復(fù)變函數(shù)第四版余家榮答案

復(fù)變函數(shù)第四版余家榮答案【篇一：1第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)】京1第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的概念①在解方程時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到負(fù)數(shù)開方的問題，但在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)負(fù)數(shù)是不能開平方的。為此，需要擴(kuò)大數(shù)系。我們給出如下的代數(shù)形式的復(fù)數(shù)定義：復(fù)數(shù)的代數(shù)定義：把有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)作代數(shù)組合所確定的形如x?iy的數(shù)稱為（代數(shù)形式的）復(fù)數(shù)，記為z?x?iy，2其中，i滿足i??1。我們稱i為虛單位；實(shí)數(shù)x和y分別稱為復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部，并記為x?rez，y?imz。特別地，當(dāng)imz?0時(shí)，z?x?i0?rez?x是實(shí)數(shù)；當(dāng)rez?0時(shí)且imz?0時(shí)，z?iimz?iy稱為純虛數(shù)；虛部不為零的復(fù)數(shù)稱為虛數(shù)（即不為實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)稱為虛數(shù)）；z?0當(dāng)且僅當(dāng)rez?0且imz?0，即復(fù)數(shù)0?0?i?0。z1?z2當(dāng)且僅當(dāng)rez1?rez2且imz1?imz2。2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算2.1四則運(yùn)算設(shè)z1?x1?iy1，z2?x2?iy2為任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，它們的四則運(yùn)算定義為:加法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2)減法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2)乘法：z1z2?(x1x2?y1y2)?i(x1y2?x2y1)除法：z1x1x2?y1y2y1x2?x1y2（z2?0）??i2222z2x2?y2x2?y22【注】：(1).可見，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，可以按照多項(xiàng)式的四則運(yùn)算進(jìn)行，只要注意將i換成?1。(2).關(guān)于除法的具體操作可以按兩種方法來進(jìn)行：①.先看成分式的形式，然后分子分母同乘以一個(gè)與分母的實(shí)部相等而虛部只相差一個(gè)正負(fù)號(hào)的復(fù)數(shù)（在后面將會(huì)看到，這被定義為共軛復(fù)數(shù)），再進(jìn)行簡化；②.用復(fù)數(shù)z1?x1?iy1除以非零復(fù)數(shù)z2?x2?iy2，就是要求出這樣一個(gè)復(fù)數(shù)z?x?iy，使得z1?z2?z。按乘法的定義，為求出z需要解方程組?x2x?y2y?x1??x2y?xy2?y12.2共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)x?iy和x?iy互稱為對(duì)方的共軛復(fù)數(shù)，如果記z?x?iy，則用記其共軛復(fù)數(shù)，即?x?iy?x?iy。①復(fù)數(shù)的公理化定義見附錄12對(duì)于復(fù)數(shù)z?x?iy，稱z?x2?y2為z的?；蚪^對(duì)值。共軛復(fù)數(shù)和模有下列等式及不等式性質(zhì)成立（1）()?z（2）z??2rez，z??2iimz（3）z?z?x?y（4）?z（5）z1?z2?1?2（6）z1z2?1?2（7）??222?z1?1???(z2?0)z2?2?2（8）z1?z2（9）x??z1?z2?z12?1z2?z1?z2?2re(z12)（此即相干疊加原理式.京.2222z?z?，y?（由此二式可知，任何實(shí)變數(shù)的方程原則上都可以用復(fù)變數(shù)表示22i（10）?z?rez?z?rez?imz（11）?z?imz?z?rez?imz（12）z1?z2?z1?z2?z1?z2（三角不等式）（13）(z1?z2)?第（8）式證明：積分變換integraltransformation先修課程：高等數(shù)學(xué)總學(xué)時(shí)：48（授課學(xué)時(shí)：48上機(jī)學(xué)時(shí)：0實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)：0）一、課程的性質(zhì)和任務(wù)：學(xué)科基礎(chǔ)必修課，本課程介紹復(fù)平面上的區(qū)域以及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)等概念、解析函數(shù)的理論和方法；介紹積分變換的基本內(nèi)容及應(yīng)用。二、課程教學(xué)內(nèi)容的基本要求、重點(diǎn)和難點(diǎn)及學(xué)時(shí)分配1.復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)（6學(xué)時(shí)）基本要求:理解復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)的表示方法；掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及乘冪與方根；了解復(fù)平面上點(diǎn)集的基本概念，理解區(qū)域的概念；掌握復(fù)變函數(shù)的概念，了解復(fù)變函數(shù)極限與連續(xù)性；了解復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的概念。重點(diǎn):復(fù)數(shù)的表示方法,復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及乘冪與方根，區(qū)域,復(fù)變函數(shù)的概念。難點(diǎn):復(fù)數(shù)的乘冪與方根、區(qū)域、復(fù)變函數(shù)極限與連續(xù)性。2.解析函數(shù)（6學(xué)時(shí)）基本要求:理解解析函數(shù)的概念，掌握柯西－黎曼條件；掌握初等解析函數(shù)：指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的概念，了解雙曲函數(shù)的概念；理解初等多值函數(shù)即根式函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，了解冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和反函數(shù)的概念；掌握求根式函數(shù)z和對(duì)數(shù)函數(shù)lnz的單值解析分支的方法。重點(diǎn):解析函數(shù)，柯西－黎曼條件；根式函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)；冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)；根式函數(shù)z和對(duì)數(shù)函數(shù)lnz的單值解析分支。難點(diǎn):柯西－黎曼條件；求根式函數(shù)z和對(duì)數(shù)函數(shù)lnz的單值解析分支的方法。3.復(fù)變函數(shù)的積分（8學(xué)時(shí)）基本要求:了解復(fù)積分的概念及其簡單性質(zhì)；掌握柯西-古薩基本定理、復(fù)合閉路原理及其應(yīng)用；理解柯西積分公式及其推論，掌握利用柯西積分公式求積分的方法；理解解析函數(shù)的無窮可微性，掌握解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用；了解解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系，會(huì)求共軛調(diào)和函數(shù)及其構(gòu)成的解析函數(shù)。重點(diǎn):柯西-古薩基本定理，復(fù)合閉路原理；柯西積分公式及其求積分的方法；解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用；共軛調(diào)和函數(shù)及其構(gòu)成的解析函數(shù)。難點(diǎn):復(fù)合閉路原理；用柯西積分公式求積分的方法；解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用；求共軛調(diào)和函數(shù)及其構(gòu)成的解析函數(shù)。4.解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示法（10學(xué)時(shí)）基本要求:了解復(fù)級(jí)數(shù)的概念和基本性質(zhì)；理解冪級(jí)數(shù)的斂散性，和的解析性，掌握收斂半徑的求法及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)；掌握解析函數(shù)的泰勒展式，會(huì)求一些初等函數(shù)的泰勒展式；理解解析函數(shù)的羅朗展式，會(huì)求簡單的解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)的羅朗展式。重點(diǎn):冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法，解析函數(shù)的泰勒展式，解析函數(shù)的羅朗展式。難點(diǎn):求解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)的羅朗展式。5.留數(shù)（6學(xué)時(shí)）基本要求:理解解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)的概念；理解孤立奇點(diǎn)的三種類型的等價(jià)定理，會(huì)判斷孤立奇點(diǎn)的類型；了解解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)；掌握留數(shù)的定義及留數(shù)定理，及留數(shù)的求法；會(huì)用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)積分；會(huì)用留數(shù)定理計(jì)算下面三種形式的定積分2????0r(cos?,sin?)d?型，???r(x)dx型，?????r(x)eaixdx(a?0)型。重點(diǎn):解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)的概念；判斷孤立奇點(diǎn)的類型；解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)；留數(shù)的求法；用留數(shù)計(jì)算復(fù)積分。難點(diǎn)：判斷孤立奇點(diǎn)的類型；留數(shù)的求法；用留數(shù)定理計(jì)算下面三種形式的定積分?r(cos?,sin?)d?型，02????????r(x)dx型，?r(x)eaixdx(a?0)型。??6.積分變換（12學(xué)時(shí)）基本要求：理解傅里葉變換及拉普拉斯變換的概念；掌握傅氏及拉氏變換的求法；了解傅里葉變換及拉普拉斯變換的性質(zhì)；了解卷積概念及拉普拉斯逆變換的概念。重點(diǎn)：傅里葉變換及拉普拉斯變換的概念；傅氏及拉氏變換的求法。難點(diǎn)：傅氏變換、拉氏變換及拉氏逆變換的求法；傅里葉變換及拉普拉斯變換的性質(zhì)。三、能力培養(yǎng)要求復(fù)變函數(shù)與積分變換的理論和方法在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)、彈性理論中的有力工具。通過本課程的學(xué)習(xí)，能正確理解和掌握復(fù)平面上的區(qū)域以及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)等概念，掌握解析函數(shù)的理論和方法及傅氏變換及拉氏變換的方法及應(yīng)用。逐步培養(yǎng)利用這些概念和方法解決實(shí)際問題的能力。四、教材與參考書目出版社《積分變換》（第四版）東南大學(xué)數(shù)學(xué)系張遠(yuǎn)林編高等教育出版社2.參考書目：鐘玉泉編《復(fù)變函數(shù)論》高等教育出版社（第三版）余家榮編《復(fù)變函數(shù)》高等教育出版社（第二版）楊戰(zhàn)民等：《復(fù)變函數(shù)與積分變換》，西安電子科技大學(xué)出版社五、有關(guān)說明本科程適用于信電、機(jī)電等專業(yè)。六、課程建設(shè)與改革摘要在教學(xué)過程中，由以教授理論知識(shí)為主，逐步轉(zhuǎn)向在教授理論知識(shí)的同時(shí)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)研究方法的教學(xué)，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法研究相關(guān)專業(yè)和實(shí)際問題的能力，主要是應(yīng)用能力的培養(yǎng)。在教學(xué)手段上，借助多媒體教學(xué)工具進(jìn)行自引導(dǎo)式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力及發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力。編寫人：車軍領(lǐng)審核人：批準(zhǔn)人：編寫日期：年月日《復(fù)變函數(shù)》與《積分變換》課程簡介課程名稱（中、英文）：復(fù)變函數(shù)complexfunctiontheory積分變換integraltransformation課程編碼：08課程簡介：本課程介紹復(fù)平面上的區(qū)域以及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)等概念及解析函數(shù)的理論和方法；介紹積分變換的基本內(nèi)容及應(yīng)用。考核形式：閉卷筆試教材與參考書目：1.教材：《復(fù)變函數(shù)》（第四版）西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室編高等教育出版社《積分變換》（第四版）東南大學(xué)數(shù)學(xué)系張?jiān)志幐叩冉逃霭嫔?.參考書目：鐘玉泉編《復(fù)變函數(shù)論》高等教育出版社（第三版）余家榮編《復(fù)變函數(shù)》高等教育出版社（第二版）【篇三：復(fù)變函數(shù)】t>一、課程性質(zhì)與目標(biāo)（一）課程性質(zhì)《復(fù)變函數(shù)論》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，又是《數(shù)學(xué)分析》的后繼化、完備化課程。它已滲入到解析數(shù)論、微分方程、計(jì)算數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)等數(shù)學(xué)分支，不僅成為了一種重要的解析工具，而且也為其它學(xué)科（如流體力學(xué)、彈性力學(xué)、電磁學(xué)等）提供了一種廣泛的幾何定性研究的方法。（二）課程目標(biāo)通過本課程的教學(xué)，使學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)的一些基本概念、基本理論、基本方法有較深刻的認(rèn)識(shí)和理解并掌握，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用這些概念與方法解決實(shí)際問題的基本技能，加深對(duì)《數(shù)學(xué)分析》中基礎(chǔ)理論的理解；認(rèn)識(shí)到一些不同數(shù)學(xué)分支之間的內(nèi)在聯(lián)系與相互影響，并對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)不同學(xué)科間的內(nèi)在聯(lián)系與相互滲透有一個(gè)初步的了解；進(jìn)一步鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，培養(yǎng)和提高分析問題和解決問題的能力；為學(xué)習(xí)有關(guān)專業(yè)和擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)面提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。二、課程內(nèi)容與教學(xué)（一）課程內(nèi)容1、課程內(nèi)容選編的基本原則（1）把握理論、技能相結(jié)合的基本原則。（2）注意教學(xué)內(nèi)容與其他相關(guān)課程的聯(lián)系和滲透。（3）結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)實(shí)際，充實(shí)教學(xué)內(nèi)容。2、課程基本內(nèi)容（1）復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)（2）解析函數(shù)（3）復(fù)變函數(shù)的積分（4）解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示法（5）解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)（6）留數(shù)理論及其應(yīng)用（7）共性映射（8）解析延拓（9）調(diào)和函數(shù)（二）課程教學(xué)1、注重?cái)?shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，闡述所講內(nèi)容在整個(gè)理論體系中的作用和地位。2、加強(qiáng)建立數(shù)學(xué)模型的思想和訓(xùn)練，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。3、在傳授基礎(chǔ)理論和基本技能的同時(shí)，加強(qiáng)學(xué)生分析實(shí)際問題和解決實(shí)際問題的能力。4、注重課堂講授、習(xí)題課、習(xí)題批改等環(huán)節(jié)。三、課程實(shí)施與評(píng)價(jià)（一）學(xué)時(shí)、學(xué)分本課程總學(xué)時(shí)為72學(xué)時(shí)。學(xué)生修完本課程全部內(nèi)容，成績合格，可獲4學(xué)分。（二）教學(xué)基本條件1、教師教師應(yīng)具有良好的師德和較高的專業(yè)素質(zhì)與教學(xué)水平，一般應(yīng)具備講師以上職稱或本專業(yè)碩士以上學(xué)位。2、教學(xué)設(shè)備配置與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖書、期刊、音像資料等。（三）課程評(píng)價(jià)1、對(duì)學(xué)生能力的評(píng)價(jià)（1）基本運(yùn)算能力，包括運(yùn)算速度及準(zhǔn)確性。（2）邏輯推理能力，包括邏輯思維的合理性和嚴(yán)密性。2、采取教師評(píng)價(jià)為主的評(píng)價(jià)方法。3、課程學(xué)習(xí)成績由期末考試成績（70%）和平時(shí)成績（30%）構(gòu)成。成績?cè)u(píng)定采用百分制。四、課程基本要求第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)了解復(fù)數(shù)、區(qū)域、單連通區(qū)域、多連通區(qū)域、約當(dāng)曲線、光滑（逐段光滑）曲線、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)、擴(kuò)充復(fù)平面等概念。理解復(fù)數(shù)的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的模和輻角的性質(zhì)。理解并掌握復(fù)變函數(shù)極限與連續(xù)性的概念與性質(zhì)；進(jìn)一步認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)域的結(jié)構(gòu)，并聯(lián)系中學(xué)的復(fù)數(shù)教學(xué)。掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算、過兩點(diǎn)的線段及直線的參數(shù)方程、復(fù)變函數(shù)的概念。第二章解析函數(shù)了解解析函數(shù)的定義、性質(zhì)及其充分必要條件；了解指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的定義及其主要性質(zhì)；了解雙曲函數(shù)、反三角函數(shù)、反雙曲函數(shù)的定義。理解函數(shù)在一點(diǎn)解析與函數(shù)在一點(diǎn)可微的區(qū)別，熟練掌握利用柯西-黎曼條件判別解析函數(shù)的方法；理解根式函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及其主要性質(zhì)。掌握指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、根式函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)的計(jì)算。第三章復(fù)變函數(shù)的積分了解復(fù)積分的性質(zhì)。理解復(fù)積分的概念，理解柯西積分定理，熟練掌握利用柯西積分定理計(jì)算函數(shù)沿閉曲線的積分；理解柯西積分定理的推廣；理解柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式。掌握復(fù)積分的計(jì)算方法；熟練掌握利用柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算函數(shù)沿閉曲線的積分；掌握利用摩勒拉定理判斷解析函數(shù)的方法；熟練掌握已知解析函數(shù)的實(shí)部（或虛部），求該解析函數(shù)的方法。第四章解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示法了解復(fù)級(jí)數(shù)的基本概念；了解冪級(jí)數(shù)和的解析性；了解冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周上的奇點(diǎn)的存在性；理解解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)；理解冪級(jí)數(shù)的斂散性；理解收斂圓、收斂半徑的概念；理解解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示；理解解析函數(shù)的零點(diǎn)孤立性、唯一性定理、最大模原理。掌握復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂、一致收斂、內(nèi)閉一致收斂的定義及判別方法熟練掌握一些初等函數(shù)的泰勒展式。第五章解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)了解雙邊冪級(jí)數(shù)的有關(guān)概念；了解洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)的關(guān)系；了解洛朗定理，了解解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)去心鄰域內(nèi)的性質(zhì)；了解整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念。理解孤立奇點(diǎn)的概念。熟練掌握將解析函數(shù)分別在指定圓環(huán)和孤立奇點(diǎn)去心鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)的方法；掌握判斷孤立奇點(diǎn)類型的方法；掌握解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)。第六章留數(shù)理論及其應(yīng)用了解函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)；了解對(duì)數(shù)留數(shù)的概念。理解留數(shù)的定義，熟練掌握留數(shù)的求法；理解留數(shù)定理，掌握利用柯西留數(shù)定理計(jì)算函數(shù)沿閉曲線的積分；熟練掌握用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分；；理解輻角原理、儒歇定理，熟練掌握求解析函