多元一次不定方程的完整講義和練習(xí)

二元一次不定方程知識(shí)要點(diǎn)和基本方法當(dāng)一個(gè)方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于一個(gè)時(shí)，稱這個(gè)方程為不定方程——只討論有二個(gè)未知數(shù)的一次不定方程一個(gè)不定方程總有無(wú)窮多組解，但更多的情況是討論一個(gè)整系數(shù)的不定方程的整數(shù)解或正整數(shù)解，此時(shí)，它可能仍有無(wú)窮多組解，也可能只有有限組解，甚至可能無(wú)解解方程解：由原方程，易得因此，對(duì)的任意一個(gè)值，都有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，此時(shí)與的值必定滿足原方程，故這樣的與是原方程的一組解，即原方程的解可表為其中為任意數(shù)整數(shù)解問(wèn)題：求方程的整數(shù)解解：因?yàn)椋?，不論與取何整數(shù)，總有但不能整除8，因此，不論與取何整數(shù)，都不可能等于8，即原方程無(wú)整數(shù)解定理1：整系數(shù)方程有整數(shù)解的充分而且必要條件是與的最大公約數(shù)能整除求方程的整數(shù)解解：因?yàn)?與10的最大公約數(shù)為2，而34是2的倍數(shù)，由定理得，原方程有整數(shù)解。兩邊約去2后，得故，因此，要使取得整數(shù)，1=15，，即我們找到方程的一組解設(shè)原方程的所有解的表達(dá)式為：代入原方程，得（為整數(shù)）2與5互質(zhì)，所以為整數(shù)）由此得到原方程的所有解為（為任意整數(shù)）定理2。若與的最大公約數(shù)為1（即與互質(zhì)），為二元一次整系數(shù)不定方程的一組整數(shù)解（也稱為特解），則的所有解（也稱通解）為其中為任意整數(shù)但不定方程很難直接找到一組整數(shù)解求方程的整數(shù)解。解：由，所以當(dāng)且僅當(dāng)是3的倍數(shù)時(shí)，取得即是原方程的一組解，因此，原方程的所有整數(shù)解為（為任意整數(shù)）求方程的整數(shù)解解：由原方程得：要使方程有整數(shù)解，必須為整數(shù)，取得，故是原方程的一組解，因此，原方程的所有整數(shù)解為（為任意整數(shù)）例6：若干只6腳蟋蟀和8腳蜘蛛，共有46只腳，則蟋蟀和蜘蛛各有多少只？解：設(shè)有x只蟋蟀只，蜘蛛y只，則方程6x+8y=46，即3x+4y=23，，變形為，又為正整數(shù)，且能被3整除，或，把，代入得方程的正整數(shù)解為

例7：用16元錢(qián)買(mǎi)面值為20分、60分、1元的三種郵票共18枚，每枚郵票至少買(mǎi)1枚，共有多少種不同的買(mǎi)法？解：設(shè)買(mǎi)面值為20分的郵票x枚，面值為60分的郵票y枚，則買(mǎi)面值為1元的郵票為枚，根據(jù)題意得，即，由又，因此可取的正整數(shù)值為1，2；當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，均符合正整數(shù)解問(wèn)題求方程的正整數(shù)解。解：我們知道的所有整數(shù)解為為任意整數(shù)）故要求原方程的正整數(shù)解，只要使即可，所以，注意到為整數(shù)，所以得所有正整數(shù)解求方程的正整數(shù)解。解：原方程可化為，即其中為原方程的一組整數(shù)解，因此，原方程的所有整數(shù)解為（為任意整數(shù)）令得：（為整數(shù)）原方程可得無(wú)窮多組正整數(shù)解（）求下列二元一次方程的解1．2．求下列二元一次方程的整數(shù)解1．2．3．4．求下列方程的正整數(shù)解1．2．3．4．試將100分成兩個(gè)正整數(shù)之和，其中一個(gè)為11的倍數(shù)，另一個(gè)為17的倍數(shù)。求不定方程的最小整數(shù)解解：將變?yōu)?，?dāng)時(shí)均不合題意，當(dāng)時(shí)，原不定方程的最小正整數(shù)解為用16元錢(qián)買(mǎi)面值為20分，60分，1元的三種郵票共18枚，每枚郵票至少買(mǎi)1枚，共有多少中不同的買(mǎi)法？一分、二分、五分的硬幣共十枚，付一角八分錢(qián)，有幾種不同的取法？解：設(shè)取x枚1分，y枚2分，則取枚5分硬幣，由題意得，均為非負(fù)數(shù)，由得又為4的倍數(shù)，有三種不同的取法。把118分成兩個(gè)整數(shù)，一個(gè)數(shù)為11的倍數(shù)，一個(gè)數(shù)為17的倍數(shù)。解：設(shè)118=（為在整數(shù)）得特解為，通解為為整數(shù)），為整數(shù)）十一。全年級(jí)104人到公園劃船，大船每只載12人，小船每只載5人，大小船每客票價(jià)相等，但無(wú)論坐滿與否都要照滿載算價(jià)，試計(jì)算，大小船各租幾只才能既使每人都能乘船又使費(fèi)用最省？解：設(shè)大小船各租x只，y只，由題意得為非負(fù)整數(shù)）。當(dāng)時(shí)費(fèi)用最省，此時(shí)由得且能被5整除，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，答：大小船各租2只，16只或7只，4只時(shí)，既使每人都能乘船又使費(fèi)用最省。十二。一頭豬賣(mài)銀幣，一頭山羊賣(mài)銀幣，一頭綿羊賣(mài)銀幣，有人用100個(gè)銀幣買(mǎi)了100頭牲畜，問(wèn)買(mǎi)了豬、山羊、綿羊各幾頭？解：設(shè)買(mǎi)豬x頭，山羊y頭，則買(mǎi)綿羊頭，為非負(fù)整數(shù)，由題意得，整理得，由得，又為5的倍數(shù)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，答：買(mǎi)豬0頭，山羊60頭，綿羊40頭；買(mǎi)豬5頭，山羊42頭，綿羊53頭；買(mǎi)豬10頭，山羊24頭，綿羊66頭；買(mǎi)豬15頭，山羊6頭，綿羊79頭。十三。小王架車(chē)在公路上勻速行駛，他看到里程碑上的數(shù)是兩位數(shù)，一小時(shí)后看到里程碑上的數(shù)恰是第一次看到的數(shù)顛倒了順序的兩位數(shù)；再過(guò)一小時(shí)后，第三次看到里程碑上的數(shù)又恰好是第一次見(jiàn)到的兩位數(shù)字之間添上一個(gè)零的三位數(shù)，這三塊里程碑上的數(shù)各是多少？解：設(shè)第一次看到的兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y（為1~9的自然數(shù)）則，整理得，為1~9的自然數(shù)，三塊里程碑上的數(shù)分別為16，61，106；如何解二元一次不定方程意思就是說(shuō)求方程ax+by=c中x,y對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，數(shù)論中有專門(mén)的解法，一般是采用輾轉(zhuǎn)相除法來(lái)做，就是類(lèi)似于求最大公因子的相除過(guò)程。因?yàn)榭赡苤苯佑幂氜D(zhuǎn)相除法大家可能不好理解，我先用普通的解方程的方法來(lái)做，然后再跟大家介紹數(shù)論中的做法。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們先求7x解：我們對(duì)等式進(jìn)行變形，得到y(tǒng)=1-7x4=-x+因?yàn)??是整數(shù)，所以1-3x4也必須是整數(shù)，再另y'=1-3x4，變形得到4因?yàn)??是整數(shù)，所以1-y'3也必須是整數(shù)，然而1-y'3是整數(shù)的條件就是1-y這樣1-y'3是整數(shù)才能滿足。從式③反推回式②再反推回式①得到y(tǒng)=至此，我們就得到了不定方程7x+4y=1的全部整數(shù)解對(duì)結(jié)果表示懷疑？那么我們?cè)噹讉€(gè)??值：當(dāng)??=0時(shí)，x當(dāng)??=1時(shí)，x如果還想試的話，自己去試吧，如果找到不對(duì)的情況請(qǐng)立刻去買(mǎi)彩票！O(∩_∩)O~我們來(lái)分析一下這種計(jì)算方法，看看這么巧妙是如何實(shí)現(xiàn)的：式①之中，我們通過(guò)變形把系數(shù)大的項(xiàng)移動(dòng)到等式右邊，然后把左邊的系數(shù)除過(guò)去，得到y(tǒng)=1-7x4式中????都為整數(shù)，所以我們又變形得到y(tǒng)=-x+1-3x4，為何要這樣呢？這就是關(guān)鍵所在！因?yàn)檫@樣做就逐步的把系數(shù)減小了，前面的式子分子系數(shù)為7，而后面的變成了3！而根據(jù)1-3x4是一個(gè)整數(shù)，所以我們又可以列出新的不定方程，這個(gè)方程就要比我們最早的方程更簡(jiǎn)單，這樣一直演算下去，最后分子系數(shù)肯定會(huì)變成1，比如x=-ay'+a-y'c，這時(shí)因?yàn)閍-y'c是整數(shù)，假設(shè)等于上面的分析例子雖然簡(jiǎn)單，但是思想是對(duì)所有的不定方程都通用的，如果沒(méi)有理解的話，請(qǐng)?jiān)僮屑?xì)的看一遍，自己再演算一遍，肯定就OK了。以上就是普通解二元不定方程的方法，時(shí)間很晚了，數(shù)論上的方法我就先不講了，下次補(bǔ)上。Winxos2009-8-263:02:53今天我接著上次的給大家講一下數(shù)論中用的輾轉(zhuǎn)相除法。實(shí)際上輾轉(zhuǎn)相除法就是上面解方程法的簡(jiǎn)化計(jì)算版本，原理是一樣的。我們還是以7x+式中a=7,b=4，我們對(duì)a,b來(lái)輾轉(zhuǎn)相除（就是求a=7除以b=4，a=4除以b=3表構(gòu)造說(shuō)明：第一行表示第幾項(xiàng)，第二行表構(gòu)造說(shuō)明：第一行表示第幾項(xiàng)，第二行??就是我們計(jì)算過(guò)程中得到的商序列??k，第三行規(guī)律為??0=1，??1=??1，pk=qkpk-1+pk-2，形象描述就是??從??2開(kāi)始，等于沿著表中紅色箭頭方向第一項(xiàng)加上后兩項(xiàng)的乘積。0123…K????1??2??3…??k??1??1??2??3…??k?01?2?3…?k表1二元一次不定方程輔助表下面我來(lái)告訴大家如何使用這個(gè)表，我們已經(jīng)計(jì)算得到q1我們也知道??0=1，??1=??1，?0=0，?1=1，將上面的數(shù)填入表中，我們得到下面的表：012??11??11??2?01?2表2根據(jù)pk=根據(jù)Qk=公式1：不定方程的一個(gè)特解為x=-1所以我們得到了不定方程7x+一個(gè)特解為：x=下面給出幾個(gè)相關(guān)的定理：定理1：如果二元一次不定方程ax+by=c有一整數(shù)解x=x又假定a,b則ax+by=c的一切解可以表示為x=x定理2：ax+by=c有整數(shù)解的充分必要條件是a,b|c術(shù)語(yǔ)解釋：a,b表示a,b的最大公因子，a,b|c表示a,b的最大公因子能整除根據(jù)上面的定理1，我們可以得到不定方程7x+x=-經(jīng)過(guò)上面的練習(xí)，現(xiàn)在給出具體的求解ax+by=c的步驟：判斷是否有解，看是否a,b若a,b|c將ax+by=c兩邊同時(shí)除以a,b，得到a'x+b'y=c'；a先利用表1及公式1，求的|a將特解放大c'倍，再絕對(duì)值變換，得到a'x+b'y=c'的特解根據(jù)定理1，求得a'x+b'y=c'的通解，這也是原方程ax+by=c的通解完畢下面我再給出一個(gè)書(shū)上的復(fù)雜點(diǎn)的例子，以及用上面的方法求解過(guò)程。題目：求111x-解：判斷是否有解111,-321=3變形處理等式兩端同時(shí)除以111,-321得到37求特解我們先求解37x-107y=a=a=a=余數(shù)為1，停止計(jì)算我們將q10123??218??12??2??3?01?2?3根據(jù)pk=根據(jù)Qk=繼而求得：pQ根據(jù)公式1，得到107x+37所以3