湖南省長沙市開福區(qū)長沙市第一中學2024屆數學高二第二學期期末綜合測試試題含解析

湖南省長沙市開福區(qū)長沙市第一中學2024屆數學高二第二學期期末綜合測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．體育場南側有4個大門,北側有3個大門,某學生到該體育場練跑步,則他進出門的方案有()A．12種 B．7種 C．24種 D．49種2．從5名男公務員和4名女公務員中選出3人，分別派到西部的三個不同地區(qū)，要求3人中既有男公務員又有女公務員，則不同的選派議程種數是（）A．70 B．140 C．420 D．8403．空間直角坐標系中，點關于點的對稱點的坐標是A．(－10,2,8) B．(－10,2,－8) C．(5,2,－8) D．(－10,3,－8)4．以雙曲線的焦點為頂點，離心率為的雙曲線的漸近線方程是（）A． B．C． D．5．某中學高二共有12個年級，考試時安排12個班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個班級是自己的班主任監(jiān)考，則不同的安排方案有（）A．4455 B．495 C．4950 D．74256．已知，那么（）A．20 B．30 C．42 D．727．若函數至少存在一個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．設x，y滿足約束條件y+2?0，x-2?0，2x-y+1?0，A．-2 B．-32 C．-19．已知函數，若函數有3個零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．10．已知雙曲線的離心率為，則m=A．4 B．2 C． D．111．如圖是函數的導函數的圖象，則下面判斷正確的是（）A．在上是增函數B．在上是減函數C．在上是增函數D．在時，取極大值12．已知正方體的棱長為，定點在棱上(不在端點上)，點是平面內的動點，且點到直線的距離與點到點的距離的平方差為，則點的軌跡所在的曲線為A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某研究性學習小組調查研究學生玩手機對學習的影響，部分統(tǒng)計數據如表玩手機不玩手機合計學習成績優(yōu)秀4812學習成績不優(yōu)秀16218合計201030經計算的值，則有__________的把握認為玩手機對學習有影響．附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，.14．已知球的半徑為1，、是球面上的兩點，且，若點是球面上任意一點，則的取值范圍是__________．15．在二項式展開式中，第五項為________.16．數列定義為，則_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）若在定義域上不單調，求的取值范圍；（2）設分別是的極大值和極小值，且，求的取值范圍.18．（12分）已知數列滿足，.（Ⅰ）證明：數列是等差數列；（Ⅱ）求數列的前項和.19．（12分）將正整數排成如圖的三角形數陣，記第行的個數之和為.（1）設，計算，，的值，并猜想的表達式；（2）用數學歸納法證明（1）的猜想.20．（12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，(1)若B1C=1，求直線AB(2)在(1)的條件下，求二面角A1(3)若B1C=2，CG⊥平面A1ABB1，G為垂足，令CG=pCA+qCB+rCB21．（12分）已知函數.(1)當時，解不等式；(2)若不等式有實數解，求實數a的取值范圍.22．（10分）據悉,2017年教育機器人全球市場規(guī)模已達到8.19億美元,中國占據全球市場份額10.8%.通過簡單隨機抽樣得到40家中國機器人制造企業(yè),下圖是40家企業(yè)機器人的產值頻率分布直方圖.（1）求的值；（2）在上述抽取的40個企業(yè)中任取3個，抽到產值小于500萬元的企業(yè)不超過兩個的概率是多少？（3）在上述抽取的40個企業(yè)中任取2個,設為產值不超過500萬元的企業(yè)個數減去超過500萬元的企業(yè)個數的差值,求的分布列及期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】第一步，他進門，有7種選擇；第二步，他出門，有7種選擇．根據分步乘法計數原理可得他進出門的方案有7×7＝49(種)．2、C【解題分析】

試題分析：先分組：“個男個女”或“個女個男”，第一種方法數有，第二種方法數有.然后派到西部不同的地區(qū)，方法數有種.考點：排列組合.3、B【解題分析】

直接利用中點坐標公式求解即可.【題目詳解】設點關于點的對稱點的坐標是,根據中點坐標公式可得，解得，所以點關于點的對稱點的坐標是(－10,2,－8)，故選B.【題目點撥】本題主要考查中點坐標公式的應用，意在考查對基本公式的掌握與應用，屬于基礎題.4、D【解題分析】

由題求已知雙曲線的焦點坐標，進而求出值即可得答案。【題目詳解】由題可知雙曲線的焦點坐標為，則所求雙曲線的頂點坐標為，即，又因為離心率為，所以，解得，所以，即，所以漸近線方程是故選D【題目點撥】本題考查求雙曲線的漸近線方程，解題的關鍵是判斷出焦點位置后求得，屬于簡單題。5、A【解題分析】

根據題意，分兩步進行：先確定8個是自己的班主任老師監(jiān)考的班級，然后分析剩余的4個班級的監(jiān)考方案，計算可得其情況數目，由分步計數原理計算可得答案．【題目詳解】某中學高二共有12個年級，考試時安排12個班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個班級是自己的班主任監(jiān)考，首先確定8個是自己的班主任老師監(jiān)考的班級，有種，而剩余的4個班級全部不能有本班的班主任監(jiān)考，有種；由分步計數原理可得，共種不同的方案；故選：A.【題目點撥】本題解題關鍵是掌握分步計數原理和組合數計算公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.6、B【解題分析】

通過計算n，代入計算得到答案.【題目詳解】答案選B【題目點撥】本題考查了排列數和組合數的計算，屬于簡單題.7、A【解題分析】

將條件轉化為有解，然后利用導數求出右邊函數的值域即可.【題目詳解】因為函數至少存在一個零點所以有解即有解令，則因為，且由圖象可知，所以所以在上單調遞減，令得當時，單調遞增當時，單調遞減所以且當時所以的取值范圍為函數的值域，即故選：A【題目點撥】1.本題主要考查函數與方程、導數與函數的單調性及簡單復合函數的導數，屬于中檔題.2.若方程有根，則的范圍即為函數的值域8、A【解題分析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線z=x+y，觀察直線在x軸上取得最大值和最小值時相應的最優(yōu)解，再將最優(yōu)解代入目標函數可得出z最大值和最小值，于此可得出答案。【題目詳解】如圖，作出約束條件表示的可行域.由圖可知，當直線z=x+y經過點A(2，5)時.當直線z=x+y經過點B(-32,-2)時，z取得最小值.故z【題目點撥】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，一般利用平移直線利用直線在坐標軸上的截距得出最優(yōu)解，考查計算能力，屬于中等題。9、C【解題分析】

求導計算處導數，畫出函數和的圖像，根據圖像得到答案.【題目詳解】當時，，則，；當時，，則，當時，；畫出和函數圖像，如圖所示：函數有3個交點，根據圖像知.故選：.【題目點撥】本題考查了根據函數零點個數求參數，意在考查學生的計算能力和應用能力，畫出函數圖像是解題的關鍵.10、B【解題分析】

根據離心率公式計算．【題目詳解】由題意，∴，解得．故選B．【題目點撥】本題考查雙曲線的離心率，解題關鍵是掌握雙曲線的標準方程，由方程確定．11、C【解題分析】分析：根據導函數圖象，判斷導數值的符號從而可得函數的單調性，進而可得結果.詳解：根據導函數圖象可知，在上先減后增，錯；在上先增后減，錯；在上是增函數，對；在時，取極小值，錯，故選C.點睛：本題考查函數的單調性與導函數的關系，意在考查對基本性質掌握的熟練程度以及數形結合思想的應用，屬于中檔題.12、D【解題分析】

作，，連接，以為原點建立空間直角坐標系，利用勾股定理和兩點間距離公式構造，整理可得結果.【題目詳解】作，，垂足分別為以為原點建立如下圖所示的空間直角坐標系：設，由正方體特點可知，平面，，整理得：的軌跡是拋物線本題正確選項：【題目點撥】本題考查立體幾何中點的軌跡問題，關鍵是能夠通過建立空間直角坐標系，求出動點滿足的方程，從而求得軌跡.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、99.5【解題分析】分析：由已知列聯(lián)表計算出后可得．詳解：，∵，∴有99.5%的把握認為玩手機對學習有影響．點睛：本題考查獨立性檢驗，解題關鍵是計算出，然后根據對照表比較即可．14、【解題分析】分析：以球心為坐標原點建立空間直角坐標系，設點的坐標，用來表示，進而求出答案.詳解：由題可知，則，以球心為坐標原點，以為軸正方向，平面的垂線為軸建立空間坐標系，則，，設，在球面上，則設，當直線與圓相切時，取得最值.由得故答案為點睛：本題考查了空間向量數量積的運算，使用坐標法可以簡化計算，動點問題中變量的取值范圍是解此類問題的關鍵.15、60【解題分析】

根據二項式的通項公式求解.【題目詳解】二項式的展開式的通項公式為：，令，則，故第五項為60.【題目點撥】本題考查二項式定理的通項公式，注意是第項.16、【解題分析】

由已知得兩式，相減可發(fā)現原數列的奇數項和偶數項均為等差數列，分類討論分別算出奇數項的和和偶數項的和，再相加得原數列前的和【題目詳解】兩式相減得數列的奇數項，偶數項分別成等差數列，，，，數列的前2n項中所有奇數項的和為：，數列的前2n項中所有偶數項的和為：【題目點撥】對于遞推式為，其特點是隔項相減為常數，這種數列要分類討論，分偶數項和奇數項來研究，特別注意偶數項的首項為，而奇數項的首項為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2).【解題分析】分析：（1）利用導數法求出函數單調遞增或單調遞減時，參數的取值范圍為，則可知函數在定義域上不單調時，的取值范圍為；（2）易知，設的兩個根為，并表示出，則，令，則，再利用導數法求的取值范圍.詳解：由已知，（1）①若在定義域上單調遞增，則，即在上恒成立，而，所以；②若在定義域上單調遞減，則，即在上恒成立，而，所以.因為在定義域上不單調，所以，即.（2）由（1）知，欲使在有極大值和極小值，必須.又，所以.令的兩根分別為，，即的兩根分別為，，于是.不妨設，則在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，所以.令，于是，，由，得，又，所以.因為，所以在上為減函數，所以.點睛：導數問題一直是高考數學的重點內容也是難點內容，要注意研究函數的單調性，有時需要構造相關函數，將問題轉化為求函數的值域問題，本題中的第一問，采用了“正難則反”的策略，簡化了解題，在解決第二問換元時，要注意表明新元的取值范圍.18、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）利用定義得證.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用分組求和法的到前項和.【題目詳解】解：（Ⅰ）由，可得，即，又，∴，∴數列是首項為3，公差為2的等差數列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴.【題目點撥】本題考查了等差數列的證明，分組求和法求前項和，意在考查學生對于數列公式和方法的靈活運用.19、（1）；（2）見解析．【解題分析】分析：直接計算，猜想：；（2）證明：①當時，猜想成立.②設時，命題成立，即③證明當時，成立。詳解：（1）解：，，，，猜想；（2）證明：①當時，猜想成立.②設時，命題成立，即，由題意可知.所以，，所以時猜想成立.由①、②可知，猜想對任意都成立.點睛：推理與證明中，數學歸納法證明數列的通項公式是常見的解法。根據題意先歸納猜想，利用數學歸納法證明猜想。數學歸納法證明必須有三步：①當時，計算得出猜想成立.②當時，假設猜想命題成立，③當時，證明猜想成立。20、（1）π6；（2）3π4；（3）q=49，【解題分析】

(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，設平面A1ACC1的法向量為n=(x,y，z)，則n(2)在(1)的條件下，平面A1ACC1的法向量為n=(1,0，1)，取平面ABC的法向量m=(0,0，(3)作CM⊥AB，M為垂足.由B1C⊥平面ABC.可得B1C⊥AB，AB⊥平面MCB作CG⊥MB1，垂足為G，則CG⊥平面ABB1.利用三角形面積計算公式、勾股定理及其CG=pCA【題目詳解】解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，C(0,0，0)，B1(0,0，1)，A(0,-1,0)，CA=(0,-1,0)，CC1=(-1,0，設平面A1ACC1的法向量為n=(x,y∴-y=-x+z=0，取x=1，則n=(1,0，1)cos<∴直線AB1與平面A1(2)在(1)的條件下，平面A1ACC1的法向量為取平面ABC的法向量m=(0,0，1)則cos<由圖可知：二面角A1∴二面角A1-AC-B的平面角為(3)作