2024年1月“九省聯(lián)考”數(shù)學(xué)試題帶來的備考啟示

解讀探究預(yù)測加強(qiáng)教考銜接，實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)過渡--2024年1月“九省聯(lián)考”數(shù)學(xué)試題帶來的備考啟示命制背景和試題定位2024年1月19日至1月21日，江西、安徽、黑龍江、甘肅、吉林、貴州、廣西壯族自治區(qū)等第四批高考綜合改革省份將要首考落地，為實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)過渡，相關(guān)省份組織進(jìn)行了一場盛大聯(lián)考——高考改革適應(yīng)性演練測試，稱之七省聯(lián)考，后加入河南、新疆（或者稱之為“九省聯(lián)考”）參考考試人數(shù)為萬眾矚目的410萬人。2024年適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷由教育部教育考試院命制，試題遵循中國高考評價體系規(guī)定的考查內(nèi)容和要求，充分發(fā)揮高考的核心功能，深化必備知識和關(guān)鍵能力的考查。試卷合理控制難度，與以往全國卷相比，減少試題數(shù)量，適度降低計算量，加強(qiáng)思維考查力度，試題設(shè)計追求創(chuàng)新，打破固化形式，有利于充分發(fā)揮服務(wù)人才選拔的功能。本次考試的突出變化如下：1.數(shù)學(xué)試題不分文理。新高考改革第四批七省區(qū)將于2024年進(jìn)入文理不分科的數(shù)學(xué)新高考模式。2.題型結(jié)構(gòu)發(fā)生變化。最明顯的一個變化是題目數(shù)量的減少，全卷由過去的22個題減少到19個題。其中單項(xiàng)選擇題數(shù)量不變，還是8個小題，多項(xiàng)選擇題、填空題和解答題各減少1個小題，多項(xiàng)選擇題和填空題分別由4個小題減少到3個小題，解答題由6個小題減少到5個小題，考生的作答時間隨之變得更加充分。3.考題的順序安排也打破常規(guī)，有所變化。2024年測試卷的試卷結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是靈活、科學(xué)地確定試題的內(nèi)容、順序和難度。4.題目分值發(fā)生巨大變化。最后兩個壓軸題保持較高的難度、能力要求和思維要求，以保持對高分段考生良好的區(qū)分，并且分值由過去的12分增加到17分，占分比例和重要性顯著增加。由于整體難度的調(diào)整，考查思路的變化，需要考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)工具去分析、解決問題，綜合考查考生的邏輯推理能力，對考生運(yùn)用所學(xué)知識找到合理的解題策略提出了較高要求，突出了選拔功能。傳達(dá)信號意圖解讀1.調(diào)整試卷結(jié)構(gòu)的主要目的是給學(xué)生更多的思考時間，從而加強(qiáng)對思維能力的考查?？傤}數(shù)從22個變成了19個，減少了13.6%。除單選題的個數(shù)和分?jǐn)?shù)（8個，40分）不變外，其他題型在個數(shù)和分?jǐn)?shù)上均有所調(diào)整，將原來的4個多選題（20分）、4個填空題（20分）、6個解答題（70分）分別減少為3個多選題（18分）、3個填空題（15分）、5個解答題（77分），其中只有解答題增加了分?jǐn)?shù)。由于調(diào)整試卷結(jié)構(gòu)以后整卷題量減少，更有利于考生發(fā)揮創(chuàng)新能力——特別是在解答題中加強(qiáng)對思維的考查，也有利于提升壓軸題的思維量與難度，注重考查思維過程和思維品質(zhì)，服務(wù)拔尖創(chuàng)新人才選拔。2.與以往試題相比，各個題目的考查內(nèi)容、排列順序進(jìn)行了大幅度的調(diào)整。以往壓軸的函數(shù)試題在測試卷安排在解答題的第1題，難度大幅度降低；概率與統(tǒng)計試題也降低了難度，安排在解答題的第2題；在壓軸題安排了新情境試題。這些變化對于打破學(xué)生機(jī)械應(yīng)試的套路模式，對促使學(xué)生全面掌握主干知識、提升基本能力具有積極的導(dǎo)向作用。3.引導(dǎo)考生“多想少算”，有利于考查理性思維和核心素養(yǎng)的水平。符合國家對高考改革的要求。數(shù)學(xué)高考一直強(qiáng)調(diào)“多想一點(diǎn)，少算一點(diǎn)”的理念，從重考查知識回憶向重考查思維過程轉(zhuǎn)變。在測試卷中，這一理念在解析幾何的考核中體現(xiàn)得極其充分。這樣的命題方式提醒考生“多想少算”，考查了思維能力，有效地避免了以前在解析幾何的考核中計算量“居高不下”的現(xiàn)象，并且在考查考生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的同時也考查了邏輯推理素養(yǎng)，也比較自然地體現(xiàn)了各核心素養(yǎng)的交融性。4.引導(dǎo)考生從小處著手，掌握基本概念和常規(guī)計算；從大處著眼，建構(gòu)高中數(shù)學(xué)的知識體系。2024年測試卷各個主題的題目數(shù)量和分值比例大致與課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的課時一致（函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計分別約占40%、40%、20%），符合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求：在數(shù)學(xué)高考的命題中，要關(guān)注試卷的整體性和內(nèi)容的分布。測試卷題目的設(shè)置層次遞進(jìn)有序，難度結(jié)構(gòu)合理，大部分為常規(guī)題目。中低難度的題目平和清新，重點(diǎn)突出；高難度的題目不偏不怪，中規(guī)中矩，體現(xiàn)了良好的區(qū)分性。第1、2、3、4、10、12、15題（共44分）屬于簡單題，主要考查基本概念和基本運(yùn)算。特別是，第1題考查樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)，第10題考查復(fù)數(shù)的共軛運(yùn)算，既是基本內(nèi)容，又略顯新穎。5.客觀選擇題考查內(nèi)容比較6.客觀填空題考查內(nèi)容比較7.主觀題考查內(nèi)容比較七省聯(lián)考（“九省聯(lián)考”）數(shù)學(xué)試題考查問題的特點(diǎn)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位數(shù)為（）A．14B．16C．18D．20【考查目標(biāo)】樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)【解題思路】排序再找中位數(shù)【命題考向趨勢】樣本數(shù)據(jù)涉及到的概念【備考復(fù)習(xí)建議】樣本數(shù)據(jù)相關(guān)概念1.B【解析】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，則其中位數(shù)為16.2．橢圓的離心率為，則（）A．B．C．D．2【考查目標(biāo)】橢圓性質(zhì)、離心率【解題思路】a、b、c關(guān)系及離心率公式【命題考向趨勢】橢圓的基本性質(zhì)【備考復(fù)習(xí)建議】靈活掌握橢圓基本性質(zhì)2.A【解析】由題意得，解得，【知識鏈接】橢圓離心率專題求離心率常用公式公式1：e公式2:公式3:已知橢圓方程為,兩焦點(diǎn)分別為,設(shè)焦點(diǎn)三角形,則橢圓的離心率e證明,由正弦定理得由等比定理得,即e公式4:以橢圓兩焦點(diǎn)及橢圓上任一點(diǎn)除長軸兩端點(diǎn)外)為頂點(diǎn),則e證明：由正弦定理有公式5:點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，過的弦AB與橢圓焦點(diǎn)所在軸的夾角為為直線AB的斜率，且,則e當(dāng)曲線焦點(diǎn)在軸上時，e注或者而不是或3．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A．120B．140C．160D．180【考查目標(biāo)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式【解題思路】公式應(yīng)用【命題考向趨勢】等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式綜合運(yùn)用【備考復(fù)習(xí)建議】對等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的理解3.C【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以【知識鏈接】1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式公式一證明:(倒序相加法)①,②,由①+②得,因?yàn)?所以,由此得公式二:證明:將代入可得.2.前項(xiàng)和與函數(shù)關(guān)系由,令,則;為常數(shù)).當(dāng)即時,是關(guān)于的一個一次函數(shù);它的圖像是在直線上的一群孤立的點(diǎn).(2)當(dāng)即時,是關(guān)于的一個常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù);它的圖像是在拋物線上的一群孤立的點(diǎn).①當(dāng)時,有最小值;②當(dāng)時,有最大值.4．設(shè)是兩個平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【考查目標(biāo)】空間線面的位置關(guān)系【解題思路】空間線面位置關(guān)系簡圖或利用周邊環(huán)境想象思考【命題考向趨勢】空間線面的位置關(guān)系【備考復(fù)習(xí)建議】理解空間線面位置關(guān)系C【解析】對于A，可能平行，相交或異面，故A錯誤，對于B，可能相交或平行，故B錯誤，對于D，可能相交或平行，故D錯誤，由線面平行性質(zhì)得C正確，5．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（）A．20種B．16種C．12種D．8種【考查目標(biāo)】排列組合【解題思路】先排乙丙，再排甲【命題考向趨勢】排列組合應(yīng)用【備考復(fù)習(xí)建議】排列組合靈活應(yīng)用5.B【解析】因?yàn)橐液捅g恰有人，所以乙丙及中間人占據(jù)首四位或尾四位，①當(dāng)乙丙及中間人占據(jù)首四位，此時還剩末位，故甲在乙丙中間，排乙丙有種方法，排甲有種方法，剩余兩個位置兩人全排列有種排法，所以有種方法；②當(dāng)乙丙及中間人占據(jù)尾四位，此時還剩首位，故甲在乙丙中間，排乙丙有種方法，排甲有種方法，剩余兩個位置兩人全排列有種排法，所以有種方法；由分類加法計數(shù)原理可知，一共有種排法，【知識鏈接】一、分類與計數(shù)原理1、分類加法計數(shù)原理的概念完成一件事可以有n類方案，各類方案相互獨(dú)立，在第一類方案中m1種不同方法，在第二類方案中m2種不同方法?在第n類方案中mn種不同方法，那么完成這個件事共有N=m1+m22、分步乘法計數(shù)原理的概念完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法?做第n步有mn種方法，那么，完成這個件事共有N=m3、兩個計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理聯(lián)系兩個計數(shù)原理都是對完成一件事的方法種數(shù)而言區(qū)別一每類方法都能獨(dú)立完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事.每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，只有各個步驟都完成了才能完成這件事.區(qū)別二各類方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的.各步之間是相互依存，并且既不能重復(fù)也不能遺漏.二、排列與排列數(shù)1.排列與排列數(shù)：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按一定順序排成一列，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有不同排列的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號An2.排列數(shù)公式：Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)?(n-m+1)=n!(n-m)!（n、m?N*且m≤nAnn=n!=nn-1三、組合與組合數(shù)1.組合與組合數(shù)：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合，所有不同組合的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Cn2.組合數(shù)公式：Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)(n-3)?(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!（n、m?3.組合數(shù)性質(zhì)：（1）Cnm=Cnn-m（n、（2）=+（n、m?N*且m≤n）；【變式】在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所有數(shù)字只有0和1則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為（）A.10B.11C.12D.15【答案】B【解析】當(dāng)與信息0110對應(yīng)位置上的數(shù)字各不相同時，這樣的信息個數(shù)只有1個；當(dāng)與信息0110對應(yīng)位置上的數(shù)字只有1個相同時，這樣的信息個數(shù)只有4個；當(dāng)與信息0110對應(yīng)位置上的數(shù)字只有2個相同時，只需從四個位置中選出兩個位置使相應(yīng)的數(shù)字相同，有種方法，剩下的兩個位置上的數(shù)字對應(yīng)不相同，只有1種可能，故此時共有個不同的信息.根據(jù)分類原理知共有：1+4+=11個不同信息.故選B.6．已知為直線上的動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則（）A．是一個半徑為的圓B．是一條與相交的直線C．上的點(diǎn)到的距離均為D．是兩條平行直線【考查目標(biāo)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平行線間的距離公式【解題思路】先確定動點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)P,利用向量坐標(biāo)運(yùn)算建立等量關(guān)系，求出Р的軌跡E再用平行線間的距離公式求解即可【命題考向趨勢】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平行線間的距離公式【備考復(fù)習(xí)建議】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、點(diǎn)到直線距離公式6.C【解析】設(shè)，由，則，由在直線上，故，化簡得，即軌跡為為直線且與直線平行，上的點(diǎn)到的距離，故A、B、D錯誤，C正確.【點(diǎn)評】將軌跡方程、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、直線與直線的位置關(guān)系、兩條平行直線間的距離公式等知識綜合起來，考查直線與直線的位置關(guān)系、兩條平行直線間的距離公式等基礎(chǔ)知識、基本方法的理解和掌握。該題立足基礎(chǔ)知識，計算量小，強(qiáng)調(diào)知識之間的綜合和應(yīng)用，很好檢測了考生的知識體系和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有良好導(dǎo)向性，發(fā)揮了服務(wù)選才功能。7．已知，則（）A．B．C．1D．【考查目標(biāo)】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式【解題思路】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡，注意定義域【命題考向趨勢】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡【備考復(fù)習(xí)建議】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式靈活運(yùn)用7.A【解析】由題，得，則或，因?yàn)?，所以?【點(diǎn)評】以簡單三角恒等變換公式和同角三角函數(shù)關(guān)系為載體，該題題干簡潔，注重基礎(chǔ)，難度適中，考查考生對基礎(chǔ)知識的理解、掌握及靈活應(yīng)用?！局R鏈接】1.兩角和與差的余弦變形變形2.兩角和與差的正弦變形變形3.兩角和與差的正切；變形：；；.【變式】已知,則（） A. B. C. D.[答案]【解析】因?yàn)?所以,所以,故選.8．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，，則的離心率為（）A．B．2C．D．【考查目標(biāo)】雙曲線離心率與向量的結(jié)合【解題思路】雙曲線與向量的結(jié)合【命題考向趨勢】雙曲線與平面向量有機(jī)結(jié)合【備考復(fù)習(xí)建議】雙曲線與平面向量有機(jī)結(jié)合8.D【解析】由雙曲線的對稱性可知，，有四邊形為平行四邊形，令，則，由雙曲線定義可知，故有，即，即，，，則，即，故，則有，即，即，則，由，故.【點(diǎn)評】以雙曲線為載體，考查雙曲線、向量的基本概念和性質(zhì)。該題深入考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想，強(qiáng)調(diào)對知識的綜合理解和靈活應(yīng)用的能力。試題符合高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求，很好引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)。需要從雙曲線的定義出發(fā)進(jìn)行分析，對直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有一定要求?！局R鏈接】雙曲線的離心率專題求離心率常用公式公式1：e=公式2:公式3:已知雙曲線方程為兩焦點(diǎn)分別為,設(shè)焦點(diǎn)三角形,則e=證明,由正弦定理得：由等比定理得：即e公式4:以雙曲線的兩個焦點(diǎn)、及雙曲線上任意一點(diǎn)除實(shí)軸上兩個端點(diǎn)外)為頂點(diǎn)的,則離心率e=證明：由正弦定理，有即e公式5:點(diǎn)是雙曲線焦點(diǎn)，過弦$AB$與雙曲線焦點(diǎn)所在軸夾角為為直線AB斜率，,則e當(dāng)曲線焦點(diǎn)在軸上時，e注或者而不是或二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．曲線的對稱軸為C．在區(qū)間單調(diào)遞增D．的最小值為-2【考查目標(biāo)】三角函數(shù)化簡、三角函數(shù)圖像性質(zhì)【解題思路】三角函數(shù)化簡再結(jié)合圖象分析【命題考向趨勢】三角函數(shù)的圖象性質(zhì)【備考復(fù)習(xí)建議】三角函數(shù)圖象性質(zhì)靈活運(yùn)用9.AC【解析】，即，對于A，，易知為偶函數(shù)，所以A正確；對于B，對稱軸為，故B錯誤；對于C，，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增，故C正確；對于D，，則，所以，故D錯誤；故選：AC10．已知復(fù)數(shù)均不為0，則（）A．B．C．D．10.BCD【考查目標(biāo)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共輒復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的?！窘忸}思路】靈活運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共輒復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模解決問題【命題考向趨勢】較復(fù)雜的復(fù)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算【備考復(fù)習(xí)建議】靈活掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模、共輒復(fù)數(shù)【解析】設(shè)、；對A：設(shè)，則，，故A錯誤；對B：，又，即有，故B正確；對C：，則，，，則，即有，故C正確；對D：，，故，故D正確.【點(diǎn)評】以復(fù)數(shù)為載體，考查復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模的概念及復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)對高中數(shù)學(xué)基本概念、基本運(yùn)算的掌握，體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)對復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)的要求，較好引導(dǎo)復(fù)數(shù)教學(xué)，考查學(xué)生邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力。【知識鏈接】1.復(fù)數(shù)的定義形如形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部，為虛數(shù)單位且規(guī)定.要點(diǎn)詮釋：（1）因?yàn)閷?shí)數(shù)可寫成，所以實(shí)數(shù)一定是復(fù)數(shù)；（2）復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合叫復(fù)數(shù)集，記為2.虛數(shù)單位的周期性計算得計算得,繼續(xù)計算可知具有周期性,且最小正周期為4,故有如下性質(zhì)：(1);(2).3.復(fù)數(shù)核心運(yùn)算1.運(yùn)算律：1.運(yùn)算律：2.模的性質(zhì):.3.重要結(jié)論：(1)(2);(3)或.11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則（）A．B．C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)是減函數(shù)【考查目標(biāo)】抽象函數(shù)性質(zhì)【解題思路】特殊值帶入尋找解題路徑【命題考向趨勢】抽象函數(shù)變化【備考復(fù)習(xí)建議】理清抽象函數(shù)的特點(diǎn)屬性11.ABD【解析】令、，則有，又，故，即，令、，則有，即，由，可得，又，故，故A正確；令，則有，即，故函數(shù)是奇函數(shù)，有，即，即函數(shù)是減函數(shù)，令，有，故B正確、C錯誤、D正確.【點(diǎn)評】解答過程應(yīng)該是由題目條件得到f(0)=?1，再進(jìn)一步得到f(-1/2)=0，由此導(dǎo)出f(x-1/2)的表達(dá)式，最后得到f(x)的表達(dá)式。有關(guān)抽象函數(shù)的試題很多都是在奇偶性、周期性的基礎(chǔ)上設(shè)計，類似題目多了難以避開程式化的誤區(qū)。第11題設(shè)計新穎，敘述簡潔，選項(xiàng)設(shè)置符合題目內(nèi)在邏輯，且形式優(yōu)美對稱，是試題規(guī)范性的極好示例?！局R鏈接】1.周期概念理解1.定義:設(shè)的定義城為,若對,存在一個非零常數(shù),有,則稱函數(shù)是一個周期函數(shù),稱為的一個周期.2.若是一個周期函數(shù),則,那么,即也是的一個周期,進(jìn)而可得也是的一個周期.3.最小正周期:若為的一個周期,也是的一個周期,則在某些周期函數(shù)中,往往存在周期中最小的正數(shù),稱為最小正周期.然而并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期,比如常值函數(shù)就沒有最小正周期.2.常見周期性結(jié)論函數(shù)周期性的一些結(jié)論序號函數(shù)式滿足關(guān)系()周期(1)(2)(3)(4)(5)或(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知集合，若，則的最小值為__________．【考查目標(biāo)】集合交集運(yùn)算、不等式【解題思路】集合交集運(yùn)算、不等式【命題考向趨勢】集合相關(guān)運(yùn)算【備考復(fù)習(xí)建議】靈活掌握集合相關(guān)運(yùn)算12.【解析】由，故，由，得，故有，即，即，即的最小值為.【點(diǎn)評】將集合、不等式、最值等知識有機(jī)結(jié)合起來，不僅考查了考生對集合的表示方法、集合的交集運(yùn)算性質(zhì)、集合間的關(guān)系、絕對值不等式等基礎(chǔ)知識的掌握情況，而且考查了數(shù)學(xué)中重要的分類和數(shù)形結(jié)合思想。該題題面簡潔，內(nèi)涵豐富，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系與融合?！局R鏈接】1.集合技巧全攻略交集并集補(bǔ)集2.集合的互異性對于一個給定的集合,它的任意兩個元素是不能相同的.凡是出現(xiàn)含參數(shù)的集合,必須首先考慮集合的互異性,即集合中元蘇不相等,例如集合,則有3.集合相等對于兩個集合與,如果,且,那么集合與相等,記作.4.集合子集個數(shù)真子集有個,非空真子集有個.5.子集與交集若,則;若,則.6.子集與并集若,則;若,則.7.子集與空集題目中若有條件,則應(yīng)分和兩種情況進(jìn)行討論.8.并集與空集由于,因此,中的可以為.9.反演律（德摩根定律)(交的補(bǔ)等于補(bǔ)的并)（并的補(bǔ)等于補(bǔ)的交）10.容斥原理用表示集合中的元素個數(shù)(有資料中用或其他符號)，則通過維恩圖可理解其具備的二維運(yùn)算性質(zhì).已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球的直徑相等，則圓錐的體積與球的體積的比值是__________，圓錐的衣而積與球的表面積的比值是__________．【考查目標(biāo)】圓錐軸截面概念、圓錐表面積、體積公式、球體表面積、體積公式【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件建立等量關(guān)系【命題考向趨勢】圓錐軸截面概念、表面積、體積公式，球體體積、表面積公式【備考復(fù)習(xí)建議】球體、錐體表面積、體積公式運(yùn)用13.答案：①.②.【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，球的半徑為，因?yàn)閳A錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高，母線，由題可知：，所以球的半徑所以圓錐的體積為，球的體積，所以；圓錐的表面積，球的表面積，所以，【點(diǎn)評】以圓錐和球?yàn)檩d體，考查簡單幾何體的體積和表面積公式等基礎(chǔ)知識。該題背景熟悉，計算量不大，要求考生能在已有知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行推理、運(yùn)算，融合考查了空間想象、邏輯思維、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力?！局R鏈接】1.多面體的表面積和體積公式名稱側(cè)面積全面積體積棱柱棱柱直截面周長或直棱柱棱錐棱錐各側(cè)面面積之和正棱錐棱臺棱臺各側(cè)面面積之和正棱臺要點(diǎn)詮釋：表中表示面積，分別表示上、下底面周長，表示高，表示斜高，表示側(cè)棱長2.旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積公式名稱側(cè)面積全面積體積圓柱（即）圓錐圓臺球要點(diǎn)詮釋表中分別表示母線、高，表示圓柱圓錐的底面半徑，分別表示圓臺的上下底面半徑，表示球的半徑.3.公式法柱體的體積公式：錐體的體積公式：臺體的體積公式：球的體積：5.正四面體與球的組合正四面體的棱長為，它的高為，體積為，外接球半徑為，內(nèi)接半徑為.6.表面積和體積最值問題1.求棱長或高為定值的幾何體的體積或表面積的最值.2.求表面積一定的空間幾何體的體積最大值和求體積一定的空間幾何體的表面積的最小值.3.組合體中的最值問題一般思路：(1)根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和體積、表面積的計算公式，將體積或表面積的最值轉(zhuǎn)化為平面圖形中的有關(guān)最值，根據(jù)平面圖形的有關(guān)結(jié)論直接進(jìn)行判斷；(2)利用基本不等式或建立關(guān)于表面積和體積的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)或者導(dǎo)數(shù)方法解決.以表示數(shù)集中最大的數(shù)．設(shè)，已知或，則的最小值為__________．14.或0.2【考查目標(biāo)】不等式【解題思路】最大值變量中的最小值辯證關(guān)【命題考向趨勢】不等式的靈活運(yùn)用【備考復(fù)習(xí)建議】注重概念深層次理解?！窘馕觥苛钇渲?，所以，若，則，故，令，因此,故,則，若，則，即，，則,故,則，當(dāng)時，等號成立，綜上可知的最小值為，故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直．（1）求；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．【考查目標(biāo)】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)【解題思路】導(dǎo)數(shù)、切線、直線斜率垂直條件、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、極值【命題考向趨勢】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，求單調(diào)性、極值【備考復(fù)習(xí)建議】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、極值【知識鏈接】1.導(dǎo)數(shù)的符號與丞數(shù)的單調(diào)性一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則在這個區(qū)間上，（1）若f'（x）>0，則f（x）在這個區(qū)間上為增函數(shù)；（2）若f'（x）<0，則f（x）在這個區(qū)間上為減函數(shù)；（3）若恒有f'（x）=0，則f（x）在這一區(qū)間上為常函數(shù).反之，若f（x）在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有f'（x）≥0恒成立（但不恒等于0）；若f（x）在某區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有f'（x）≤0恒成立（但不恒等于0）.要點(diǎn)詮釋：（1）因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率，故當(dāng)在某區(qū)間上，即切線斜率為正時，函數(shù)在這個區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)在某區(qū)間上，即切線斜率為負(fù)時，函數(shù)在這個區(qū)間上為減函數(shù)；即導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)的增減.（2）若在某區(qū)間上有有限個點(diǎn)使，在其余點(diǎn)恒有，則仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似），即在某區(qū)間上，在這個區(qū)間上為增函數(shù)：在這個區(qū)間上為減函數(shù)，但反之不成立.（3）在某區(qū)間上為增函數(shù)在該區(qū)間在某區(qū)間上為減函數(shù)在該區(qū)間.在區(qū)間內(nèi)，（或是在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（或減）的充分不必要條件.（4）只有在某區(qū)間內(nèi)恒有，這個函數(shù)在這個區(qū)間上才為常數(shù)函數(shù).2.函數(shù)的極值一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義.（1）若對附近的所有點(diǎn)，都有，則稱函數(shù)在處取極大值，記作y極大=，并把稱為函數(shù)的一個極大值點(diǎn).（2）若對附近的所有點(diǎn)，都有，則稱函數(shù)在處取極小值，記作y極小=，并把稱為函數(shù)的一個極小值點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：在函數(shù)的極值定義中，一定要明確函數(shù)在及其附近有定義，否則無從比較.函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的，是一個局部概念；在函數(shù)的整個定義域內(nèi)可能有多個極值，也可能無極值.由定義知道，極值只是某個點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小.極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系.一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，極小值不一定是整個定義區(qū)間上的最小值.函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn).而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn).3.函數(shù)的最值若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值；在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值.要點(diǎn)詮釋:函數(shù)的最值點(diǎn)必在函數(shù)的極值點(diǎn)或者區(qū)間的端點(diǎn)處取得；函數(shù)的極值可以有多個，但最值只有一個.4.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法第一步:確定函數(shù)的定義域；第二步:求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)根；第三步:把函數(shù)在間斷點(diǎn)即的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；第四步:確定在各個小區(qū)間的符號，根據(jù)的符號判斷函數(shù)在每個相應(yīng)小區(qū)間的增減性.要點(diǎn)詮釋:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用不等式表示，必須寫成區(qū)間形式；當(dāng)一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個時，這些單調(diào)區(qū)間不能用“”連接，可用“，”或“和”連接.15.（1），則，由題意可得，解得；（2）由，故，則，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為、，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故有極大值，有極小值.【點(diǎn)評】查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，近幾年數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷未曾以這方面知識作為第一個解答題的考查內(nèi)容，測試卷在這方面打破了常規(guī)。16．（15分）盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4的小球各2個，隨機(jī)一次取出3個小球．（1）求取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；（2）記取出的3個小球上的最小數(shù)字為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【考查目標(biāo)】隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望【解題思路】利用組合數(shù)求概率、再求數(shù)學(xué)期望【命題考向趨勢】隨機(jī)變量的分布列【備考復(fù)習(xí)建議】靈活掌握隨機(jī)變量的分布列16.（1）記“取出的個小球上的數(shù)字兩兩不同”為事件，先確定個不同數(shù)字的小球，有種方法，然后每種小球各取個，有種取法，所以.由題意可知，的可取值為1,2，3.當(dāng)時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為的小球、有兩個數(shù)字為的小球，所以；當(dāng)時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為的小球、有兩個數(shù)字為的小球，所以；當(dāng)時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為的小球、有兩個數(shù)字為的小球，所以，所以的分布列為：所以.【點(diǎn)評】情境設(shè)置較為新穎，相比常見概率試題有所創(chuàng)新17．（15分）如圖，平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，為與的交點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．17.解：（1）連接，因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的正方形，所以，又因，，所以，所以，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，所以，在中，，所以，則，又，平面，平面，所以平面.（2）由題知正方形中，平面，所以建系如圖所示，則，則，，設(shè)面的法向量為，面的法向量為，則，，設(shè)二面角大小為，則，所以二面角的正弦值為.【點(diǎn)評】以正方形為上、下底面和以平行四邊形為側(cè)面構(gòu)建平行六面體，著重考查立體幾何中的空間位置關(guān)系和角的度量等基礎(chǔ)知識和基本方法。試題第（2）問既可以用幾何法解答，也可以通過向量坐標(biāo)的方法解答，為考生提供了多種分析問題的思路和解決問題的方法，有效區(qū)分不同層次學(xué)生的思維能力水平，考查了考生的空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，具有較好的選拔功能?！局R鏈接】用向量法求空間角1.求異面直線所成的角(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系;(2)求出兩直線的方向向量，；(3)代入公式.兩異面直線所成角的范圍是,兩向量的夾角的范圍是,當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時,就是該異面直線的夾角;當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為直角時,其補(bǔ)角才是異面直線的夾角.2.求線面角(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角（或其補(bǔ)角）;(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角.3.求二面角(1)分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.(2)分別在二面角的兩個平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.18．（17分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交于兩點(diǎn)，過與垂直的直線交于兩點(diǎn)，其中在軸上方，分別為的中點(diǎn)．（1）證明：直線過定點(diǎn)；（2）設(shè)為直線與直線的交點(diǎn)，求面積的最小值．18.解：（1）由，故，由直線與直線垂直，故兩只直線斜率都存在且不為，設(shè)直線、分別為、，有，、、、，聯(lián)立與直線，即有，消去可得，，故、，則，故，，即，同理可得，當(dāng)時，則，即，由，即，故時，有，此時過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為，當(dāng)時，即時，由，即時，有，亦過定點(diǎn)，故直線過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為；（2）由、、、，則，由、，，同理可得，聯(lián)立兩直線，即，有，即，有，由，同理，故，故，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，則，由、，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，下證：由拋物線的對稱性，不妨設(shè)，則，當(dāng)時，有，則點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)亦在軸上方，有，由直線過定點(diǎn)，此時，同理，當(dāng)時，有點(diǎn)在軸下方，點(diǎn)亦在軸下方，有，故此時，當(dāng)且僅當(dāng)時，，故恒成立，且時，等號成立，故，【點(diǎn)評】以解析幾何中的拋物線為背景，考查拋物線與直線的位置關(guān)系與度量關(guān)系，考查解析幾何的基本思想方法。以拋物線為基本情境，第（1）問的考查內(nèi)容屬于解析幾何中的通性通法，本題看似常規(guī)，但內(nèi)涵深刻，特別是第（2）問，在如何靈活地應(yīng)用平面幾何的基本思想和基本方法將面積問題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化上，試題進(jìn)行了很好的設(shè)計，體現(xiàn)了創(chuàng)新性的考查要求。第（2）問如果仍使用解析幾何的常規(guī)方法，將導(dǎo)致非常復(fù)雜的計算，可行的解法需要將所求三角形的面積轉(zhuǎn)換為一個適合計算的四邊形面積，然后由基本不等式得到解答。這個解法的關(guān)鍵步驟雖然屬于初中數(shù)學(xué)學(xué)過的平面幾何知識內(nèi)容，但對學(xué)科核心素養(yǎng)之一的直觀想象有很高的要求，能綜合運(yùn)用不同的幾何方法解決問題也是學(xué)科核心素養(yǎng)水平的重要體現(xiàn)。試題考查靈活思考問題的能力，突出創(chuàng)新思維，很好達(dá)成通過增加思維強(qiáng)度來選拔拔尖創(chuàng)新人才的考查目標(biāo)。19．（17分）離散對數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)是素數(shù)，集合，若，記為除以的余數(shù)，為除以的余數(shù)；設(shè)，兩兩不同，若，則稱是以為底的離散對數(shù)，記為．（1）若，求；（2）對，記為除以的余數(shù)（當(dāng)能被整除時，）．證明：，其中；（3）已知．對，令．證明：．本題考查：密碼學(xué)中有重要應(yīng)用的離散對數(shù)，重點(diǎn)考查考生數(shù)學(xué)閱讀、獨(dú)立思考、邏輯推理、數(shù)學(xué)表達(dá)等關(guān)鍵能力。19.解：（1）若，又注意到，所以.（2）當(dāng)時，此時，此時，，故，此時.當(dāng)時，因相異，故，而，故互質(zhì).設(shè)記，則，使得，故，故，設(shè)，則，因?yàn)槌缘挠鄶?shù)兩兩相異，且除以的余數(shù)兩兩相異，故，故，故，而其中，故即.（3）當(dāng)時，由（2）可得，若，則也成立.因?yàn)椋?另一方面，.由于，所以.【點(diǎn)評】引入在密碼學(xué)中的離散對數(shù)，重點(diǎn)考查考生數(shù)學(xué)閱讀、獨(dú)立思考、邏輯推理、數(shù)學(xué)表達(dá)等關(guān)鍵能力。在題干中給出“離散指數(shù)”“離散對數(shù)”既熟悉又陌生的概念以后，第（1）問旨在讓考生熟悉“離散指數(shù)”的概念；第（2）問請考生證明普通對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)log（bc）=logb+logc在“離散對數(shù)”情形的一個類似；第（3）問進(jìn)一步證明“離散對數(shù)”的一個性質(zhì)（這時應(yīng)假設(shè)p＞2）。試題任務(wù)所驅(qū)動的不是單純的舊知識記憶和理解，而是關(guān)注了新概念的引入、理解、探究和表達(dá)。試題情境是在密碼學(xué)理論中有重要地位的蓋莫爾（