有理數(shù)的分類與數(shù)軸

專題06有理數(shù)的分類與數(shù)軸

U,

［學(xué)習(xí)小目標(biāo)I

1.知道有理數(shù)的定義；會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否為有理數(shù)；會(huì)對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類。

2.能正確地畫出數(shù)軸，掌握數(shù)軸的三要素；

3.能將已知數(shù)在數(shù)軸上表示出來，能指出數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)；

4.會(huì)用數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大??；初步感受數(shù)形結(jié)合的思想.

M____

［新課輕松導(dǎo)入

【思考1】我們在小學(xué)和上一節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)過那些數(shù)？這些數(shù)能否寫乘分?jǐn)?shù)的形式呢？

【思考3。試畫圖表示這一情景。

［知識(shí)幫你梳理.

1.有理數(shù)的相關(guān)概念

1）整數(shù)：正整數(shù)、（）、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù).

所有的正整數(shù)組成正整數(shù)集合，所有的負(fù)整數(shù)組成負(fù)整數(shù)集合.

2）分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù).

有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以化為分?jǐn)?shù)，所以我們也把它們看成分?jǐn)?shù).

3）有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).

4）有理數(shù)的分類：

［正整數(shù)］口缺粕,正整數(shù)

_卜自然數(shù)正有理數(shù)＜

整數(shù)?零J正分?jǐn)?shù)

（1）有理數(shù)（按定義分類）?.負(fù)整數(shù)（2）有理數(shù)（按符號(hào)分類〉零（零既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù)）

‘正分?jǐn)?shù)'負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)?負(fù)有理數(shù)?

負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

注意：整數(shù)與分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)的范疇，有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù);

5）常用數(shù)學(xué)概念的含義

1）正整數(shù)：既是正數(shù)，又是整數(shù)2）負(fù)整數(shù)：既是負(fù)數(shù)，又是整數(shù)

3）正分?jǐn)?shù)：既是整數(shù)，又是分?jǐn)?shù)4）負(fù)分?jǐn)?shù)：既是負(fù)數(shù)，又是分?jǐn)?shù)

5）非正數(shù)：負(fù)數(shù)和06）非負(fù)數(shù)：正數(shù)和0

7）非正整數(shù)：負(fù)整數(shù)和08）非負(fù)整數(shù)：正整數(shù)和0

2.數(shù)軸

1）數(shù)軸定義：在數(shù)學(xué)中，可以用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸.它滿足以下要求：

①原點(diǎn)：在直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)0,這個(gè)點(diǎn)叫做原點(diǎn).原點(diǎn)是數(shù)軸的基準(zhǔn)點(diǎn).

②正方向：通常規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右（或上）為正方向，從原點(diǎn)向左（或下）為負(fù)方向.

③選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度，直線上從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長度取一個(gè)點(diǎn)，依次表示1,2,3,…；

從原點(diǎn)向左，用類似的方法依次表示-1,-2,-3,....原點(diǎn)、正方向和單位長度是數(shù)軸的三要素.

2）數(shù)軸的畫法

①畫一條水平的直線（一般畫水平的數(shù)軸）；②在這條直線上適當(dāng)位置取一實(shí)心點(diǎn)作為原點(diǎn)；

③確定向右的方向?yàn)檎较?，用箭頭表示；④選取適當(dāng)?shù)拈L度作單位長度，用細(xì)短線畫出，并對(duì)應(yīng)標(biāo)注

各數(shù)，同時(shí)要注意同一數(shù)軸的單位長度要一致.

3）有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系

①一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來.

②數(shù)軸上的點(diǎn)并不全是有理數(shù)，如"也可以在數(shù)軸上表示，但兀并不是有理數(shù).

③正有理數(shù)位于原點(diǎn)的右邊，負(fù)有理數(shù)位于原點(diǎn)的左邊.

④與原點(diǎn)的距離是。（。＞0）,在數(shù)軸上可以是±。（存在多解的情況）

注：要確定在數(shù)軸上的具體位置，必須要距離+方向

4）利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。涸跀?shù)軸上，右邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)大.因此，正數(shù)

總大于零，負(fù)數(shù)總小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù).

［高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)1、有理數(shù)的概念辨析

【解題技巧】正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)；正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù).

例1.（2023秋?吉林長春?七年級(jí)統(tǒng)考期末）下面的說法中，正確的是（）

A.正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)B.整數(shù)和小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)

C.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)D.整數(shù)、零和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.正有理數(shù)、0和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故本選項(xiàng)正確；D.整數(shù)包括零，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類方法是解題的關(guān)鍵.

例2.（2022秋?山東日照?七年級(jí)?？计谀┫铝姓f法中：①0是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；

③非負(fù)數(shù)就是正數(shù)和0；④整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)有理數(shù)定義及其分類解答即可.

【詳解】沒有最小的整數(shù)，故①錯(cuò)誤；有理數(shù)包括正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，故②錯(cuò)誤；

非負(fù)數(shù)就是正數(shù)和0，故③正確；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，故④正確；故選：C

【點(diǎn)睛】本題側(cè)重考查的是有理數(shù)，掌握有理數(shù)定義及其分類是解決此題的關(guān)鍵.

變式1.（2022秋?河南三門峽?七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（）

A.一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù).B.正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù).

C.正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù).D.0是最小的整數(shù).

【答案】A

【分析】依據(jù)有理數(shù)的概念和分類進(jìn)行回答即可.

【詳解】解：A.一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)，說法正確，故此選項(xiàng)符合題意；

B.正整數(shù)和負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱為整數(shù)，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)和0統(tǒng)稱為有理數(shù)，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.沒有最小的整數(shù)，0是最小的自然數(shù)，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的概念和分類，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022秋?江蘇泰州?七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列說法中：（1）一個(gè)整數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；（2）

最小的整數(shù)是零；（3）負(fù)數(shù)中沒有最大的數(shù)；（4）自然數(shù)一定是正整數(shù)；（5）有理數(shù)包括正有理數(shù)、零

和負(fù)有理數(shù)；（6）整數(shù)就是正整數(shù)和負(fù)整數(shù)；（7）零是整數(shù)但不是正數(shù)；（8）正數(shù)、負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；

（9）非負(fù)有理數(shù)是指正有理數(shù)和0.正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)的概念和有理數(shù)的分類，正、負(fù)數(shù)依次進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：整數(shù)分為正整數(shù)，0和負(fù)整數(shù)，

...一個(gè)整數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)錯(cuò)誤，故（1）不符合題意；

沒有最小的整數(shù)，故（2）不符合題意；負(fù)數(shù)中沒有最大的數(shù)，故（3）符合題意；

自然數(shù)包括0,??.自然數(shù)一定是正整數(shù)錯(cuò)誤，故（4）不符合題意；

有理數(shù)包括正有理數(shù)，零和負(fù)有理數(shù)，故（5）符合題意，

整數(shù)包括正整數(shù)，0和負(fù)整數(shù)，故（6）不符合題意；

零食整數(shù)但不是正數(shù)，故（7）符合題意；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故（8）不符合題意；

非負(fù)有理數(shù)是指正有理數(shù)和0,故（9）符合題意，

綜上所述，正確的有（3）（5）（7）（9）,共4個(gè)，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的概念和分類，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)2、有理數(shù)的分類

【解題技巧】

正整數(shù)：像1,2,3,4等這樣的數(shù)叫作正整數(shù)：負(fù)整數(shù)：像一1,-2,—3等這樣的數(shù)叫作負(fù)整數(shù)；

正分?jǐn)?shù)：像巳3，0.24等這樣的數(shù)叫作正分?jǐn)?shù)；負(fù)分?jǐn)?shù)：像一士3，一3.56等這樣的數(shù)叫作負(fù)分?jǐn)?shù)；

44

整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)；

有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

78

例1.（2023秋?河北廊坊?七年級(jí)?？计谀┫铝懈鲾?shù)：l.（）l（X）l（XX）l,—,0,一萬，-2.626626662……，

433

0.12其中有理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，進(jìn)行判斷即可.

7878

【詳解】解:一-,1.010010001,—,0,一萬,-2.626626662....,0.12中--，1.010010001,—,0,0,12

433433

是有理數(shù)，共5個(gè)；故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的定義.熟練掌握整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023秋?遼寧沈陽?七年級(jí)統(tǒng)考期末）將下列各數(shù)填入所屬的集合中：

2147

0,—3,—,—7,—4.2,3.5,0.6,-3—,10）—,—

3334

正數(shù)集合：｛…｝;整數(shù)集合：｛…｝;分?jǐn)?shù)集合：｛

負(fù)整數(shù)集合：：｛...｝;正分?jǐn)?shù)集合：｛...｝;

【答案】見解析

【分析】根據(jù)正數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念，即可得出答案.

【詳解】正數(shù)集合：||,3.5,0.6,嗚，6.5卜整數(shù)集合：｛0,-3,-7,10｝；

分?jǐn)?shù)集合：后,-42,3.5,0.6,-3，*一（,6.5：；負(fù)整數(shù)集合：｛-3,-7）；正分?jǐn)?shù)集合：f,3.5,06*6.5

【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念，掌握以上內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

例3.（2022秋?陜西西安?七年級(jí)校考階段練習(xí)）（1）如圖，下面兩個(gè)圈分別表示負(fù)數(shù)集合和分?jǐn)?shù)集合,

請(qǐng)你把下列各數(shù)填入它所在數(shù)集的圈里.3.5,-25%,0,-41,-5,3,-2,

【答案】（1）見解析：（2）負(fù)分?jǐn)?shù)

【分析】（1）根據(jù)負(fù)數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念即可得出答案；（2）根據(jù)負(fù)數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念即可得出答案.

【詳解】（I）負(fù)數(shù)為：-25%,-4：,-5,-2；分?jǐn)?shù)為：3.5,-25%,-4：,；;

332

（2）在（1）圖中兩個(gè)圈的重疊部分表示負(fù)分?jǐn)?shù).

【點(diǎn)睛】本題考查了分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的概念，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵.

21

變式1.（2022秋?貴州銅仁?七年級(jí)?？计谥校┰?.67,0,1,-（-3）,5-,-6中，非負(fù)整數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)非負(fù)整數(shù)的概念求解即可.

21

【詳解】解：一(一3)=3,.?.在3.67,0,1,-(-3),5-,-6中，

非負(fù)整數(shù)有：0,1,-(-3),共3個(gè)，故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查/非負(fù)整數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是掌握非負(fù)整數(shù)的概念.非負(fù)整數(shù)包括正整數(shù)和零.

變式2.(2022秋?云南昆明?七年級(jí)?？计谥?下列各數(shù)中，既是分?jǐn)?shù)又是負(fù)數(shù)的是()

A.-3.1B.-6C.0

【答案】A

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類解答即可.

【詳解】解：是分?jǐn)?shù)的只有-3.1和2.8,而是負(fù)數(shù)的是-3.1,即選項(xiàng)A符合題意；故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的分類，正確掌握有理數(shù)的定義及分類是解題的關(guān)鍵.

變式3.(2022秋?貴州遵義?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：2,-3.14,-5,

22

—,-0.1212212221...,

7

(1)正數(shù)集合：｛…｝;(2)負(fù)數(shù)集合：｛

(3)整數(shù)集合：｛…｝;(4)分?jǐn)?shù)集合：｛…｝；

【答案】⑴2,—(2)-3.14,-5,-0.1212212221...(3)2,-5(4)-3.14,—

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類方法求解即可.

【詳解】(1)解：正數(shù)有：2,￡TT,2T2，故答案為：2,n￡,2T2；

3737

(2)解：負(fù)數(shù)有:-3.14,-5,-0.1212212221...；故答案為:-3.14,-5,-0.1212212221...；

(3)解：整數(shù)有：2,-5；故答案為：2,-5；

2222

(4)解：分?jǐn)?shù)有：—3.14,—:故答案為：—3.14,—.

77

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的分類，熟知有理數(shù)的分類方法是解題的關(guān)鍵.

變式4.(2022秋?河南周口?七年級(jí)統(tǒng)考期中)將下列各數(shù)填在相應(yīng)的圓圈里(每個(gè)數(shù)只能寫在一個(gè)對(duì)應(yīng)區(qū)

3

域內(nèi)）：-8,巧，75,-0.4,25%,0,-2019,-2.8,-

7

【答案】答案見解析

【分析】先填圖中兩個(gè)圓的公共部分的數(shù)，再添兩邊的數(shù)，從而可得答案.

【詳解】解：把各數(shù)分別填入如下圖：

【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的分類，掌握“有理數(shù)的分類”是解本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)3、有理數(shù)中的新定義集合

【解題技巧】所謂新定義問題，就是在題目中給出一個(gè)從未接觸過的新概念，要求我們通過認(rèn)真閱讀，現(xiàn)

學(xué)現(xiàn)用，是近年來中考數(shù)學(xué)的新亮點(diǎn)、新題型，解決此類問題步驟如下：1）讀懂題意（最關(guān)鍵）；2）根

據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移。

常見類型有：（1）定義一種新運(yùn)算；（2）定義一種新法則。

例1.（2022秋?貴州遵義?七年級(jí)校考階段練習(xí)）我們把整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為“有理數(shù)”，那為什么叫有理數(shù)呢？

有理數(shù)在英語中是而“22”靖通常的意思是“理性的"，中國近代譯著者在翻譯時(shí)參考了

這種方法，而“，5加?4’這個(gè)詞的詞根山。”源于古希臘，是“比率”的意思，這個(gè)詞的意思就是整數(shù)的“比”,

所謂有理數(shù)，就是可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比的形式的數(shù).

⑴對(duì)于0.3是不是有理數(shù)呢？我們不妨設(shè)0.3=x，則10x0.3=10x，即3.3=10x，故3+0.3=10x，即

3+x=10x,解得x=；,由此得：無限循環(huán)小數(shù)有理數(shù)（填“是”或“不是”）；

（2）請(qǐng)仿照（1）的做法，將pg寫成分?jǐn)?shù)的形式（寫出過程）；

⑶在「1，7,0,-9,0.43,16.21中，屬于非負(fù)有理數(shù)的是.

222

【答案】（1）是（2）§（3）亍，0,Q43

【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的概念求解即可；（2）根據(jù)題目中給出的運(yùn)算方法；

（3）根據(jù)有理數(shù)的概念求解即可.

【詳解】（1）由解題過程可知，無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故答案為：是；

22

（2）設(shè)0.6=x,貝110x0.6=10x，即6.6=10x,故6+0.6=10x，即6+x=10x,解得*=即0.6=:：

33

（3）在卜1，,,0，-9,0.43,164中，屬于非負(fù)有理數(shù)的是彳，0,0.43,16.2,

22

故答案為：—,0,0,43,16.2.

【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的概念，無限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的概念.

例2.（2022?江陰市期中）把幾個(gè)數(shù)用大括號(hào)圍起來，中間用逗號(hào)斷開，如：｛1,2,-3）,我們稱之為集合，

其中的數(shù)稱其為集合的元素.如果一個(gè)集合滿足：當(dāng)有理數(shù)“是集合的元素時(shí)，有理數(shù)-“+10也必是這個(gè)

集合的元素，這樣的集合我們稱為和諧的集合.例如集合（10,0｝就是一個(gè)和諧集合.

（1）請(qǐng)你判斷集合｛I,2｝,｛-2,1,5,9,12｝是不是和諧集合？

（2）請(qǐng)你再寫出兩個(gè)和諧的集合（至少有一個(gè)集合含有三個(gè)元素）.

（3）寫出所有和諧的集合中，元素個(gè)數(shù)最少的集合.

【分析】（1）根據(jù)和諧集合的定義，只要判斷兩數(shù)相加是否等于10即可.

（2）根據(jù)和諧集合的定義，即可寫出兩個(gè)和諧的集合（至少有一個(gè)集合含有三個(gè)元素）.

（3）根據(jù)和諧集合的定義，確定元素個(gè)數(shù)最少的集合.

【解答】解：⑴若a=1,則-a+10=9不在集合｛1,2｝內(nèi)，二｛1,2｝不是和諧集合.

V-2+12=10,1+9=10,5+5=10,-2,1,5,9,12｝是和諧集合.

（2）根據(jù)和諧集合的定義可知a+10-a=\0,只要集合中兩個(gè)數(shù)之和為10即可，；1+9=2+8=3+7=4+6,

：.12,5,8｝和｛1,9,2,8,3,7｝是和諧集合.

（3）???5+5=10,.,.要使素個(gè)數(shù)最少,則集合｛5｝,滿足條件.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查新定義，利用和諧集合的定義，只要確定集合元素之和等于10即可.

變式1.（2022?濱江區(qū)期末）把幾個(gè)數(shù)用大括號(hào)括起來，相鄰兩個(gè)數(shù)之間用逗號(hào)隔開，如：｛1,2｝,｛I,4,

7,我們稱之為集合，其中的每一個(gè)數(shù)稱為該集合的元素，如果一個(gè)所有元素均為有理數(shù)的集合

滿足：當(dāng)有理數(shù)x是集合的一個(gè)元素時(shí)，2018-%也必是這個(gè)集合的元素，這樣的集合我們又稱為對(duì)稱集合，

例如｛2,2016｝就是一個(gè)對(duì)稱集合，若一個(gè)對(duì)稱集合所有元素之和為整數(shù)M,且23117VM<23897,則該集

合總共的元素個(gè)數(shù)是（）

A.22B.23C.24D.25

【分析】根據(jù)題意可知對(duì)稱集合都是成對(duì)出現(xiàn)的，并且這對(duì)對(duì)應(yīng)元素的和為2018,然后通過估算即可解答

本題.

【解答】解：：在對(duì)稱集合中，如果一個(gè)元素為。，則另一個(gè)元素為2018-0,

二對(duì)稱集合中的每一對(duì)對(duì)應(yīng)元素的和為：”+2018-4=2018,2018x11=22198,2018x11.5=23207,2018x12

=24216,

又?.?一個(gè)對(duì)稱集合所有元素之和為整數(shù)M,且23117cMV23897,

???該集合總共的元素個(gè)數(shù)是11.5x2=23.故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)、是探究性問題，關(guān)鍵是明確什么是對(duì)稱集合，集合中的各個(gè)數(shù)都是元素，明確

對(duì)稱集合中的元素個(gè)數(shù)，在此還要應(yīng)用到估算的知識(shí).

變式2.（2022?山西月考）閱讀下面文字，根據(jù)所給信息解答下面問題：把幾個(gè)數(shù)用大括號(hào)括起來，中間用

逗號(hào)隔開，如：｛3,4｝,｛-3,6,8,18｝,其中大括號(hào)內(nèi)的數(shù)稱其為集合的元素，如果一個(gè)集合滿足：只

要其中有一個(gè)元素小使得a+12也是這個(gè)集合的元素，這樣的集合就稱為對(duì)偶集合.

例如：｛13,1｝,因?yàn)?+12=13,13恰好是這個(gè)集合的元素，所以｛13,1｝是對(duì)偶集合，例如:｛12,3.0）,

因?yàn)?2+0=12,12恰好是這個(gè)集合的元素，所以｛12,3,0｝是對(duì)偶集合.在對(duì)偶集合中，若所有元素的和

為0,則稱這個(gè)集合為完美對(duì)偶集合，例如：｛-2,0,2｝,因?yàn)?2+2=0,0恰好是這個(gè)集合的元素，所

以｛-2,0,2｝是對(duì)偶集合，又因?yàn)?2+0+2=0,所以這個(gè)集合是完美對(duì)偶集合.

（1）集合｛-4,8｝（填“是”或“不是”）對(duì)偶集合.

（2）集合｛—101,2｝是否是完美對(duì)偶集合？請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）依據(jù)一個(gè)集合滿足：如果一個(gè)集合滿足：只要其中有一個(gè)元素a,使得"2也是這個(gè)集合的

元素，這樣的集合就稱為對(duì)偶集合，即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)在對(duì)偶集合中，若所有元素的和為0,則稱這個(gè)集合為完美對(duì)偶集合，即可得到結(jié)論；

【解答】解：（1）因?yàn)?4+12=8,所以集合｛-4,8｝是對(duì)偶集合，故答案為：是：

（2）不是;理由如下:

因?yàn)?1[+12=10a,所以｛—2,10》是對(duì)偶集合,

又因?yàn)橐?；+2+10#0,所以｛一弓，2,10》不是完美對(duì)偶集合；

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)條件集合的定義進(jìn)行計(jì)算.

考點(diǎn)4、數(shù)軸的三要素及其畫法

【解題技巧】數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.

數(shù)軸的畫法：①在直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)0,這個(gè)點(diǎn)叫做原點(diǎn)，②通常規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右為正方向,

從原點(diǎn)向左為負(fù)方向；③選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度，直線上從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長度取一個(gè)點(diǎn)，

依次表示1，2,3,...；從原點(diǎn)向左用類似的方法依次表示-1,-2,-3,....

例1.（2023秋?廣東?七年級(jí)專題練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.有原點(diǎn)、正方向的直線是數(shù)軸B.數(shù)軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)可以表示同一個(gè)有理數(shù)

C.有些有理數(shù)不能在數(shù)軸上表示出來D.任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義及意義，依次分析選項(xiàng)可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)可得，

A、根據(jù)數(shù)軸的概念，有原點(diǎn)、正方向且規(guī)定了單位的直線是數(shù)軸，A錯(cuò)誤，不符合題意；

B.數(shù)軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)不可以表示同一個(gè)有理數(shù)，故選項(xiàng)B不符合題意；

C.；任意有理數(shù)都能在數(shù)軸上表示出來，故選項(xiàng)C不符合題意；

D、；任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了運(yùn)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識(shí).

例2.（2023秋?吉林延邊?七年級(jí)統(tǒng)考期末）下面是四位同學(xué)畫的數(shù)軸，其中正確的是（）

A.123456B--2-1012c--101234D--101234

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)，正方向，單位長度判斷所給出的四個(gè)數(shù)軸哪個(gè)正確.

【詳解】解：A、沒有原點(diǎn)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、單位長度不統(tǒng)一，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、符合數(shù)軸的概念，故此選項(xiàng)正確，符合題意.

D、沒有正方向，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸.特別注意數(shù)軸的三

要素缺一不可.

變式1.（2023?河北衡水?二模）如圖，P,M,N,。中有一個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸/上，請(qǐng)借助直尺判斷該點(diǎn)是（）

/P.V

——t'---------?*?N

01?

Q

A.PB.MC.ND.Q

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義即可解答.

【詳解】解：由規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸，結(jié)合圖形即可得出點(diǎn)N在數(shù)軸上.故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸的定義.掌握規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸是解題關(guān)鍵.

變式2.（2022秋.陜西榆林.七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列說法：

①規(guī)定了原點(diǎn)、正方向的直線是數(shù)軸；②數(shù)軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)可以表示同一個(gè)有理數(shù)；

③有理數(shù)焉在數(shù)軸上無法表示出來；④任何一個(gè)有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到與它對(duì)應(yīng)的唯一點(diǎn)

其中正確的是（）

A.①②③④B.②③④C.③④D.④

【答案】D

【分析】①根據(jù)數(shù)軸的定義，可判斷①，②數(shù)軸上的點(diǎn)與數(shù)的關(guān)系，可判斷②，③根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，

可判斷③，④根據(jù)數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系，可判斷④

【詳解】解：①規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線是數(shù)軸，故原說法錯(cuò)誤；

②數(shù)軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)不可以表示同一個(gè)有理數(shù)，故原說法錯(cuò)誤；

③有理數(shù)焉在數(shù)軸上.可以表示出來，故原說法錯(cuò)誤；

④任何一個(gè)有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到與它對(duì)應(yīng)的唯一點(diǎn)，說法正確；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)，利用/數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系，數(shù)軸與無理數(shù)的關(guān)系，熟練掌握規(guī)定了原

點(diǎn)、正方向、單位長度的宜線叫做數(shù)軸是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2023秋?山西晉中?七年級(jí)統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)課上老師讓同學(xué)們畫出數(shù)軸，下列作圖表示數(shù)軸正確的

是（）

[_____I_______|_____|________I?I||||

A-12345B--2-1012

1III1.IIIII.

C.-1-2012D,-2-I012

【答案】D

【分析】判斷數(shù)軸畫得正確的標(biāo)準(zhǔn)：必須體現(xiàn)數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度.

【詳解】解：A.畫出的數(shù)軸，沒有標(biāo)出原點(diǎn)，故此選項(xiàng)不符合題意：

B.畫出的數(shù)軸，沒有標(biāo)出正方向，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.畫出的數(shù)軸，數(shù)的位置標(biāo)得不對(duì)，故此選項(xiàng)不符合題意

D.畫出的數(shù)軸正確，故此選項(xiàng)符合題意.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸的知識(shí)，關(guān)鍵是掌握數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度.

考點(diǎn)5、用數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系

【解題技巧】數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)之間的關(guān)系

①每個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一點(diǎn)來表示，也可以說每個(gè)有理數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的一點(diǎn)；

②一般地，設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長度；表示/

的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長度.

例1.（2023?廣西賀州?統(tǒng)考一模）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)Q所表示的數(shù)可能是（）

_____IIII?IIII,

-4-3-2-10123

A.1.5B.2.6C.-0.7D.0.4

【答案】C

【分析】先根據(jù)數(shù)軸上。點(diǎn)的位置確定Q的取值范圍，再根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)值進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：由圖可知：點(diǎn)。在T的右邊，0的左邊，...點(diǎn)。表示的數(shù)大于T，小于0,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸的特點(diǎn)，能根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)確定出。的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵.

例2.（2023?山東淄博?統(tǒng)考一模）如圖，將一刻度尺放在數(shù)軸上（數(shù)軸的單位長度是1cm）,刻度尺上“0cm”

和1“3cm”分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的3和0,那么刻度尺上“3.6cm”對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為（）

876543210

1,111,111.

-4-3-2-101234

A.-0.4B.-0.6C.-1.6D.1.4

【答案】B

【分析】根據(jù)刻度尺上“3.6cm”在原點(diǎn)的左側(cè)0.6的位置即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意可知刻度尺上“3.6cm”在原點(diǎn)的左側(cè)0.6的位置，

.?.刻度尺上“3.6cm”對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為-0.6,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了在數(shù)軸上表示有理數(shù)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

例3.（2022秋?江蘇蘇州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖），折疊紙面.

（1）若1表示的點(diǎn)與-1表示的點(diǎn)重合，則-2表示的點(diǎn)與數(shù)表示的點(diǎn)重合;

（2）若T表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，回答以下問題:①6表示的點(diǎn)與數(shù)表示的點(diǎn)重合;②若數(shù)軸上A、

8兩點(diǎn)之間的距離為8（A在B的左側(cè)），且A、8兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，寫出A、8兩點(diǎn)表示的數(shù)是多少？

【答案】（1）2⑵①7；②點(diǎn)A表示-3,點(diǎn)B表示5

【分析】（1）先確定折痕為原點(diǎn)，即可得結(jié)論；（2）①先確定折痕：個(gè)=】，即可得結(jié)論；②設(shè)折痕為

點(diǎn)C,則AC=3C=4,根據(jù)左邊減，右邊加可得結(jié)論.

【詳解】（1）解：若1表示的點(diǎn)與-1表示的點(diǎn)重合，則折痕為原點(diǎn)，

，-2表示的點(diǎn)與數(shù)2表示的點(diǎn)重合；故答案為：2；

（2）①若T表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，則折痕為和史=1,，lx2-6=T,

；.6表示的點(diǎn)與數(shù)-4表示的點(diǎn)重合；故答案為：-4；

②設(shè)折痕為點(diǎn)C,則AC=BC=4,???點(diǎn)A表示的數(shù)為1一4=-3,點(diǎn)B表示的數(shù)為1+4=5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)距離以及數(shù)軸上有理數(shù)的表示是解題的關(guān)鍵.

變式I.（2022秋.廣西七年級(jí)期中）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A、B分別表示1和2,點(diǎn)C在數(shù)軸上且到A和8的

距離相等，則點(diǎn)C表示的數(shù)是.

I111________

0ACB

【答案】1.5

【分析】根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)解答即可.

【詳解】解：???數(shù)軸上的點(diǎn)A、8分別表示1和2,點(diǎn)C在數(shù)軸上且到A和B的距離相等，

.?.點(diǎn)C表示的數(shù)為1.5,故答案為：1.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，熟記概念是解題關(guān)鍵.

變式2.（2023秋?江西吉安?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知紙面上有一數(shù)軸，折疊紙面，使表示-2的點(diǎn)與表

示4的點(diǎn)重合，則3表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合.

I_____I___I________I____I______I_____I_____I_____I_____I?

-4-3-2-10I2345

【答案】-1

【分析】先根據(jù)已知條件確定對(duì)稱點(diǎn)，然后再求出結(jié)論即可.

【詳解】解：???表示-2的點(diǎn)與表示4的點(diǎn)重合，

，折痕處所表示的數(shù)為：號(hào).7+上4=1,二3表示的點(diǎn)與數(shù)T表示的點(diǎn)重合.故答案為：T.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上的點(diǎn)和數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，結(jié)合數(shù)軸，找到對(duì)稱中心是解決問題的關(guān)鍵.

變式3.（2022秋?湖南衡陽?七年級(jí)?？计谀?shù)軸上點(diǎn)A,B,C分別表示數(shù)-1,m,T+加，下列說法正

確的是（）

A.點(diǎn)C一定在點(diǎn)A的右邊B.點(diǎn)C一定在點(diǎn)A的左邊

C.點(diǎn)C一定在點(diǎn)8的右邊D.點(diǎn)C一定在點(diǎn)B的左邊

【答案】D

【分析】由于不知道數(shù)，”的數(shù)值，所以不清楚點(diǎn)A與點(diǎn)C,點(diǎn)4與點(diǎn)8的位置關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)8,C分別

表示數(shù)"3-1+加即可判斷.

【詳解】解：：，〃的數(shù)值未知，.?.點(diǎn)A與點(diǎn)C,點(diǎn)A與點(diǎn)B的位置關(guān)系未知，

;點(diǎn)B,C分別表示數(shù)“，-\+m,即點(diǎn)8向左移動(dòng)一個(gè)單位得到C,

二點(diǎn)C一定在點(diǎn)8的左邊，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸，掌握在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊大是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)6、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

【解題技巧】1）正方向上，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，數(shù)越大；

2）負(fù)方向上，離原點(diǎn)越近，數(shù)越大（負(fù)數(shù)數(shù)字越大，結(jié)果反而越?。?

注：數(shù)軸從負(fù)方向向正方向，數(shù)值逐漸增大。

例1.（2023秋?福建漳州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)寫出一個(gè)大于-2且小于0的整數(shù).

【答案】-1

【分析】根據(jù)有理數(shù)大小比較方法解答即可.

【詳解】解：???大于-2且小于0的整數(shù)是T.故答案為：T.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，熟練掌握有理數(shù)大小比較的方法是解答本題的關(guān)鍵.

例2.（2023秋?湖北襄陽?七年級(jí)統(tǒng)考期末）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上的位置如圖所示：

AB

-5-4-3-2-10123456X

（1）點(diǎn)A表示的數(shù)是，點(diǎn)8表示的數(shù)是.

17

（2）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：0,-4-,-2,（3）把（1）（2）中的六個(gè)有理數(shù)用“<”號(hào)連接起來

17

【答案】（1）T,1；（2）見解析；（3）-4§<T<-2<0<l<].

【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸即可得到答案；（2）在數(shù)軸上表示出各數(shù)即可得到答案；

（3）根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)，即可得到答案.

【詳解】（1）解：根據(jù)數(shù)軸可知，點(diǎn)A表示的數(shù)是-4,點(diǎn)8表示的數(shù)是1,故答案為：-4,1：

（2）解：在數(shù)軸上表示各數(shù)如下所示：

37

-叼4-2052

-I?，??，I---------L——」--1---------

-5-4-3-2-10123456x

]7

（3）解：各數(shù)大小關(guān)系排列如下：-4-<^<-2<0<1<^.

32

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，解題關(guān)鍵是熟練掌握用數(shù)軸表示有理數(shù)，熟記數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù).

變式I.（2023?廣西賀州?統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)如”在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則加n.（填

“<”、">，，或“=，，）

?111A

m01n

【答案】<

【分析】根據(jù)在數(shù)軸上右邊的數(shù)據(jù)大于左邊的數(shù)據(jù)即可得出答案.

【詳解】解：加在〃的左邊，故答案為：<.

【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正確掌握數(shù)軸上數(shù)據(jù)大小關(guān)系是解題關(guān)鍵.

變式2.（2022秋?江蘇南京?七年級(jí)校考階段練習(xí)）寫出所有比-5大的非正整數(shù)：.

【答案】T,-3,-2,-1,0

【分析】在數(shù)軸上表示出-5,根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由如圖所示數(shù)軸可知比-5大的非正整數(shù)有4-3,-2,-1,0,故答案為：-4,-3,-2,-1,0.

-5-4-3-2-101234

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，正確畫出數(shù)軸是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2022秋?云南楚雄?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并用“〈”連接.

—3,；,—1

【答案】數(shù)軸見解析，-3<-1<0<（<2.5

【分析】在數(shù)軸上表示出這些數(shù)，再根據(jù)數(shù)軸上左邊的數(shù)總小于右邊的數(shù)即可得出答案.

I

一1

【詳解】解：如圖所示：-3-I022.5由數(shù)軸可得：-3<-l<0<：<2.5.

-5Y-3-2012345

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系，任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，在數(shù)軸上，原

點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示的是負(fù)數(shù)，原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示的是正數(shù)，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大.

考點(diǎn)7、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離

【解題技巧】在數(shù)軸上，如果點(diǎn)4對(duì)應(yīng)的數(shù)是”,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是b,則這兩個(gè)點(diǎn)的距離公式為：

（差的絕對(duì)值）。在數(shù)軸上我們可以通過這個(gè)距離公式，利用絕對(duì)值來算點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離。

在解答有關(guān)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的題目時(shí)，最簡單的方法就是利用數(shù)形結(jié)合，但是切記不要漏解，該點(diǎn)左

右兩邊都要考慮到，利用絕對(duì)值進(jìn)行求解不容易漏解，但是很多同學(xué)可能會(huì)感覺到比較的復(fù)雜，但是學(xué)好

絕對(duì)值后，會(huì)發(fā)現(xiàn)這種方法非常的好用，而且不需要過多的考慮。希望兩種方法同學(xué)們都能夠掌握。

例1.（2023?吉林長春?統(tǒng)考一模）在數(shù)軸上表示數(shù)-1和2023的兩個(gè)點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B,則點(diǎn)A和點(diǎn)B

之間的距離為（）個(gè)單位.

A.2022B.2023C.2024D.2025

【答案】C

【分析】由有理數(shù)的減法，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式的幾何意義求出點(diǎn)A和點(diǎn)3兩點(diǎn)間的距離為2024個(gè)

單位.

【詳解】:?表示數(shù)一1和2023的兩個(gè)點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B,

.??點(diǎn)A和點(diǎn)8之間的距離為|一1一2023|=2024故選：C.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于對(duì)應(yīng)兩數(shù)差的絕對(duì)值等知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)掌握數(shù)軸的應(yīng)用.

例2.（2023?浙江?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）數(shù)軸上到數(shù)-3所表示的點(diǎn)的距離為7的點(diǎn)所表示的數(shù)是（）

A.-10B.4或一10C.4或-7D.Y或4

【答案】B

【分析】分兩種情況，該點(diǎn)在-3的左邊，該點(diǎn)在-3的右邊，直接計(jì)算即可.

【詳解】解：當(dāng)該點(diǎn)在-3的左側(cè)時(shí)，表示的數(shù)為：-3-7=-10,

當(dāng)該點(diǎn)在-3的右側(cè)時(shí)，表示的數(shù)為：-3+7=4,

二在數(shù)軸上到-3的點(diǎn)的距離是7的點(diǎn)表示的數(shù)為-10或4,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸，解決此題的關(guān)鍵是要注意到有兩種情況，不要漏解.

變式1.（2022秋?廣東廣州?七年級(jí)?？计谥校c(diǎn)A在數(shù)軸上，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)用2〃表示，且點(diǎn)A到原點(diǎn)

的距離等于4,則a的值為（）

A.-2或1B.-2或2C.-2D.1

【答案】B

【分析】先求出點(diǎn)A表示的數(shù)是4或-4,結(jié)合題意列出方程2a=4或2a=-4,求出。的值即可.

【詳解】解：???點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離等于4,.?.點(diǎn)A表示的數(shù)是4或T,

點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)用2a表示，，為=4或2a=-4,解得4=2或。=一2,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的意義是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?河北張家口??？寄M預(yù)測）如圖，在數(shù)軸上從左到右依次有A,B,C三點(diǎn)，若4?=1,點(diǎn)

A表示的數(shù)為“，點(diǎn)C表示的數(shù)為-2a-1,則線段BC的長為（）

ABC

-1----1---------------------1—?

。-2a-1

A.-aB.-3aC.-3a—1D.-3a-2

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)的之間即可得出答案.

【詳解】解：?；A3=1,點(diǎn)A表示的數(shù)為“，二點(diǎn)8表示的數(shù)為a+1,

???點(diǎn)C表示的數(shù)為一2“一1,...線段的長為-2a-l-（a+l）=-3a—2,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)8、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題

【解題技巧】數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題是本節(jié)乃至本章的重難點(diǎn)內(nèi)容，后面我們講在專題18中重點(diǎn)介紹，本考點(diǎn)

中只對(duì)數(shù)軸中點(diǎn)的簡單移動(dòng)作一些基礎(chǔ)的認(rèn)識(shí)。

例1.（2022秋?江蘇徐州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上表示-2的點(diǎn)開始，先向左移動(dòng)5個(gè)單位長

度，再向右移動(dòng)10個(gè)單位長度，那么終點(diǎn)表示的數(shù)是（）

A.-2B.-3C.3D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)向左移動(dòng)減，向右移動(dòng)加，求解即可.

【詳解】解：-2-5+10=3,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸的知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

例2.（2022秋?貴州遵義?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)了3個(gè)單位長度后到達(dá)了表示數(shù)T的

位置，則這個(gè)點(diǎn)原來所表示的數(shù)是（）

A.0B.-1或-2C.4或-2D.2或-4

【答案】D

【分析】設(shè)這個(gè)點(diǎn)原來所表示的數(shù)為x,根據(jù)題意可得：|x-（-1）|=3,然后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)點(diǎn)原來所表示的數(shù)為x,由題意得：I無-（-1）1=3,1x+l|=3,「+1=±3,

;.x+l=3或x+l=-3,.,.》=2或:》:=7,.,?這個(gè)點(diǎn)原來所表示的數(shù)是2或T,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離是解題的關(guān)鍵.

變式I.（2023春?河北承德?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是6,將點(diǎn)4沿?cái)?shù)軸向

左移動(dòng)a（a>6）個(gè)單位長度得到點(diǎn)尸，則點(diǎn)P表示的數(shù)可能是（）

0A~^

A.0B.-1D.2

【答案】B

【分析】判斷點(diǎn)P所在的大概位置，估計(jì)即可.

【詳解】???點(diǎn)4及示的數(shù)是6,將點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向左移動(dòng)個(gè)單位長度得到點(diǎn)P,

...點(diǎn)P在原點(diǎn)左邊，即點(diǎn)尸表示的數(shù)為負(fù)數(shù)故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查本題考查的是數(shù)軸，關(guān)鍵是熟悉數(shù)軸上的點(diǎn)左減右加的知識(shí)點(diǎn).

變式2.（2023秋?四川成都?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如果點(diǎn)A是數(shù)軸上表示T的點(diǎn)，將點(diǎn)A在數(shù)軸上向右移動(dòng)6

個(gè)單位長度到點(diǎn)8,則點(diǎn)8表示的數(shù)為.

【答案】2

【分析】根據(jù)向右移加，向左移減進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：?點(diǎn)A表示的數(shù)是-4,向右移動(dòng)6個(gè)單位長度到點(diǎn)8,

，點(diǎn)8表示的數(shù)為：-4+6=2.故答案為.2.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸和數(shù)軸卜一兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算.

變式3.（2022秋?福建漳州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）在數(shù)軸上，把原點(diǎn)記作點(diǎn)O,表示數(shù)1的點(diǎn)記作點(diǎn)4對(duì)于

數(shù)軸上任意一點(diǎn)P（不與點(diǎn)O,點(diǎn)A重合），將線段PA與線段尸。的長度之比定義為點(diǎn)尸的特征值，記作P，

即戶=笥，例如：當(dāng)點(diǎn)尸是線段的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)镻O=P4,所以戶=1.若數(shù)軸上的點(diǎn)P滿足OP=2Q4,

則戶的值是.

OA

I1111A

-2-1012

【答案】5或5

【分析】首先分類討論?的位置，然后根據(jù)新定義，直接代值求解即可.

-2-1012

因?yàn)?P=20A,所以。在2或一2處，所以PO=2,尸A=3或1所以戶=今=/或|故答案為：，或g

【點(diǎn)睛】此題考查坐標(biāo)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，解題關(guān)鍵是分類討論可能在的位置.

分層練一練

A級(jí)（基礎(chǔ)過關(guān)）

1.（2023春?黑龍江哈爾濱?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列各數(shù)中，負(fù)有理數(shù)有（）個(gè)

—1,2.5,+—,0?~~冗，120,—1.732,—

37

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

【分析】根據(jù)負(fù)有理數(shù)的分為負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，逐一進(jìn)行判斷即可得到答案.

2

【詳解】解：負(fù)有理數(shù)有-1、-1.732、共3個(gè)，故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)分類，解題關(guān)鍵是掌握負(fù)有理數(shù)包括負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù).

2.（2022秋?云南楚雄?七年級(jí)?？计谀┫铝姓f法正確的是（）

A.0不是正數(shù)，不是負(fù)數(shù)，也不是整數(shù)B.正整數(shù)與負(fù)整數(shù)包括所有的整數(shù)

C.-0.6是分?jǐn)?shù)，負(fù)數(shù)，也是有理數(shù)D.沒有最小的有理數(shù)，也沒有最小的自然數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)整數(shù)，可以判斷A,B,根據(jù)有理數(shù)的意義，可以判斷C,D.

【詳解】解：A,0不是正數(shù)也不是復(fù)數(shù)，0是正數(shù)，故4錯(cuò)誤；B,正整數(shù)和負(fù)整數(shù)不包括0,故B錯(cuò)誤;

C,-0.6是分?jǐn)?shù)，負(fù)數(shù)，有理數(shù)，故C正確；D,0是最小的自然數(shù)，故。錯(cuò)誤.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：正數(shù)，負(fù)數(shù)，整數(shù)，分?jǐn)?shù)，有理數(shù)，