新教材同步系列2024春高中物理第2章機(jī)械振動第3節(jié)單擺教師用書粵教版選擇性必修第一冊

第三節(jié)單擺1．理解單擺模型及單擺做簡諧運動的規(guī)律和特點．2．掌握影響單擺周期的因素和周期公式．3．能從不同角度認(rèn)識單擺的振動，能質(zhì)疑他人的觀點．4．學(xué)會用單擺周期公式測定重力加速度的方法．1．單擺模型如果懸掛物體的繩子的伸縮和質(zhì)量可以忽略不計，繩長比物體的尺寸大很多，物體可以看作質(zhì)點，這樣的裝置可以看作單擺，單擺是實際擺的理想模型．2．單擺的運動若單擺的擺角小于5°，單擺的擺動可看成簡諧運動．3．單擺的回復(fù)力重力mg沿圓弧切線方向的分力F為單擺擺球的回復(fù)力．4．單擺的固有周期(1)單擺振動的周期與擺球質(zhì)量無關(guān)(選填“有關(guān)”或“無關(guān)”)，與振幅無關(guān)(選填“有關(guān)”或“無關(guān)”)，與擺長有關(guān)(選填“有關(guān)”或“無關(guān)”)．(2)周期T與擺長L的二次方根成正比，與重力加速度g的二次方根成反比，與擺球質(zhì)量及振幅無關(guān)．1．思考判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)單擺模型中對細(xì)線的要求是細(xì)線的伸縮可忽略，質(zhì)量可忽略． (√)(2)單擺模型中對小球的要求是密度較大，其直徑與線的長度相比可忽略． (√)(3)擺球質(zhì)量越大，周期越長． (×)(4)擺動幅度越大，周期越長． (×)2．關(guān)于單擺的運動，下列說法正確的是()A．單擺擺球運動的回復(fù)力是擺線張力和重力的合力B．單擺擺球經(jīng)過軌跡上的同一點速度是相同的C．單擺擺球經(jīng)過軌跡上的同一點加速度是相同的D．單擺擺球經(jīng)過平衡位置時受力是平衡的C[擺球運動的回復(fù)力由重力沿圓弧切線方向的分力提供，故A錯誤；根據(jù)簡諧運動的對稱性可知擺球經(jīng)過軌跡上的同一點時速度大小相等，方向可能相同，也可能不同，加速度的大小、方向都相同，故B錯誤，C正確；擺球經(jīng)過平衡位置時，回復(fù)力為零，合外力不為零，受力并不平衡，故D錯誤．]3．如圖所示是一個單擺(θ＜5°)，其周期為T，則下列說法正確的是()A．把擺球的質(zhì)量增加一倍，其周期變小B．?dāng)[球的振幅變小時，周期也變小C．此擺由O→B運動的時間為TD．?dāng)[球B→O時，動能向勢能轉(zhuǎn)化C[單擺的周期與擺球的質(zhì)量無關(guān)，A錯誤；單擺的周期與振幅無關(guān)，B錯誤；此擺由O→B運動的時間為T4，C正確；擺球B→O時，勢能轉(zhuǎn)化為動能，D錯誤．如圖所示，一根細(xì)線上端固定，下端連接一個金屬小球，用手使小球偏離豎直方向一個夾角，然后釋放．討論：(1)小球受到哪些力的作用？(2)向心力和回復(fù)力分別是由什么力提供的？提示：(1)小球受重力和細(xì)線的拉力．(2)細(xì)線的拉力和重力沿細(xì)線方向的分力的合力提供向心力．小球重力沿圓弧切線方向的分力提供回復(fù)力．單擺模型的回復(fù)力及運動情況1．單擺的回復(fù)力(1)單擺受力：如圖所示，受細(xì)線拉力和重力作用．(2)向心力來源：細(xì)線拉力和重力沿徑向的分力的合力．(3)回復(fù)力來源：重力沿圓弧切線方向的分力F＝mgsinθ提供了使擺球振動的回復(fù)力．2．單擺做簡諧運動的推證在偏角很小時，sinθ≈xL，又回復(fù)力F＝mgsinθ，所以單擺的回復(fù)力為F＝－mgLx(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，L表示單擺的擺長，負(fù)號表示回復(fù)力F與位移x的方向相反)，由此知回復(fù)力符合F＝－k【典例1】振動的單擺小球通過平衡位置時，關(guān)于小球受到的回復(fù)力及合力的說法中正確的是()A．回復(fù)力為零，合力不為零，方向指向懸點B．回復(fù)力不為零，方向沿軌跡的切線C．合力不為零，方向沿軌跡的切線D．回復(fù)力為零，合力也為零[思路點撥](1)考慮擺動情況，小球在平衡位置回復(fù)力為零．(2)考慮圓周運動情況，小球在平衡位置所受合外力不為零．A[單擺的回復(fù)力不是它的合力，而是重力沿圓弧切線方向的分力；當(dāng)擺球運動到平衡位置時，回復(fù)力為零，但合力不為零，因為小球還有向心力，方向指向懸點(即指向圓心)．]單擺中的回復(fù)力(1)單擺振動中的回復(fù)力不是它受到的合外力，而是重力沿圓弧切線方向的一個分力．單擺振動過程中，有向心力，這是與彈簧振子不同之處．(2)在最大位移處時，因速度為零，所以向心力為零，故此時合外力也就是回復(fù)力．(3)在平衡位置處時，由于速度不為零，故向心力也不為零，即此時回復(fù)力為零，但合外力不為零．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．關(guān)于單擺的描述，正確的是()A．單擺的運動一定是簡諧運動B．單擺運動的回復(fù)力是重力與繩子拉力的合力C．單擺運動過程中經(jīng)過平衡位置時達(dá)到平衡狀態(tài)D．單擺經(jīng)過平衡位置時回復(fù)力為零D[當(dāng)單擺的偏角較小時單擺的運動才是簡諧運動，故A錯誤；單擺運動的回復(fù)力是重力在切線上的分力提供的，故B錯誤；單擺運動過程中經(jīng)過平衡位置時有向心加速度，所以沒有達(dá)到平衡狀態(tài)，故C錯誤；根據(jù)F＝－kx可知單擺經(jīng)過平衡位置時回復(fù)力為零，故D正確．]單擺的周期1．單擺的周期公式：T＝2πLg2．對周期公式的理解(1)單擺的周期公式在單擺偏角很小時成立(偏角為5°時，由周期公式算出的周期和精確值相差0.01%)．(2)公式中l(wèi)是擺長，即懸點到擺球球心的距離，即L＝l線＋r球．(3)公式中g(shù)是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定．(4)周期T只與L和g有關(guān)，與擺球質(zhì)量m及振幅無關(guān)．所以單擺的周期也叫固有周期．3．單擺模型的拓展(1)圖(a)中，甲、乙在垂直紙面方向擺起來效果是相同的，所以甲擺的擺長為Lsinα，這就是等效擺長，其周期T＝2πLsinαg(2)如圖(c)所示，小球在光滑的半徑較大的圓周上做小幅度(θ很小)的圓周運動時，可等效為單擺，小球在A、B間做簡諧運動，周期T＝2πRg4．公式中重力加速度g的變化與等效(1)若單擺系統(tǒng)只處在重力場中且處于靜止?fàn)顟B(tài)，g由單擺所處的空間位置決定，即g＝GMR2，式中R為物體到地心的距離，M為地球的質(zhì)量，g隨所在位置的高度的變化而變化．另外，在不同星球上M和R也是變化的，所以g也不同，g＝9.8m/s(2)等效重力加速度：若單擺系統(tǒng)處在非平衡狀態(tài)(如加速、減速、完全失重狀態(tài))，則一般情況下，g值等于擺球相對靜止在自己的平衡位置時，擺線所受的張力與擺球質(zhì)量的比值．如圖所示，擺球靜止在平衡位置O時，F(xiàn)T＝mgsinθ，等效加速度g′＝FTm＝gsin【典例2】一個單擺的擺長為l，在其懸點O的正下方0.19l處有一釘子P(如圖所示)，現(xiàn)將擺球向左拉開到A，使擺線偏角θ＜5°，放手后使其擺動，求出單擺的振動周期．[思路點撥](1)左邊和右邊擺長不同．(2)單擺的周期等于兩個擺周期之和的一半．[解析]擺球釋放后到達(dá)右邊最高點B處，由機(jī)械能守恒可知B和A等高，則擺球始終做簡諧運動．?dāng)[球做簡諧運動的擺長有所變化，它的周期為兩個不同單擺的半周期的和．小球在左邊的周期為T1＝2πl(wèi)小球在右邊的周期為T2＝2π0.81l則整個單擺的周期為T＝T12+T22＝πl(wèi)g[答案]1.9πl(wèi)求單擺周期的方法(1)明確單擺的運動過程，看是否符合簡諧運動的條件．(2)在運用T＝2πLg時，要注意L和g是否發(fā)生變化，如果發(fā)生變化，則分別求出不同L和g(3)改變單擺振動周期的途徑是：①改變單擺的擺長．②改變單擺的重力加速度(如改變單擺的位置或讓單擺失重或超重)．(4)明確單擺振動周期與單擺的質(zhì)量和振幅沒有任何關(guān)系．[跟進(jìn)訓(xùn)練]訓(xùn)練角度1單擺周期的特點2．若單擺的擺長不變，擺球的質(zhì)量由20g增加為40g，擺球離開平衡位置的最大角度由4°減為2°，則單擺振動的()A．頻率不變，振幅不變 B．頻率不變，振幅改變C．頻率改變，振幅不變 D．頻率改變，振幅改變B[單擺的周期公式為T＝2πLg，與擺球的質(zhì)量和擺角的大小無關(guān)，所以周期不變，頻率也不變，擺角減小則振幅減小，故B正確，A、C、D錯誤．訓(xùn)練角度2單擺的振動圖像3．(多選)如圖為甲、乙兩單擺的振動圖像，則()A．由圖像可知兩單擺周期之比為2∶1B．若甲、乙兩單擺在同一地點擺動，則甲、乙兩單擺的擺長之比l甲∶l乙＝2∶1C．若甲、乙兩單擺在同一地點擺動，則甲、乙兩單擺的擺長之比l甲∶l乙＝4∶1D．若甲、乙兩擺擺長相同，且在不同的星球上擺動，則甲、乙兩擺所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1AC[由題中圖像可知T甲∶T乙＝2∶1，若兩單擺在同一地點，則兩擺擺長之比l甲∶l乙＝4∶1，若兩擺擺長相等，則所在星球的重力加速度之比為g甲∶g乙＝1∶4．]1．(多選)下列有關(guān)單擺運動過程中的受力，說法正確的是()A．單擺運動的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的一個分力B．單擺經(jīng)過平衡位置時合力提供向心力C．單擺運動的回復(fù)力是擺線拉力的一個分力D．在擺角很小的情況下，單擺回復(fù)力符合簡諧運動特點ABD[單擺運動的回復(fù)力不是由重力與擺線拉力的合力提供，平衡位置時，重力和擺線拉力的合力提供向心力，B正確；單擺的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的一個分力，而不是擺線拉力的分力，A正確，C錯誤；當(dāng)θ＜5°時，單擺回復(fù)力符合簡諧運動特點，D正確．]2．(多選)一單擺做小角度擺動，其振動圖像如圖所示，以下說法正確的是()A．t1時刻擺球速度為零，擺球的回復(fù)力最大B．t2時刻擺球速度為零，懸線對它的拉力最小C．t3時刻擺球速度為零，擺球的回復(fù)力最小D．t4時刻擺球速度最大，懸線對它的拉力最大AD[由振動圖像知，t1和t3時刻擺球偏離平衡位置的位移最大，此時擺球的速度為零，擺球的回復(fù)力最大，A正確，C錯誤；t2和t4時刻擺球位移為零，正在通過平衡位置，速度最大，由于擺球做圓周運動(一部分)，由牛頓第二定律得出懸線對擺球拉力最大，D正確，B錯誤．]3．(2022·河南高二期中)如圖所示，光滑弧形凹槽的半徑為R，弧長為L，R?L．將質(zhì)量為m的小球從凹槽邊緣由靜止釋放，小球以最低點P為平衡位置在AB之間做簡諧運動．重力加速度大小為g，下列說法正確的是()A．運動到B點時，小球受到的合力為0B．運動到P點時，小球受到的合力為0C．小球從A點運動到B點的時間為πRD．小球從A點運動到B點的時間為πLC[運動到B點時，小球受豎直向下的重力和指向圓心的支持力，兩個力的合力產(chǎn)生切向加速度，受到的合力不為0，選項A錯誤；運動到P點時，小球受到的合力提供向心力，合力不為0，選項B錯誤；小球的振動類似單擺，根據(jù)單擺周期公式T＝2πRg，則小球從A點運動到B點的時間為t＝12T＝πRg，選項C正確，D4．已知在單擺a完成10次全振動的時間內(nèi)，單擺b完成6次全振動，兩單擺擺長之差為1.6m，則兩單擺擺長La與Lb分別為()A．La＝2.5m，Lb＝0.9mB．La＝0.9m，Lb＝2.5mC．La＝2.4m，Lb＝4.0mD．La＝4.0m，Lb＝2.4mB[單擺完成一次全振動所需的時間即單擺的周期，據(jù)題設(shè)可知a、b兩單擺的周期之比為TaTb＝610，由單擺周期公式T＝2πLg得TaTb＝LaLb，據(jù)題設(shè)得Lb－La＝1.6m，聯(lián)立解得L5．(2022·福建省華安縣第一中學(xué)高二階段練習(xí))如圖甲所示是一個單擺振動的情形，O是它的平衡位置，B，C是擺球所能到達(dá)的最遠(yuǎn)位置，設(shè)向右為正方向，圖乙是這個單擺的振動圖像，根據(jù)圖像回答：(1)單擺振動的頻率是多大？(2)開始時擺球在何位置？(3)若當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?0m/s2，試求這個單擺的擺長是多少？(計算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)[解析](1)由題圖乙可知，單擺振動的周期T＝0.8s，故其振動的頻率為f＝1T＝10.8(2)由題圖乙和題圖甲可知，開始時刻擺球位移為負(fù)向最大，以向右為正方向，故開始時刻擺球位于B位置．(3)由單擺的周期公式T＝2πl(wèi)可得l＝T24π2g＝0.[答案](1)1.25Hz(2)B位置(3)0.16m回顧本節(jié)內(nèi)容，自主完成以下問題：1．單擺是合力提供回復(fù)力嗎？提示：不是，是重力的切向分力．2．單擺的擺動角度有什么限制？提示：擺角很小時才可簡化為簡諧運動．3．單擺周期與什么有關(guān)？提示：擺長和重力加速度．課時分層作業(yè)(六)單擺考點一單擺模型的回復(fù)力及運動情況1．在如圖所示的裝置中，可視為單擺的是()ABCDA[單擺的懸線要求無彈性且粗細(xì)、質(zhì)量可忽略，擺球的直徑與懸線長度相比可忽略，故A正確，B、C錯誤；懸點必須固定，故D錯誤．]2．關(guān)于單擺，下列說法正確的是()A．?dāng)[球受到的回復(fù)力方向總是指向平衡位置B．?dāng)[球受到的回復(fù)力是它所受的合力C．?dāng)[球經(jīng)過平衡位置時，所受的合力為零D．?dāng)[角很小時，擺球所受合力的大小跟擺球相對于平衡位置的位移大小成正比A[回復(fù)力是使擺球回到平衡位置的力，其方向總是指向平衡位置，故A正確；擺球所受的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的分力，不是擺球所受的合力，故B錯誤；擺球經(jīng)過平衡位置時，回復(fù)力為零，但由于擺球做圓周運動，有向心力，合力不為零，方向指向懸點，故C錯誤；擺角很小時，回復(fù)力與擺球相對于平衡位置的位移大小成正比，但合力沒有此關(guān)系，故D錯誤．]3．(多選)如圖所示，對于做簡諧運動的單擺，當(dāng)所受回復(fù)力逐漸增大時，隨之變小的物理量是()A．?dāng)[線上的張力B．?dāng)[球的振幅C．?dāng)[球的重力勢能D．?dāng)[球的動能AD[回復(fù)力逐漸增大時，位移增大，擺球的重力沿切線方向的分力增大，速度變小，動能變小，重力勢能增大，向心力減小，張力減小，振幅不變．]4．有一個正在擺動的秒擺(T＝2s)，若取擺球正從平衡位置向左運動時開始計時，那么當(dāng)t＝1.6s時，以下對擺球的運動情況及回復(fù)力變化情況正確的是()A．正在向左做減速運動，回復(fù)力正在增大B．正在向右做減速運動，回復(fù)力正在增大C．正在向右做加速運動，回復(fù)力正在減小D．正在向左做加速運動，回復(fù)力正在減小D[秒擺的周期為T＝2s，取擺球正從平衡位置向左運動時開始計時，當(dāng)t＝1.6s時，即34T<t<T，說明擺球正從最右端向平衡位置做加速運動，即向左做加速運動；由于擺角在變小，故F回＝mgsinθ也在變小，A、B、C錯誤，D正確．考點二單擺的周期5．(2022·江蘇揚州中學(xué)高二期中)單擺做小角度擺動的周期為T0，下列說法正確的是()A．將該單擺放到月球上，擺動周期變大B．重力與繩子拉力的合力提供擺球的回復(fù)力C．?dāng)[動過程中，繩子的拉力始終大于擺球的重力D．?dāng)[動過程中，繩子的拉力始終小于擺球的重力A[根據(jù)單擺的周期公式T＝2πl(wèi)g，因為月球上的重力加速度小，所以將該單擺放到月球上，擺動周期變大，A正確；重力的切向分力提供擺球的回復(fù)力，B錯誤；在最高點時速度為零，此時繩子的拉力等于重力的一個分力，即繩子的拉力小于重力；在最低點時有F－mg＝ma，所以此時繩子的拉力大于重力，C、D錯誤．6．(2022·山東煙臺高二期中)如圖所示，長為l的細(xì)繩下方懸掛一小球，靜止時小球位于B點．繩的另一端固定在天花板上O點處，在O點正下方34l的O′處固定一鐵釘．將小球向右拉到A點，使細(xì)繩與豎直方向成一小角度(約為2°)后由靜止釋放，重力加速度為g，不計空氣阻力，下列說法中正確的是(A．小球第一次返回到A點所用時間為3πB．小球第一次返回到A點所用時間為3πC．小球在振動過程中的合力等于重力沿切線方向的分力D．小球在振動過程中的回復(fù)力等于所受重力和擺線拉力的合力A[小球第一次返回到A點所用時間，即小球擺動的周期，等于擺長為l的單擺和擺長為14l的單擺的周期之和的二分之一，即T＝12(2πl(wèi)g＋2πl(wèi)4g)＝3π2lg，A正確、B錯誤；小球在振動過程中的合力等于所受重力和擺線拉力的合力，C7．(2022·江蘇南通高三階段練習(xí))一單擺擺動過程中擺繩對擺球的拉力大小F隨時間t變化的圖像如圖所示，重力加速度為g，則該單擺的擺長為()A．gT024π2B．gT0B[擺球擺動過程中，由重力和繩子拉力提供向心力，所以擺球運動到最低點時，繩子拉力最大，擺球運動一個周期兩次經(jīng)過平衡位置，則由圖可知周期為T＝2T0，根據(jù)單擺的周期公式T＝2πl(wèi)g可知l＝gT02π28．把在北京調(diào)準(zhǔn)的擺鐘，由北京移到赤道上時，擺鐘的振動()A．變慢了，要使它恢復(fù)準(zhǔn)確，應(yīng)增加擺長B．變慢了，要使它恢復(fù)準(zhǔn)確，應(yīng)縮短擺長C．變快了，要使它恢復(fù)準(zhǔn)確，應(yīng)增加擺長D．變快了，要使它恢復(fù)準(zhǔn)確，應(yīng)縮短擺長B[把標(biāo)準(zhǔn)擺鐘從北京移到赤道上，重力加速度g變小，則周期T＝2πl(wèi)g＞T0，因此變慢了，要使它恢復(fù)準(zhǔn)確，應(yīng)縮短擺長，B正確．9．?dāng)[長為l的單擺做簡諧運動，若從某時刻開始計時(即取作t＝0)，當(dāng)振動至t＝3π2lg時，擺球恰具有負(fù)向最大速度，則單擺的振動圖像是圖中的ABCDD[t＝3π2lg＝34T，最大速度時，單擺應(yīng)在平衡位置，y＝0，v方向為－y，沿y軸負(fù)方向，故10．(多選)如圖所示為同一地點的兩單擺甲、乙的振動圖像，下列說法中正確的是()A．甲、乙兩單擺的擺長相等B．甲擺的振幅比乙擺大C．甲擺的機(jī)械能比乙擺大D．在t＝0.5s時有正向最大加速度的是乙擺ABD[由圖看出，兩個單擺的周期相同，同一地點g相同，由單擺的周期公式T＝2πLg得知，甲、乙兩單擺的擺長L相等，故A正確；甲擺的振幅為10cm，乙擺的振幅為7cm，則甲擺的振幅比乙擺大，故B正確；盡管甲擺的振幅比乙擺大，兩擺的擺長也相等，但由于兩擺的質(zhì)量未知，無法比較機(jī)械能的大小，故C錯誤；在t＝0.5s時，乙擺具有最大負(fù)向位移，由a＝－kxm可知，乙擺具有正向最大加速度，故D正確11．(多選)如圖所示，一個光滑凹槽半徑為R，弧長為L(已知R?L)．現(xiàn)將一質(zhì)量為m的小球從凹槽邊緣由靜止釋放，小球以最低點為平衡位置做簡諧運動．已知重力加速度大小為g，下列說法正確的是()A．小球做簡諧運動的回復(fù)力為重力和支持力的合