù)基本概念與性質(zhì)形如$y=frac{k}{x}$（$k$為常數(shù)，$kneq0$）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的一般表達(dá)式為$y=frac{k}{x}$，其中$x$是自變量，$y$是因變量，$k$是比例系數(shù)。反比例函數(shù)定義及表達(dá)式反比例函數(shù)表達(dá)式反比例函數(shù)定義當(dāng)$k>0$時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限；當(dāng)$k<0$時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限。在每個(gè)象限內(nèi)，隨著$x$的增大，$y$的值逐漸減小，且無(wú)限接近于$x$軸和$y$軸，但永遠(yuǎn)不會(huì)與坐標(biāo)軸相交。反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，且以原點(diǎn)為對(duì)稱中心。反比例函數(shù)圖像特征比例系數(shù)$k$決定了反比例函數(shù)的圖像所在象限和增減性。反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即具有中心對(duì)稱性。在每個(gè)象限內(nèi)，反比例函數(shù)的增減性與$k$的符號(hào)有關(guān)：當(dāng)$k>0$時(shí)，在第一、三象限內(nèi)函數(shù)值隨$x$的增大而減小；當(dāng)$k<0$時(shí)，在第二、四象限內(nèi)函數(shù)值隨$x$的增大而增大。反比例函數(shù)的圖像無(wú)限接近于坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不會(huì)與坐標(biāo)軸相交。反比例函數(shù)性質(zhì)總結(jié)02反比例函數(shù)與直線交點(diǎn)問題

直線與反比例函數(shù)圖像交點(diǎn)判斷判斷依據(jù)通過比較直線的斜率和截距與反比例函數(shù)的漸近線和中心點(diǎn)的位置關(guān)系，可以確定直線與反比例函數(shù)圖像的交點(diǎn)情況。交點(diǎn)個(gè)數(shù)當(dāng)直線與反比例函數(shù)圖像有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為1個(gè)或2個(gè)。特殊情況當(dāng)直線恰好經(jīng)過反比例函數(shù)的中心點(diǎn)時(shí)，直線與反比例函數(shù)圖像相切，此時(shí)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)。聯(lián)立直線和反比例函數(shù)的解析式，得到關(guān)于x和y的方程組，通過求解方程組得到交點(diǎn)的坐標(biāo)。方程組法圖象法數(shù)值法在坐標(biāo)系中分別作出直線和反比例函數(shù)的圖象，通過觀察圖象的交點(diǎn)來(lái)確定交點(diǎn)的坐標(biāo)。當(dāng)解析法和圖象法求解困難時(shí)，可以通過數(shù)值計(jì)算的方法近似求解交點(diǎn)的坐標(biāo)。030201交點(diǎn)坐標(biāo)求解方法例題1已知直線y=kx+b與反比例函數(shù)y=m/x的圖象交于點(diǎn)A(x1,y1)和點(diǎn)B(x2,y2)，且x1<0<x2，AB=√5，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，且S△AOC=1。例題2已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)與反比例函數(shù)y=m/x(m≠0)的圖象有交點(diǎn)，則()解析根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn)時(shí)，它們的函數(shù)值在交點(diǎn)處相等。因此，可以列出關(guān)于k、b、m的方程，通過對(duì)方程的分析和求解，可以得到正確的選項(xiàng)。解析根據(jù)題意，可以列出關(guān)于x1、y1、x2、y2的方程組，通過求解方程組得到交點(diǎn)的坐標(biāo)。進(jìn)一步根據(jù)三角形的面積公式和勾股定理，可以求出k和b的值。典型例題解析03反比例函數(shù)在實(shí)際問題中應(yīng)用購(gòu)買商品時(shí)，總價(jià)與商品數(shù)量成正比，但單價(jià)與商品數(shù)量成反比。購(gòu)物問題在行駛距離一定的情況下，速度與時(shí)間成反比關(guān)系。速度與時(shí)間問題完成同一項(xiàng)工作，工作效率與工作時(shí)間成反比。工作效率問題生活中常見問題建模為反比例關(guān)系03驗(yàn)證解的合理性將求解結(jié)果代入實(shí)際問題中進(jìn)行驗(yàn)證，確保解的合理性。01通過已知條件建立反比例函數(shù)模型根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件，設(shè)定合適的變量，建立反比例函數(shù)模型。02利用反比例函數(shù)性質(zhì)求解利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、漸近線等，求解實(shí)際問題中的未知量。利用反比例關(guān)系解決實(shí)際問題水管放水問題。通過測(cè)量水管放水的時(shí)間和水量，建立反比例函數(shù)模型，預(yù)測(cè)未來(lái)某一時(shí)刻的水量。案例一汽車行駛問題。已知汽車行駛的速度和時(shí)間，利用反比例關(guān)系計(jì)算汽車的行駛距離。案例二生產(chǎn)效率問題。通過比較不同生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率和工作時(shí)間，利用反比例函數(shù)模型優(yōu)化生產(chǎn)流程，提高生產(chǎn)效率。案例三案例分析：如何運(yùn)用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題04反比例函數(shù)圖像變換規(guī)律探究平移距離平移的距離決定了圖像位置變化的程度。沿x軸平移時(shí)，圖像與y軸的交點(diǎn)不變；沿y軸平移時(shí)，圖像與x軸的交點(diǎn)不變。平移方向當(dāng)反比例函數(shù)圖像沿x軸或y軸平移時(shí)，圖像的整體位置會(huì)發(fā)生變化，但形狀和開口方向保持不變。函數(shù)表達(dá)式變化平移后的反比例函數(shù)表達(dá)式中，常數(shù)項(xiàng)會(huì)發(fā)生變化，但比例系數(shù)k保持不變。平移變換對(duì)圖像影響伸縮方向當(dāng)反比例函數(shù)圖像沿x軸或y軸進(jìn)行伸縮變換時(shí)，圖像的開口大小會(huì)發(fā)生變化。沿x軸伸縮時(shí)，圖像在x軸方向上變寬或變窄；沿y軸伸縮時(shí)，圖像在y軸方向上變高或變矮。伸縮比例伸縮的比例決定了圖像開口大小變化的程度。當(dāng)伸縮比例大于1時(shí)，圖像開口變大；當(dāng)伸縮比例小于1時(shí)，圖像開口變小。函數(shù)表達(dá)式變化伸縮變換后的反比例函數(shù)表達(dá)式中，比例系數(shù)k會(huì)發(fā)生變化。當(dāng)沿x軸伸縮時(shí)，k值乘以伸縮比例；當(dāng)沿y軸伸縮時(shí)，k值除以伸縮比例。伸縮變換對(duì)圖像影響對(duì)稱中心01反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱。在圖像變換中，可以利用這一性質(zhì)來(lái)快速確定變換后的圖像位置。對(duì)稱軸02反比例函數(shù)的圖像沒有對(duì)稱軸。但在某些特殊情況下，可以通過尋找對(duì)稱點(diǎn)的方式來(lái)確定圖像的對(duì)稱性質(zhì)，從而簡(jiǎn)化圖像變換的過程。對(duì)稱性應(yīng)用03在對(duì)反比例函數(shù)圖像進(jìn)行變換時(shí)，可以利用對(duì)稱性來(lái)快速判斷變換后的圖像形狀和位置。例如，當(dāng)圖像沿x軸平移時(shí)，可以利用原點(diǎn)對(duì)稱性來(lái)確定平移后的圖像位置。對(duì)稱性在圖像變換中應(yīng)用05拓展延伸：復(fù)合反比例函數(shù)及其圖像特點(diǎn)復(fù)合反比例函數(shù)是指由兩個(gè)或多個(gè)反比例函數(shù)通過加法或乘法運(yùn)算組合而成的函數(shù)。定義一般形式為$f(x)=frac{a}{x}+frac{x}$或$f(x)=frac{a}{x}timesfrac{x}$，其中$a$和$b$是常數(shù)，且$xneq0$。表達(dá)式復(fù)合反比例函數(shù)定義及表達(dá)式復(fù)合反比例函數(shù)的圖像通常呈現(xiàn)為雙曲線形狀，但由于多個(gè)反比例函數(shù)的組合，其形狀可能更加復(fù)雜。圖像形狀復(fù)合反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即如果點(diǎn)$(x,y)$在圖像上，則點(diǎn)$(-x,-y)$也在圖像上。對(duì)稱性當(dāng)$x$趨近于無(wú)窮大或無(wú)窮小時(shí)，復(fù)合反比例函數(shù)的值趨近于零，因此其圖像具有水平漸近線$y=0$。漸近線復(fù)合反比例函數(shù)圖像特征描述對(duì)比簡(jiǎn)單反比例函數(shù)只有一個(gè)分式項(xiàng)，而復(fù)合反比例函數(shù)包含兩個(gè)或多個(gè)分式項(xiàng)的組合。因此，復(fù)合反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)更為復(fù)雜。聯(lián)系簡(jiǎn)單反比例函數(shù)是復(fù)合反比例函數(shù)的基礎(chǔ)。當(dāng)復(fù)合反比例函數(shù)中只有一個(gè)分式項(xiàng)起作用時(shí)，其性質(zhì)與簡(jiǎn)單反比例函數(shù)相似。此外，通過對(duì)簡(jiǎn)單反比例函數(shù)的研究，可以深入理解復(fù)合反比例函數(shù)的性質(zhì)和行為。與簡(jiǎn)單反比例函數(shù)對(duì)比和聯(lián)系06總結(jié)回顧與課堂練習(xí)當(dāng)$k<0$時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每一象限內(nèi)，$y$隨$x$的增大而增大。當(dāng)$k>0$時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每一象限內(nèi)，$y$隨$x$的增大而減小；反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)的定義：形如$y=frac{k}{x}$（$k$為常數(shù)，$kneq0$）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的圖象：反比例函數(shù)的圖象是兩條分別位于第一、三象限和第二、四象限的雙曲線，這兩條雙曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)總結(jié)回顧1.判斷下列函數(shù)是否為反比例函數(shù)，并說明理由$y=frac{1}{x^2}$$y=frac{2}{x}$課堂練習(xí)題選講$xy=3$2.已知反比例函數(shù)$y=frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)$A(2,-3)$，求該反比例函數(shù)的解析式。3.已知反比例函數(shù)$y=frac{6}{x}$，回答下列問題課堂練習(xí)題選講當(dāng)$x=3$時(shí)，求$y$的值；當(dāng)$y=-2$時(shí)，求$x$的值；當(dāng)$x>0$時(shí)，隨著$x$的增大，$y$如何變化？課堂練習(xí)題選講VS通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我掌握了反比例函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，能夠判斷一個(gè)函數(shù)是否為反比例函數(shù)