非線性系統(tǒng)的李導數運算

第二章李導數李括號運算與分布為了盡快的涉及非線性系統(tǒng)的幾何理論，我們將以較短的篇幅介紹李導數的概念與李括號運算。2.1向量場若f(x)是n維函數向量，即f(x，…,x)TOC\o"1-5"\h\z11 nf(X,...,x)2 1 nf(x,...,x)n1 n它的每一^分量f(x)都是變量x二(x,....,x)T的函數。從幾何觀點i 1n看，即是對狀態(tài)空間中每一個點(對應一個狀態(tài))對應一個確定的向量即映射f:Rn―>Rn。即可以想象從每一個點x“發(fā)射”出一個向量，因而從整體上看形成一個由向量構成的場。2.2李導數2.2李導數給定一個光滑的標量函數h(x)和一個向量場f(x)，則可以定義標量函數沿向量場的導數稱為李導數,或稱為h對f的李導數。它是一個新的標量函數記為Lh。f設h(x):Rn >R為一光滑標量函數；f(x):Rn——>Rn為Rn上的一個光滑的向量場；g(x):Rn——>Rn為Rn上的另一個光滑的向量場；Lh(x)-挈.f(x)-(警,霽，…,型).f(x)TOC\o"1-5"\h\zf ox ox ox ox1 2 n—dh(x).f(x)— 或記為Vh(x).f(x)。ox ii—1 i同理有：Lh(x)=Vh(x)-g(x)=dh(x)-g(x)—工°h(x).g(x)=...g dx ii—1 i多重李導數可以遞歸地定義為：

LLh(x)=L(Lh(x))=色土竺”.g(x)gf gfLkh(x)二L(L-1LLh(x)=L(Lh(x))=色土竺”.g(x)gf gfdxd(Lkh(x))LLkh(x)=L(Lkh(x))= f ?g(x)gf gf dx又定義：Lh(x)=h(x)；同理：Loh(x)=h(x)fg上標”0”意味著不求導，因為Lh(x)=L(Loh(x))適合遞歸式子。李括號運算若f(x)與g(x)為Rn上的兩個向量場,兩同維的向量f(x),g(x)的李括號運算定義為：[f，g](x)占.f-f.g=Vg.f-Vf.gdx dx或記為adg，它是一^新的向量場。dg=dxdgi

ddg=dxdgi

dx

埜

dx1dgi

dx

dg2

dx2dxndgdxndgndx2dg ndx1同理可知f也是一個nxn的矩陣。dxJacobian陣。李括號運算也可以多次重復進行，例如：dgndxnnxn矩卩車它們分別稱為流形映射到g和f的[f,[f,g]],...,[f[f,...[f,g]]]或ad(adg),...,ad(ad...(adg))也可采用遞歸記法：ff ff fadkg(x)=[f,adk-1g](x) k>1

當k=1時adg(x)=[f,ad0g(x)](x)=[f,g](x)ff因而可以定義： adog(x)=g(x)李括號運算具有下列性質在R域上是雙線性的，即若f,f,g,g是向量場，且r,r是實數，則121212有: [rf+rf,g]=r[f,g]+r[f,g]2222[f,rg+rg]=r[f,g]+r[f,g]2222是斜可交換的,即:[f，g]=-[g，f]⑶滿足Jacobian恒等式，即若f,g,p是向量場，則[f，[g，p]]+[g，[p，f]]+[p，[f，g]]=0協(xié)向量場的微分運算對于一個向量場f,常常采用與其對偶的協(xié)向量場①，兩者都定義在Rn的開集V上，但f是列向量場，而3是行向量場，即①(x)=[①(x),①(x),...,①(x)]。它是Rn空間的對偶空間，記為(Rn)*。2 n定義一種新的運算，稱為協(xié)向量場3沿向量場f的李導數，即(T'TQ3TQxL①(x)=d：?,f)=[—f +3(x)Q3TQxQx其中上標"T"表示轉置。以上三種運算可以統(tǒng)一起來統(tǒng)稱為李導數，只是：Lh(x)是指光滑標量函數沿向量場的李導數，得到的仍是一個標量f函數。adg(x)是光滑的向量場沿向量場的李導數，得到的是一個新的向f量場。L3(x)是協(xié)向量場沿向量場的李導數，得到的是一個新的協(xié)向量場。這三種李導數有下列關系：

L?g；'=：：L畀，g-；+?，[f，g]；其中f,g表示向量場；3表示協(xié)向量場；表示內積。2.6運算法則以上三種李導數運算,經過簡單的推導，可以得到下列運算規(guī)則:(1)如果f是一^向量場，a,九為實值函數，則L九(x)=(L九(x))a(x)若f,g是向量場，a,卩是實值函數，則[af,Pg](x)=a(x)卩(x)[f,g](x)+(L卩(x))a(x)g(x)-(La(x))卩(x)f(x)fg若f,g是向量場，九是實值函數，則L 九(x)二LL九(x)-LL九(x)[f,g] fg gf⑷若f是向量場，3是協(xié)向量場，a,卩是實值函數，.則LafLaf+(LP(x))a(x)3(x)若f是向量場，九是實值函數，則Ld九(x)=dL九(x)

ff(5)若f,g是向量場,3是協(xié)向量場，則L g：(x)=(L^3(x),g(x).：+：：3(x),[f,g](x)；：此式即上述已提到的三種李導數之間的關系。2.7分布(Distributions)(1)分布的意義定義在Rn開集U上的光滑向量場f可以直觀地看作是一種光滑映射，即對于U上每一點x賦以n維光滑向量f(x)?，F在假設定義在同樣的開集U上有d個光滑的向量場f1，…,fd，并且注意到在U中任意給定的點x,向量f](x)，…,fd(x)張成了一個向量空間，該向量空間是f(x)內被定義的那個向量空間(即Rn)的子空間。若f(x)，…,尢(x)是光滑的，則對開集UGRn上的每一點x來說，1d子空間由某些光滑的向量場來張成，于是稱它為光滑分布。所以分布是在某種意義下的子空間的集合，也是向量場的集合，記為△=spanf],…，fd}要注意△記分布整體，而記A(x)記△在x點上的“值”(即某一個子空間)從分布是一個向量空間，一個Rn的子空間的觀點出發(fā)，則可列出分布的一些特性。(2)分布的一些特性：(I)如果A】和A2是分布，則A】+A2也是分布，稱為分布的和，即若 A1(x)=spanf】(x),…，fd(x)}A(x)=span(g1(x),...,ge(x)}當x指定時，上兩式均表示子空間。因此(A]+A2)()=spanf(x…，fd[x),g(x), ge[x)}也表示某子空間。故A=A1+A2二spanif】，…,f,g,…,g}d】e同理若A1和A2是分布，則a1nA2也是分布，稱為分布的交，即由下式確定(a1na2)Q=a(x)na2[x)包容：若對所有x,有A](x)二A2(x),記為A1=A2稱為A1包容A2。所以若對所有x,f(x)gA(x),則稱向量場f屬于分布A，記feA。若一個矩陣F，它具有n行，每一行的各項均是x的光滑函數,則它的每一列就可看成是光滑的向量場。這種矩陣就可表示成由它的列張成的光滑分布。其在每一點x上的“值”就是矩陣F在x點上的“象”,即A(x)=Im(F(x))分布在點x處的維數就是A(x)子空間的維數，顯然若分布被看成

是某矩陣F的列所張成的子空間的集合，則分布在點x處的維數就是矩陣F(x)的秩。若一個分布它在U中任何x上的維數不變，即dim(A(x))=const ， xeU則稱分布是非奇異的，否則稱變維分布。若在某點xo處及其xo的鄰域Uo上分布是非奇異的，則稱x0為正則點，否則稱奇異點兩個光滑分布的和仍是光滑分布，而兩個光滑分布的交不一定是光滑的?？捎煞蠢f明：Ai=span|ij A2=span(A{AA2)(r)= 若xx豐0所以(A]PlA2)(x)=A1(x)=A2(x)=spanl卜,若xx=0所以A與A的交是不光滑的，因為不可能在R2上找到一個光滑的向量場，12它除了x=0的線上不為零之外，其余各處均為零。1(3)對合分布(I)定義：若T和t是屬于分布A的任意兩個向量場，且由t和t1212構成的李括號It,t］所得到的向量場仍然屬于分布A，則這樣的分布12tt]eAtt]eA12即：當且僅當teA,teA=12稱△為對合分布。(II)判別對合分布的方法：考慮非奇異分布A，則A中的任意兩個向量場t,teA均可12表示成T1(x)=fc.(x)f.(x).=1爲(x)=fdi(x)f.(x)i=1其中A(x)=spa則可容易推導得：L,t Xx)eA 等價于[i, fjlxi=1其中A(x)=spa則可容易推導得：L,t Xx)eA 等價于[i, fjlx)eA (對所有1<i,j<d)ij所以有：當且僅當S f.h)eA(對所有1<i,j<d)分布A是對合的。因此實際上只要證明對非奇異分布ranfd(x)]=rankIf3 fd(￥)[/,/?Kx)]對所有x和所有1<i,j<d成立(111)一些推論①一維分布總是對合分布：因為A=spanf},f是非零向量場則由因而f，f]=f-f -f=0dx dxranf}=1rankf,f,f?=rankf,o}=1rankf}=rank{f,f,f?=1故結論得證②二維分布不一定是對合的考慮在R3空間中的二維分布A=s〃af丿}「2x2-Tf1(x)=1, f2(x)=00_x2_1f-f2由于S，f2]唱-0=00000001100=0_x2_1000所以有rankf1,所以有rankf1,f2)=2rankf1?f2f訂2?=rank2x2101000=3X21_因而該分布不是對合的。③兩個對合分布的和不一定是對合的；(可由上面的例子說明，因為一維分布是對合的，但兩個一維分布的和不一定對合)，但兩個對合分布的交仍是對合分布。(IV)對偶分布(協(xié)分布)在很多情況下，為了應用的方便起見，常常采用所謂對偶分布或協(xié)分布。上面提到分布A是用列向量場來定義的。而對偶分布是用其對偶物行向量場來定義的，所以對于某一給定的點X，協(xié)分布是對偶空間的一個子空間。若叫,W2,…,叫表示一組行向量場(即協(xié)向量場)則協(xié)分布表示為Q=spab，...,叫}對于U中給定的點X，協(xié)分布是中的一個子空間，記為Q(x)=spa )?…,?d(x)}所以如果給定一個分布A，則對于U中的每一個點X，有A(x)，它是Rn的子空間；aC)的所有零化向量的集合構成了對偶空間特定的子空間，即它是A。)的正交補，是Qn)的子空間。即可用式子表示成A丄(x)={『wQn):V①*,U＞二0,對所有uGA(x)}A丄(x)也稱為△(X)的零化子。式中V①*,U＞表示行向量3*與列向量V的內積。類似的，若給定一個協(xié)分布Q,則協(xié)分布Q的正交補Q丄可表示成0丄G)={VGRn:V①*,u＞二0,對所有W*GQ(X)}

要注意的是由此構成的協(xié)分布可能失掉光滑性，即原分布是光滑的，而其正交補不一定保證也是光滑的。2.8Frobenius定理考慮偏微分方程CGRn)即若已知即若已知span^dk、,dk2…,dk”_d其中： 1<j<n-d九.(x)是需要求解的未知函數jf1(x)，…,fd(x)是已知向量場所以竺?是未知函數的偏導數，是一個行向量?，F在要問此偏微分方程是否有解。以上問題如果用幾何的觀點來敘述，則表示如下：一^非奇異的d維分布A:A=spaf],…,fd}定義在Rn的開集U上，對于U上的每一點x0及其鄰域U0，f/x),…,乙6)是定義在U0上的光滑向量場。如果在U0上定義的(n-d)個實光滑函數，人G)九…九d(x)1 2 n-d能使span^dk,d九2…,d、_d}=A丄，那末就稱這個分布A是完全可積的?；蛘呔唧w一點說就是矩陣FG)的列所張成的分布是完全可積的?，F在的問題是在什么條件下分布A是完全可積的？Frobenius定理：一個分布當且僅當它是對合的，則是完全可積的。該定理的證明應分兩部分，即需證明條件的必要性與充分性。必要性：即若這樣的解k.存在，(即A是完全可積的)來推導出A是對合的。nd則有色 f.(x)=：. dkfl =0xgU0,1<j<n—d,1<i<d

采用李導數記號即：l右.(x]=o再由李括號運算法則可得：L[fi,f叫C)=LfLfk.(X)_ 勺x]=0由于上式中的兩項為零。故有fk]■=L[fi,f)=0_礙,fk甲!「礙,fk必2。)d九]d2衛(wèi)fi,f幾—dC)d九dn—d{d{dXl?d九2…,d九 }=A丄1 2 n-d因為已知span所以所有[f,fk]一定是A中的一個向量，根據對合分布的判別法則可知A是對合的。充分性：充分性可以從構造上來證明，即若條件滿足,偏微分方程的n-d個獨立函數是如何一定能被構造出來的。因為分布A=spanif[，…,fd}對應的子空間A(x)是非奇異的，且其維數為d，于是總可以找到另外的同樣定義在開集U0上的向量場集合f，…f，它是原來A(x)向量場集合的補集，即在每一點xGU0,d+1 n有span{f(x),…f(x),f(x),…f(x)}=Rn1 d d+1 n并假設向量場中的函數均是光滑的，再令0f(x0)是常微分方程tx=f(x)在x(0)=x0初始條件下的解。即x(t)=0f(x0)，它是x和t的tp光滑函數，換句話說，它滿足一0f(x)=f(0f(x))，0f(x)=x。0f(x)ptt t 0 t可以稱為流函數。因此，對任意給定的x0，以及x0的領域U0上的任意x，總可以找到充分小的t，使下列映射關系成立，0f:xT0f(x)它是一個局部微分同胚映射〔所以其逆映射也存在，即0f】】=0f。因t —t此對于充分小的t，S,有0f(x)=0f(0f(x))成立。這樣偏微分方程的t+s ts解可以用向量場f,…,f的流函數的恰當組合來構成，這些流函數是1n

TOC\o"1-5"\h\z0f1(x),f2(x),???，0f(x)?，F在來考慮映射，F:UTRn(z，…,z)t1 t2 tn ￡ 1_