中考數(shù)學模擬試題匯編 點直線與圓的位置關系全套

【文庫獨家】點直線與圓的位置關系一.選擇題1.（河南三門峽·二模）如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點C，連接BC，若∠ABC=120°，OC=3，則的長為()A．π B．2π C．3π D．5π答案：B2.（河南三門峽·一模）如圖，⊙O的半徑為１，正方形ABCD的對角線長為6，OA=4．若將⊙O繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)360°，在旋轉(zhuǎn)過程中，⊙O與正方形ABCD的邊只有一個公共點的情況一共出現(xiàn)()A.3次B.4次C.5次D.6次答案：B3.（湖南省岳陽市十二校聯(lián)考·一模）如下圖，已知⊙O的直徑為AB，AC⊥AB于點A，BC與⊙O相交于點D，在AC上取一點E，使得ED=EA．下面四個結(jié)論：①ED是⊙O的切線；②BC=2OE；③△BOD為等邊三角形；④△EOD∽△CAD正確的是（）A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④【考點】切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】如圖，通過證明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°，易證得ED是⊙O的切線；證得OE是△ABC的中位線，證得BC=2OE，由OE∥BC，證得∠AEO=∠C，通過三角形全等證得∠DEO=∠C，∠ODE=∠OAE=90°，從而∠ODE=∠ADC=90°，從而證得△EOD∽△CAD．【解答】證明：如圖，連接OD．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．在△AOE與△DOE中，，∴△AOE≌△DOE（SSS），∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．又∵OD是⊙O的半徑，∴ED是⊙O的切線；∵AB是直徑，∴AD⊥BC，∴∠DAE+∠C=90°，∵AE=DE，∴∠DAE=∠ADE，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC=∠C，∴DE=EC，∴AE=EC，∵OA=OB，∴OE∥BC，BC=2OE，∴∠AEO=∠C，∵△AOE≌△DOE，∴∠DEO=∠C，∠ODE=∠OAE=90°，∴∠ODE=ADC=90°，∴△EOD∽△CAD．∴正確的①②④，故選C．【點評】本題考查了切線的判定，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)以及三角形相似的判定等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關鍵．4.（黑龍江大慶·一模）下列命題：①等腰三角形的角平分線平分對邊；②對角線垂直且相等的四邊形是正方形；③正六邊形的邊心距等于它的邊長；④過圓外一點作圓的兩條切線，其切線長相等．其中真命題有（）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個答案：A5.（黑龍江齊齊哈爾·一模）如圖，⊙O的直徑AB=2，點D在AB的延長線上，DC與⊙O相切于點C，連接AC.若∠A=30°，則CD長為()A.B.C.D.答案：D6.(浙江杭州蕭山區(qū)·模擬)在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點（sin45°，cos30°）的直線，與以原點為圓心，2為半徑的圓的位置關系是（）A．相交 B．相切C．相離 D．以上三者都有可能【考點】直線與圓的位置關系；坐標與圖形性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值．【分析】設直線經(jīng)過的點為A，若點A在圓內(nèi)則直線和圓一定相交；若點在圓上或圓外則直線和圓有可能相交或相切或相離，所以先要計算OA的長和半徑2比較大小再做選擇．【解答】解：設直線經(jīng)過的點為A，∵點A的坐標為（sin45°，cos30°），∴OA==，∵圓的半徑為2，∴OA＜2，∴點A在圓內(nèi)，∴直線和圓一定相交，故選A．【點評】本題考查了直線和圓的位置關系，用到的知識點有特殊角的銳角三角函數(shù)值、勾股定理的運用，判定點A和圓的位置關系是解題關鍵．7.（2016青島一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以點C為圓心，4為半徑的⊙C與AB相切于點D，交CA于E，交CB于F，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C．16﹣4π D．16﹣2π【考點】扇形面積的計算；切線的性質(zhì)．【分析】利用切線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出DC、BC的長，再利用勾股定理得出AC的長，進而得出答案．【解答】解：連接CD，∵⊙C與AB相切于點D，∴∠CDB=90°，由題意可得：DC=4，則BC=2×4=8，設AC=x，則AB=2x，故x2+82=（2x）2，解得：x=，∴S△ABC=××8=，故圖中陰影部分的面積為：﹣S扇形CEF=﹣=﹣4π．故選：A．8.（2016泰安一模）如圖，AB切⊙O于點B，OA=2，AB=3，弦BC∥OA，則劣弧BC的弧長為（）A． B． C．π D．【考點】弧長的計算；切線的性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值．【專題】計算題；壓軸題．【分析】連OB，OC，由AB切⊙O于點B，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB⊥AB，在Rt△OBA中，OA=2，AB=3，利用三角函數(shù)求出∠BOA=60°，同時得到OB=OA=，又根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BOA=∠CBO=60°，于是有∠BOC=60°，最后根據(jù)弧長公式計算出劣弧BC的長．【解答】解：連OB，OC，如圖，∵AB切⊙O于點B，∴OB⊥AB，在Rt△OBA中，OA=2，AB=3，sin∠BOA===，∴∠BOA=60°，∴OB=OA=，又∵弦BC∥OA，∴∠BOA=∠CBO=60°，∴△OBC為等邊三角形，即∠BOC=60°，∴劣弧BC的弧長==．故選：A．9.(重慶銅梁巴川·一模）如圖，已知AB是⊙O的切線，點A為切點，連接OB交⊙O于點C，∠B=38°，點D是⊙O上一點，連接CD，AD．則∠D等于（）A．76° B．38° C．30° D．26°【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAB=90°，再利用互余計算出∠AOB=52°，然后根據(jù)圓周角定理求解．【解答】解：∵AB是⊙O的切線，∴OA⊥AB，∴∠OAB=90°，∵∠B=38°，∴∠AOB=90°﹣38°=52°，∴∠D=∠AOB=26°．故選D．10.(山東棗莊·模擬)如圖，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以點C為圓心的圓與AB相切，則⊙C的半徑為（）A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6【考點】切線的性質(zhì)；勾股定理的逆定理．【分析】首先根據(jù)題意作圖，由AB是⊙C的切線，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根據(jù)勾股定理求得AB的長，然后由S△ABC=AC?BC=AB?CD，即可求得以C為圓心與AB相切的圓的半徑的長．【解答】解：在△ABC中，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，∴∠C=90°，如圖：設切點為D，連接CD，∵AB是⊙C的切線，∴CD⊥AB，∵S△ABC=AC?BC=AB?CD，∴AC?BC=AB?CD，即CD===，∴⊙C的半徑為，故選B．【點評】此題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，以及直角三角形斜邊上的高的求解方法．此題難度不大，解題的關鍵是注意輔助線的作法與數(shù)形結(jié)合思想的應用．11.（江蘇常熟·一模）⊙O的半徑為4，圓心O到直線l的距離為3，則直線l與⊙O的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【考點】直線與圓的位置關系．【分析】圓心O到直線l的距離d=3，而⊙O的半徑R=4．又因為d＜R，則直線和圓相交．【解答】解：∵圓心O到直線l的距離d=3，⊙O的半徑R=4，則d＜R，∴直線和圓相交．故選A．【點評】考查直線與圓位置關系的判定．要掌握半徑和圓心到直線的距離之間的數(shù)量關系．12.（江蘇省南京市鐘愛中學·九年級下學期期初考試）已知⊙O是以坐標原點O為圓心，5為半徑的圓，點M的坐標為（﹣3，4），則點M與⊙O的位置關系為（）A．M在⊙O上 B．M在⊙O內(nèi) C．M在⊙O外 D．M在⊙O右上方答案：A13.（上海市閘北區(qū)·中考數(shù)學質(zhì)量檢測4月卷）若與相交于兩點，且圓心距cm，則下列哪一選項中的長度可能為此兩圓的半徑？…（▲）（A）1cm、2cm；（B）2cm、3cm；（C）10cm、15cm；（D）2cm、5cm．答案：D14.（廣東東莞·聯(lián)考）如圖，A點在半徑為2的⊙O上，過線段OA上的一點P作直線l，與⊙O過A點的切線交于點B，且∠APB=60°，設OP=x，則△PAB的面積y關于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【考點】動點問題的函數(shù)圖象．【分析】根據(jù)已知得出S與x之間的函數(shù)關系式，進而得出函數(shù)是二次函數(shù)，當x=﹣=2時，S取到最小值為：=0，即可得出圖象．【解答】解：∵A點在半徑為2的⊙O上，過線段OA上的一點P作直線l，與⊙O過A點的切線交于點B，且∠APB=60°，∴AO=2，OP=x，則AP=2﹣x，∴tan60°==，解得：AB=（2﹣x）=﹣x+2，∴S△ABP=×PA×AB=（2﹣x）??（﹣x+2）=x2﹣2x+2，故此函數(shù)為二次函數(shù)，∵a=＞0，∴當x=﹣=2時，S取到最小值為：=0，根據(jù)圖象得出只有D符合要求．故選：D．【點評】此題主要考查了動點函數(shù)的圖象，根據(jù)已知得出S與x之間的函數(shù)解析式是解題關鍵．二.填空題1.（吉林長春朝陽區(qū)·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，連結(jié)OC，過點C的切線交BA的延長線于點D，若OC=CD=2，則的長是．（結(jié)果保留π）【考點】切線的性質(zhì)；弧長的計算．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)和OC=CD證得△OCD是等腰直角三角形，證得∠COB=135°，然后根據(jù)弧長公式求得即可．【解答】解：∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∵OC=CD=2，∴△OCD是等腰直角三角形，∴∠COD=45°，∴∠COB=135°，∴的長==．故答案為．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，弧長的計算等，切線的性質(zhì)的應用是解題的關鍵．2.（河北石家莊·一模）如圖，P是雙曲線y=（x＞0）的一個分支上的一點，以點P為圓心，1個單位長度為半徑作⊙P，當⊙P與直線y=3相切時，點P的坐標為（1，4）或（2，2）．【考點】反比例函數(shù)綜合題．【分析】利用切線的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出，P點的坐標應該有兩個求出即可；【解答】解：（1）設點P的坐標為（x，y），∵P是雙曲線y=（x＞0）的一個分支上的一點，∴xy=k=4，∵⊙P與直線y=3相切，∴p點縱坐標為：2，∴p點橫坐標為：2，∵⊙P′與直線y=3相切，∴p點縱坐標為：4，∴p點橫坐標為：1，∴x=1或2，P的坐標（1，4）或（2，2）；故答案為：（1，4）或（2，2）；【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)和直線與圓的位置關系，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是解題關鍵．3.（黑龍江齊齊哈爾·一模）若圓錐的主視圖為等腰直角三角形，底面半徑為1，則圓錐側(cè)面積為____________．答案：4.(山東棗莊·模擬)小明把半徑為1的光盤、直尺和三角尺形狀的紙片按如圖所示放置于桌面上，此時，光盤與AB，CD分別相切于點N，M．現(xiàn)從如圖所示的位置開始，將光盤在直尺邊上沿著CD向右滾動到再次與AB相切時，光盤的圓心經(jīng)過的距離是．【考點】切線的性質(zhì)；軌跡．【專題】應用題；壓軸題．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到OH=PH，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出PH的長，得到答案．【解答】解：如圖，當圓心O移動到點P的位置時，光盤在直尺邊上沿著CD向右滾動到再次與AB相切，切點為Q，∵ON⊥AB，PQ⊥AB，∴ON∥PQ，∵ON=PQ，∴OH=PH，在Rt△PHQ中，∠P=∠A=30°，PQ=1，∴PH=，則OP=，故答案為：．5.(上海浦東·模擬)已知：⊙O1、⊙O2的半徑長分別為2和R，如果⊙O1與⊙O2相切，且兩圓的圓心距d=3，則R的值為1或5【點評】本題考查的是直線與圓相切的知識，掌握圓的切線垂直于過切點的半徑是解題的關鍵.6.（江蘇丹陽市丹北片·一模）如圖，已知⊙P的半徑為1，圓心P在拋物線上運動，當⊙P與軸相切時，圓心P的坐標為．答案：,（0，-1）7.（江蘇丹陽市丹北片·一模）如圖是一塊學生用直角三角板，其中∠A′=30°，三角板的邊框為透明塑料制成(內(nèi)、外直角三角形對應邊互相平行且三處所示寬度相等)．將直徑為4cm的⊙O移向三角板，三角板的內(nèi)ABC的斜邊AB恰好等于⊙O的直徑，它的外△A′B′C′的直角邊A′C′恰好與⊙O相切(如圖2)，則邊B′C′的長為cm．圖1圖1圖2答案：3+8.（江蘇省南京市鐘愛中學·九年級下學期期初考試）如圖，點O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，若∠BAC=80°，則∠BOC=（填度數(shù)）．答案：130°9.（上海市閘北區(qū)·中考數(shù)學質(zhì)量檢測4月卷）在平面直角坐標系中，⊙C的半徑為r，點P是與圓C不重合的點，給出如下定義：若點為射線CP上一點，滿足，則稱點為點P關于⊙C的反演點．如圖為點P及其關于⊙C的反演點的示意圖．寫出點M(，0)關于以原點O為圓心，1為半徑的⊙O的反演點的坐標▲．xxyP'CPO答案：（2，0）；三.解答題1.（河南洛陽·一模）（9分）如圖8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以點A為圓心，AC為半徑，作☉A，交AB于點D，交CA的延長線于點E，過點E作A.B的平行線EF交OA于點F，連接AF，BF，DF.(l)求證：△ABC≌△ABF;(2)填空：①當∠CAB=°時，四邊形ADFE為菱形；②在①的條件下，BC=cm時，四邊形ADFE的面積是6cm2.（1）證明：∵EF∥AB，∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，∵∠E=∠EFA，∴∠FAB=∠CAB，…………..3在△ABC和△ABF中，∴△ABC≌△ABF(SAS)；…………….…….5（2）①60°，②6………….92.（遼寧丹東七中·一模）（10分）如圖，為半圓的直徑，點C在半圓上，過點作的平行線交于點，交過點的直線于點，且.（1）求證：是半圓O的切線；（2）若，，求的長（1）證明：∵為半圓的直徑，∴又∵∥，∴，∴.∵，∴.∴半徑OA⊥AD于點A，∴是半圓O的切線.（2）解：∵在⊙O中，于E，∴.在中，，.∵，∴∽：∴,∴∴3.（湖南湘潭·一模）（本小題10分）如圖，已知是的直徑，點在上，過點的直線與的延長線交于點，，．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）點是弧AB的中點，交于點，若，求MN·MC的值．OONBPCAMONBPCONBPCAM又∵．又∵是的直徑，，，即，而是的半徑，是的切線．（2）∵，，又∵，．（3）連接，∵點是弧AB的中點，，而，，，∴MN·MC=BM2，又∵是的直徑，AM=BM，．∵，∴MN·MC=BM2=84.（河大附中·一模）(本題滿分9分)如圖(1)，線段AB=4，以線段AB為直徑畫☉O，C為☉O上的動點，連接OC，過點A作☉O的切線與BC的延長線交于點D，E為AD的中點，連接CE．(1)求證：CE是☉O的切線；第1題(2)①當CE=時，四邊形AOCE為正方形？②當CE=時，△CDE為等邊三角形時？解：（1）連結(jié)AC、OE∵AB為直徑∴∠ACB=∠ACD=90°∵E為AD中點∴EA=EC∵OC=OA,OE=OC∴△OCE≌△OAE∴∠OCE=∠OAE=90°∴CE是☉O的切線（2）①2②5.（黑龍江大慶·一模）（本題9分）如圖，直徑為10的半圓O，tan∠DBC=，∠BCD的平分線交⊙O于F，E為CF延長線上一點，且∠EBF=∠GBF．（1）求證：BE為⊙O切線；（2）求證：；（3）求OG的值．答案：證明：（1）由同弧所對的圓周角相等得∠FBD=∠DCF，又∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF，已知∠EBF=∠GBF，∴∠EBF=∠∠BCF，∵BC為⊙O直徑，∴∠BFC=90°，∴∠FBC+∠FCB=90°，∴∠FBC+∠EBF=90°，∴BE⊥BC，∴BE為⊙O切線； 3分（2）證明：由（1）知∠BFC=∠EBC=90°，∠EBF=∠ECB，∴△BEF∽△CEB，∴，又∠EBF=∠GBF，BF⊥EG，∴△BEF≌△BGF，∴BE=BG，EF=FG，∴； 6分（3）如圖，過G作GH⊥BC于H，由已知CF平分∠BCD得GH=GD，又由tan∠DBC=得sin∠DBC=，∵BC=10，∴BD=8，BG=BD-GD=8-GD，∴，∴GD=GH=3，BG=5，BH=4，∵BC=10，∴OH=OB-BH=1，在Rt△OGH中，由勾股定理得OG=． 9分6.（湖北襄陽·一模）（本題滿分7分）如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB，垂足為E，且PC2=PE·PO.（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若OE︰EA=1︰2，PA=6，求⊙O的半徑；答案：（1）連結(jié)OC.∵PC2=PE·PO，∴.∠P=∠P.∴△PCE∽△POC，…………2分∴∠PEC=∠PCO.又∵CD⊥AB，∴∠PEC=90°，∴∠PCO=90°.…………3分∴PC是⊙O的切線.…………4分（2）設OE=.∵OE︰EA=1︰2，EA=，OA=OC=，∴OP=+6.又∵CE是高，∴Rt△OCE∽Rt△OPC,.………………5分∴OC2=OE·OP.即………6分∴，（不合題意，舍去）.故OA=3.…………7分7.(浙江麗水·模擬)（本題8分）已知：如圖，⊙O的半徑OC垂直弦AB于點H，連接BC，過點A作弦AE∥BC，過點C作CD∥BA交EA延長線于點D，延長CO交AE于點F．（1）求證：CD為⊙O的切線；（2）若BC=10，AB=16，求OF的長．解：（1）∵OC⊥AB，AB∥CD∴OC⊥DC.∴∠DCF=Rt∠.∴CD是⊙O的切線.（2）連結(jié)B0.設OB=x∵直徑AB=16OC⊥AB∴HA=BH=8.∵BC=10∴CH=6.∴OH=x-6.由勾股定理得解得∵CB∥AE∴∠CBA=∠BAE，∠HCB=∠HFA又∵AH=BH△CHB≌△FHA∴CF=2CH=12x(h)y(km)09x(h)y(km)09183608.(浙江金華東區(qū)·4月診斷檢測（本題滿分10分）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC邊于點D，過點D作⊙O的切線交BC于E，連結(jié)DE交OC于點F，OF=CF，連結(jié)OD、OE．（1）求證：△ODE≌△OBE；（2）求證：四邊形ODCE為平行四邊形；（3）求tan∠ACO的值．CCDFEAOB答案：（1）略（4分）；（2）略（4分）；（3）（2分）9.（2016泰安一模）如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線，交BA的延長線于點D，取CD的中點E，AE的延長線與BC的延長線交于點P．（1）求證：AP是⊙O的切線；（2）若OC=CP，AB=3，求CD的長．【考點】切線的判定與性質(zhì)．【分析】（1）先由圓周角定理得出∠BAC=90°，再由斜邊上的中線性質(zhì)得出AE=CD=CE=DE，由CD是切線得出CD⊥OC，即可得出OA⊥AP，周長結(jié)論；（2）先證明△AOC是等邊三角形，得出∠ACO=60°，再在Rt△BAC和Rt△ACD中，運用銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：連結(jié)AO，AC；如圖所示：∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=90°，∵E是CD的中點，∴AE=CD=CE=DE，∴∠ECA=∠EAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵CD是⊙O的切線，∴CD⊥OC，∴∠ECA+∠OCA=90°，∴∠EAC+∠OAC=90°，∴OA⊥AP，∵A是⊙O上一點，∴AP是⊙O的切線；（2）解：由（1）知OA⊥AP．在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，∴sinP==；∴∠P=30°，∴∠AOP=60°，∵OC=OA，∴△AOC是等邊三角形，∴∠ACO=60°，在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=3，∠ACO=60°，∴AC===3，又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°﹣∠ACO=30°，∴CD===2．10.（2016棗莊41中一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，⊙P的圓心P為（﹣3，a），⊙P與y軸相切于點C．直線y=﹣x被⊙P截得的線段AB長為4，則過點P的雙曲線的解析式為y=﹣．【考點】切線的性質(zhì)；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；垂徑定理．【專題】計算題．【分析】作PH⊥x軸于H，交直線y=﹣x于E，作PD⊥AB于D，連結(jié)PC、PA，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得PC⊥y軸，則PC=PA=OH=3，再根據(jù)垂徑定理，由PD⊥AB得AD=BD=AB=2，則可根據(jù)勾股定理計算出PD=1，接著利用直線y=﹣x為第二、四象限的角平分線可判斷△HOB和△PDE都為等腰直角三角形，所以EH=OH=3，PE=PD=，則P（﹣3，+3），然后利用待定系數(shù)法求過點P的雙曲線的解析式．【解答】解：作PH⊥x軸于H，交直線y=﹣x于E，作PD⊥AB于D，連結(jié)PC、PA，如圖，∵⊙P與y軸相切于點C，∴PC⊥y軸，而P（﹣3，a），∴PC=3，即⊙P的半徑為3，∴PA=OH=3，∵PD⊥AB，∴AD=BD=AB=×4=2，在Rt△PAD中，PD===1，∵直線y=﹣x為第二、四象限的角平分線，∴∠HOB=45°，易得△HOB和△PDE都為等腰直角三角形，∴EH=OH=3，PE=PD=，∴PH=PE+EH=+3，∴P（﹣3，+3），設過點P的雙曲線的解析式為y=，把P（﹣3，+3）代入得k=﹣3（+3）=﹣3﹣9，∴過點P的雙曲線的解析式為y=﹣．故答案為y=﹣．11.（天津北辰區(qū)·一摸）（本小題10分）已知四邊形是平行四邊形，且以為直徑的⊙經(jīng)過點.（Ⅰ）如圖（1），若，求證：與⊙相切；（Ⅱ）如圖（2），若，，⊙交邊于點，交邊延長線于點，求，的長；圖圖（2）DBCFAEO圖（1）DBCAO第1題圖（1）DB圖（1）DBCAO∵∠A=45°，∴∠BOD=90°.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD.∴∠CDO+∠BOD=180°.∴∠CDO=∠BOD=90°.∴CD與⊙O相切.…5分DBCFAEO圖（2DBCFAEO圖（2）∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB=90°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBD=90°.∴DE是⊙O直徑.∴DE=AB=CD=10.∴BE=BC=AD=6.…7分在Rt△DEF和Rt△CEF中，，∴.設，則.∴.解得.即.12.（天津南開區(qū)·二模）如圖，已知AB為⊙O的直徑，過⊙O上的點C的切線交AB的延長線于點E，AD⊥EC于點D且交⊙O于點F，連接BC，CF，AC．（1）求證:BC=CF;（2）若AD=6，DE=8，求BE的長;（3）求證:AF+2DF=AB．考點：切線的性質(zhì)與判定答案：見解析試題解析：（1）證明：如圖，連接OC，∵ED切⊙O于點C，∴CO⊥ED，∵AD⊥EC，∴CO∥AD，∴∠OCA=∠CAD，∵∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠CAD，∴=，∴BC=CF；（2）解：在Rt△ADE中，∵AD=6，DE=8，根據(jù)勾股定理得AE=10，∵CO∥AD，∴△EOC∽△EAD，∴=，設⊙O的半徑為r，∴OE=10﹣r，∴=，∴r=，∴BE=10﹣2r=；（3）證明：過C作CG⊥AB于G，∵∠OAC=∠CAD，AD⊥EC，∴CG=CD，在Rt△AGC和Rt△ADC中，∵，∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL），∴AG=AD，在Rt△CGB和Rt△CDF中，∵，∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），∴GB=DF，∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB，AF+DF+DF=AB，∴AF+2DF=AB．

13.（天津市和平區(qū)·一模）已知，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點，過點D的直線EF與⊙O相切，分別交BA，BC的延長線于點E，F(xiàn)，BF⊥EF（I）如圖①，若∠ABC=50°，求∠DBC的大??；（Ⅱ）如圖②，若BC=2，AB=4，求DE的長．【考點】切線的性質(zhì)．【分析】（1）如圖1，連接OD，BD，由EF與⊙O相切，得到OD⊥EF，由于BF⊥EF，得到OD∥BF，得到∠AOD=∠B=50°，由外角的性質(zhì)得到結(jié)果；（2）如圖2，連接AC，OD，根據(jù)AB為⊙O的直徑，得出∠ACB=90°，由直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB=30°，于是AC=AB?cos30°=4×=2，AH=AO?cos30°=2×=，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)解得結(jié)果．【解答】解（1）如圖1，連接OD，BD，∵EF與⊙O相切，∴OD⊥EF，∵BF⊥EF，∴OD∥BF，∴∠AOD=∠B=50°，∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB=∠AOD=25°；（2）如圖2，連接AC，OD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵BC=2，AB=4，∴∠CAB=30°，∴AC=AB?cos30°=4×=2，∵∠ODF=∠F=∠HCO=90°，∴∠DHC=90°，∴AH=AO?cos30°=2×=，∵∠HAO=30°，∴OH=OA=OD，∵AC∥EF，∴DE=2AH=2．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，平行線的性質(zhì)和判定，輔助線的作法是解題的關鍵．14.（天津五區(qū)縣·一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．（1）求證：DC為⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為3，AD=4，求AC的長．【考點】切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明∠DAC=∠OCA，接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可證明直線CD與⊙O相切于C點；（2）連接BC，根據(jù)圓周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．【解答】（1）證明：連接OC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠OAC∴∠DAC=∠OCA∴OC∥AD∵AD⊥CD∴OC⊥CD∴直線CD與⊙O相切于點C；（2）解：連接BC，則∠ACB=90°．∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD?AB，∵⊙O的半徑為3，AD=4，∴AB=6，∴AC=2．【點評】此題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，解題時首先利用切線的判定證明切線，然后利用切線的想這已知條件證明三角形相似即可解決問題．15.(新疆烏魯木齊九十八中·一模)如圖，點A、B、C分別是⊙O上的點，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點，且AP=AC．（1）求證：AP是⊙O的切線；（2）求PD的長．【考點】切線的判定；圓周角定理；解直角三角形．【分析】（1）首先連接OA，由∠B=60°，利用圓周角定理，即可求得∠AOC的度數(shù)，又由OA=OC，即可求得∠OAC與∠OCA的度數(shù)，利用三角形外角的性質(zhì)，求得∠AOP的度數(shù)，又由AP=AC，利用等邊對等角，求得∠P，則可求得∠PAO=90°，則可證得AP是⊙O的切線；（2）由CD是⊙O的直徑，即可得∠DAC=90°，然后利用三角函數(shù)與等腰三角形的判定定理，即可求得PD的長．【解答】（1）證明：連接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°，∴∠AOP=60°，∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP，∴AP是⊙O的切線，（2）解：連接AD．∵CD是⊙O的直徑，∴∠CAD=90°，∴AD=AC?tan30°=3×=，∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°，∴∠P=∠PAD，∴PD=AD=．【點評】此題考查了切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，解題的關鍵是準確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．16.(云南省曲靖市羅平縣·二模)如圖，AB為⊙O的直徑，AD為弦，∠DBC=∠A．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）連接OC，如果OC恰好經(jīng)過弦BD的中點E，且tanC=，AD=3，求直徑AB的長．【考點】切線的判定．【專題】證明題．【分析】（1）由AB為⊙O的直徑，可得∠D=90°，繼而可得∠ABD+∠A=90°，又由∠DBC=∠A，即可得∠DBC+∠ABD=90°，則可證得BC是⊙O的切線；（2）根據(jù)點O是AB的中點，點E時BD的中點可知OE是△ABD的中位線，故AD∥OE，則∠A=∠BOC，再由（1）∠D=∠OBC=90°，故∠C=∠ABD，由tanC=可知tan∠ABD==，由此可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠D=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切線；（2）∵點O是AB的中點，點E時BD的中點，∴OE是△ABD的中位線，∴AD∥OE，∴∠A=∠BOC．、∵由（1）∠D=∠OBC=90°，∴∠C=∠ABD，∵tanC=，∴tan∠ABD===，解得BD=6，∴AB===3．【點評】本題考查的是切線的判定，熟知經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解答此題的關鍵．17.(云南省·二模)如圖，將圓形紙片沿弦AB折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過圓心O，⊙O的切線BC與AO延長線交于點C．（1）若⊙O半徑為6cm，用扇形OAB圍成一個圓錐的側(cè)面，求這個圓錐的底面圓半徑．（2）求證：AB=BC．【考點】切線的性質(zhì)；圓錐的計算；翻折變換（折疊問題）．【分析】（1）過O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，根據(jù)題意OE=OA，得出∠OAE=30°，∠AOE=60°，從而求得∠AOB=2∠AOE=120°，根據(jù)弧長公式求得弧AB的長，然后根據(jù)圓錐的底面周長等于弧長得出2πr=4π，即可求得這個圓錐的底面圓半徑；（2）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OBC=90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠C=30°，從而得出∠BAC=∠C，根據(jù)等角對等邊即可證得結(jié)論．【解答】解：（1）設圓錐的底面圓半徑為r，過O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，連接OB，有折疊可得OE=OD，∵OD=OA，∴OE=OA，∴在Rt△AOE中∠OAE=30°，則∠AOE=60°，∵OD⊥AB，∴∠AOB=2∠AOE=120°，∴弧AB的長為：=4π，∴2πr=4π，∴r=2；（2）∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，∵BC是⊙O的切線，∴∠CBO=90°∴∠C=30°，∴∠OAE=∠C，∴AB=BC．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)，垂徑定理，弧長的計算，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，找出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關鍵．18.(山東棗莊·模擬)如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E．（1）求證：直線EF是⊙O的切線；（2）求cos∠E的值．【考點】切線的判定；勾股定理．【專題】證明題．【分析】（1）求證直線EF是⊙O的切線，只要連接OD證明OD⊥EF即可；（2）根據(jù)∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得問題轉(zhuǎn)化為求cos∠CBG，進而轉(zhuǎn)化為求Rt△BCG中，兩邊的比的問題．【解答】（1）證明：如圖，方法1：連接OD、CD．∵BC是直徑，∴CD⊥AB．∵AC=BC．∴D是AB的中點．∵O為CB的中點，∴OD∥AC．∵DF⊥AC，∴OD⊥EF．∴EF是O的切線．方法2：∵AC=BC，∴∠A=∠ABC，∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，∵∠A+∠ADF=90°∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°．即∠EDO=90°，∴OD⊥ED∴EF是O的切線．（2）解：連BG．∵BC是直徑，∴∠BDC=90°．∴CD==8．∵AB?CD=2S△ABC=AC?BG，∴BG==．∴CG==．∵BG⊥AC，DF⊥AC，∴BG∥EF．∴∠E=∠CBG，∴cos∠E=cos∠CBG==．【點評】本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．19.(陜西師大附中·模擬)(8分)如圖，AB是⊙O的直徑，C是弧AB的中點，⊙O的切線BD交AC的延長線于點D，E是OB的中點，CE的延長線交切線DB于點F，AF交○O于點H，連接BH。（1）求證：AC=CD第19第19題圖【答案】證明（1）連接OC∵C是AB中點，AB是○O的直徑∴OC⊥AB,∵BD是○O切線,∴BD⊥AB.∴OC∥BD.∵AO=BO∴AC=CD（2）∵E是OB中點，∴OE=BE在△COE與△FBE中，∠CEO=∠FEBOE=BE∠COE=∠FBE△COE≌△FBE（ASA）∴BF=CO∵OB=2，∴BF=2∴AF=∵AB是直徑∴BH⊥AF∴ABBF=AFBH∴20.(上海閔行區(qū)·二模)如圖，已知在△ABC中，AB=AC=6，AH⊥BC，垂足為點H．點D在邊AB上，且AD=2，聯(lián)結(jié)CD交AH于點E．（1）如圖1，如果AE=AD，求AH的長；（2）如圖2，⊙A是以點A為圓心，AD為半徑的圓，交AH于點F．設點P為邊BC上一點，如果以點P為圓心，BP為半徑的圓與⊙A外切，以點P為圓心，CP為半徑的圓與⊙A內(nèi)切，求邊BC的長；（3）如圖3，聯(lián)結(jié)DF．設DF=x，△ABC的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．【考點】圓的綜合題．【分析】（1）如圖1中，過點D作DG⊥AH于G，由DG∥BC得=====，設EG=a，則EH=3a，列出方程即可解決．（2）關鍵兩個圓內(nèi)切、外切半徑之間的關系，先求出PH，設BP=x，根據(jù)AH2=AB2﹣BH2=AP2﹣PH2列出方程即可解決問題．（3）如圖3中過點D作DG⊥AF于G，設AG=t，根據(jù)AD2﹣AG2=DF2﹣FG2程即求出t與x的關系，再利用三角形面積公式計算即可．【解答】解：（1）如圖1中，過點D作DG⊥AH于G，∵AH⊥BC，AB=AC∴∠DGE=∠CHG=90°，BH=CH，∴DG∥BC，∴=====，設EG=a，則EH=3a，∴==，∴AG=2a，AE=3a=2，∴AH=6a=4．（2）如圖2中，∵點P為圓心，BP為半徑的圓與⊙A外切，CP為半徑的圓與⊙A內(nèi)切，∴AP=AD+BP，AP=PC﹣AD，∴AD+BP=PC﹣AD，∴PC﹣BP=2AD=4，∴PH+HC﹣（BH﹣PH）=4，∴PH=2，∵AH2=AB2﹣BH2=AP2﹣PH2，設BP=x，∴62﹣（x+2）2=（x+2）2﹣22，∴x=2﹣2，∴BC=2BH=2（PB+PH）=4．（3）如圖3中，過點D作DG⊥AF于G，設AG=t，∵AD2﹣AG2=DF2﹣FG2，∴22﹣t2=x2﹣（2﹣t）2，∴t=，∴y=S△ABC=18?S△ADG=18×?AG?DG=9??，∴y=（0＜x＜2）．【點評】本題考查圓的有關知識、兩圓的位置關系、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是用轉(zhuǎn)化的思想，把問題掌握方程解決，屬于中考參考題型．21.（江蘇丹陽市丹北片·一模）（6分）如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點P，過點B的直線交OP的延長線于點C，且CP=CB．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為，OP=1，求BC的長答案：（（6分）（1）證明略（3分）（2）BC=2（3分）22.（上海市閘北區(qū)·中考數(shù)學質(zhì)量檢測4月卷）（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題4分，第（3）小題6分）如圖，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，⊙B與邊AB相交于點D，與邊BC相交于點E，設⊙B的半徑為x．CCBADE（第22題圖）（1）當⊙B與直線AC相切時，求x的值；（2）設DC的長為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）若以AC為直徑的⊙P經(jīng)過點E，求⊙P與⊙B公共弦的長．答案：解：（1）作AG⊥BC于G，BH⊥AC于H，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝GC＝2，∴AG＝又AG·BC＝BH·AC，∴∴當⊙B與直線AC相切時．．GAGABCH（2）作DF⊥BC于F，則DF∥AG，∴，即，∴，∴CF＝4－，在Rt△CFD中，CD2＝DF2＋CF2∴＝（0<x≤4）．EEFBCDAG（3）解法一：作PQ⊥BC于Q．EFEFBCDAQPH∵EF是⊙B、⊙P的公共弦，∴BP⊥EF，且EG＝FG，∵⊙P經(jīng)過點E，∴PA＝PE＝PC，∴AE⊥BC，又AC＝AB，∴BE＝EC＝2∵PQ∥AE，且P是AC的中點∴PQ＝，CP＝3，∴CQ＝1，BQ＝3，∴BP＝設BP交EF于點H設，由，解得，∴EF=EEFBCDAQPG解法二：作PQ⊥BC于Q．∵EF是⊙B、⊙P的公共弦，∴BP⊥EF，且EG＝FG，∵⊙P經(jīng)過點E，∴PA＝PE＝PC，∴AE⊥BC，又AC＝AB，∴BE＝EC＝2∵PQ∥AE，且P是AC的中點，∴PQ＝，CP＝3，∴CQ＝1，BQ＝3，∴BP＝而Rt△BQP∽Rt△BGE，∴，即，∴∴公共弦EF＝當點E和點C重合時，23.（廣東·一模）（本題滿分8分）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點M，交BC于點N，連接A