2024屆江蘇省淮安市清江中學(xué)等四校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2024屆江蘇省淮安市清江中學(xué)等四校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．小紅和小明利用體育課時(shí)間進(jìn)行投籃游戲，規(guī)定雙方各投兩次，進(jìn)球次數(shù)多者獲勝．已知小紅投籃命中的概率為，小明投籃命中的概率為，且兩人投籃相互獨(dú)立，則小明獲勝的概率為（）A． B． C． D．2．已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，滿足，則（）A． B． C． D．3．設(shè)是兩個(gè)平面向量，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，使得平面⊥平面，形成三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為()A． B．C． D．5．設(shè)函數(shù)的定義域A，函數(shù)的值域?yàn)锽，則（）A． B． C． D．6．由數(shù)字0，1，2，3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字且能被3整除的非一位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．12 B．20 C．30 D．317．古印度“漢諾塔問(wèn)題”：一塊黃銅平板上裝著A,B,C三根金銅石細(xì)柱，其中細(xì)柱A上套著個(gè)大小不等的環(huán)形金盤，大的在下、小的在上.將這些盤子全部轉(zhuǎn)移到另一根柱子上，移動(dòng)規(guī)則如下：一次只能將一個(gè)金盤從一根柱子轉(zhuǎn)移到另外一根柱子上，不允許將較大盤子放在較小盤子上面.若A柱上現(xiàn)有3個(gè)金盤（如圖），將A柱上的金盤全部移到B柱上，至少需要移動(dòng)次數(shù)為（）A．5 B．7 C．9 D．118．已知集合，現(xiàn)從這兩個(gè)集合中各取出一個(gè)元素組成一個(gè)新的雙元素集合，則可以組成這樣的新集合的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．9．某班數(shù)學(xué)課代表給全班同學(xué)出了一道證明題.甲說(shuō)：“丙會(huì)證明.”乙說(shuō)：“我不會(huì)證明.”丙說(shuō)：“丁會(huì)證明.”丁說(shuō)：“我不會(huì)證明.”以上四人中只有一人說(shuō)了真話，只有一人會(huì)證明此題.根據(jù)以上條件，可以判定會(huì)證明此題的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是A． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)z=1+i1-i(i是虛數(shù)單位)，則A．-i B．-1 C．i D．12．設(shè)命題：，，則為（）A．， B．，C．， D．，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上兩點(diǎn)，若,則____________．14．已知函數(shù)，則_____15．設(shè)是定義在上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則__________．16．已知，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.18．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的值及函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.19．（12分）年春節(jié)期間，某服裝超市舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，消費(fèi)每超過(guò)元（含元），均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球個(gè)，黑球個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，一次性摸出個(gè)球，其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到個(gè)紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出個(gè)紅球則打折，若摸出個(gè)紅球，則打折；若沒(méi)摸出紅球，則不打折.方案二：從裝有個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球個(gè)，黑球個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，有放回每次摸取球，連摸次，每摸到次紅球，立減元.（1）若兩個(gè)顧客均分別消費(fèi)了元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客消費(fèi)恰好滿元，試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？20．（12分）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若，試用表示.21．（12分）已知函數(shù).(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)若直線為函數(shù)的切線，求的最小值.22．（10分）如圖，切于點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，,垂足為.（1）證明：（2）若,，求圓的直徑.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由題意可知，用表示小明、小紅的進(jìn)球數(shù)，所以當(dāng)小明獲勝時(shí)，進(jìn)球情況應(yīng)該是，由相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，即可求得?！绢}目詳解】由題意可知，用表示小明、小紅的進(jìn)球數(shù)，所以當(dāng)小明獲勝時(shí)，進(jìn)球情況應(yīng)該是，小明獲勝的概率是故選D?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生分類討論思想意識(shí)以及運(yùn)算能力。2、D【解題分析】分析：通過(guò)計(jì)算前幾項(xiàng)，可得n=3，4，…，2018，數(shù)列以3為周期的數(shù)列，計(jì)算可得所求和．詳解：定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x），可得f（﹣x）=﹣f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，滿足，可得x＞時(shí)，f（x）=f（x﹣3），則f（1）=﹣log25，f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，f（3）=f（0）=0，f（4）=f（1）=﹣log25，f（5）=f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，f（6）=f（3）=f（0）=0，f（7）=f（4）=f（1）=﹣log25，f（8）=f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，…f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）=﹣log25+log25+（0﹣log25+log25）×672=0，故選：D．點(diǎn)睛：歸納推理的一般步驟:一、通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問(wèn)題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.3、A【解題分析】

由，則是成立的；反之，若，而不一定成立，即可得到答案.【題目詳解】由題意是兩個(gè)平面向量，若，則是成立的；反之，若，則向量可能是不同的，所以不一定成立，所以是是成立的充分而不必要條件，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的概念以及向量模的概念的應(yīng)用，以及充分條件與必要條件的判定，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】取BD的中點(diǎn)E，連結(jié)CE，AE，∵平面ABD⊥平面CBD，∴CE⊥AE，∴三角形直角△CEA是三棱錐的側(cè)視圖，∵BD=,∴CE=AE=，∴△CEA的面積S=××=，故選C.5、B【解題分析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出，取交集即可．【題目詳解】，，解得：，而單調(diào)遞增，故值域：，，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查定義域值域的求法，考查交集等基本知識(shí)，是基礎(chǔ)題6、D【解題分析】

分成兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)三種情況，利用所有數(shù)字之和是的倍數(shù)，計(jì)算出每種情況下的方法數(shù)然后相加，求得所求的方法總數(shù).【題目詳解】?jī)晌粩?shù)：含數(shù)字1，2的數(shù)有個(gè)，或含數(shù)字3，0的數(shù)有1個(gè).三位數(shù)：含數(shù)字0，1，2的數(shù)有個(gè)，含數(shù)字1，2，3有個(gè).四位數(shù)：有個(gè).所以共有個(gè).故選D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查分類加法計(jì)數(shù)原理，考查一個(gè)數(shù)能被整除的數(shù)字特征，考查簡(jiǎn)單的排列組合計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】

設(shè)細(xì)柱A上套著n個(gè)大小不等的環(huán)形金盤，至少需要移動(dòng)次數(shù)記為an，則a【題目詳解】設(shè)細(xì)柱A上套著n個(gè)大小不等的環(huán)形金盤，至少需要移動(dòng)次數(shù)記為an要把最下面的第n個(gè)金盤移到另一個(gè)柱子上，則必須把上面的n-1個(gè)金盤移到余下的一個(gè)柱子上，故至少需要移動(dòng)an-1把第n個(gè)金盤移到另一個(gè)柱子上后，再把n-1個(gè)金盤移到該柱子上，故又至少移動(dòng)an-1次，所以aa1=1，故a2【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，要求根據(jù)問(wèn)題情境構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，從而解決與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.8、C【解題分析】分析：根據(jù)解元素的特征可將其分類為：集合中有5和沒(méi)有5兩類進(jìn)行分析即可.詳解：第一類：當(dāng)集合中無(wú)元素5：種，第二類：當(dāng)集合中有元素5：種，故一共有14種，選C點(diǎn)睛：本題考查了分類分步計(jì)數(shù)原理，要做到分類不遺漏，分步不重疊是解題關(guān)鍵.9、B【解題分析】如果甲會(huì)證明，乙與丁都說(shuō)了真話，與四人中只有一人說(shuō)了真話相矛盾，不合題意；排除選項(xiàng)；如果丙會(huì)證明，甲乙丁都說(shuō)了真話，與四人中只有一人說(shuō)了真話相矛盾，不合題意，排除選項(xiàng)；如果丁會(huì)證明，丙乙都說(shuō)了真話，與四人中只有一人說(shuō)了真話相矛盾，不合題意，排除選項(xiàng)，故選B.10、B【解題分析】

根據(jù)題意可知，利用參數(shù)分離的方法求出使命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題的的取值范圍，的取值范圍構(gòu)成的集合應(yīng)為正確選項(xiàng)的真子集，從而推出正確結(jié)果．【題目詳解】命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題根據(jù)選項(xiàng)滿足是的必要不充分條件只有，故答案選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了簡(jiǎn)單的不等式恒成立問(wèn)題以及求一個(gè)命題的必要不充分條件．11、D【解題分析】

先利用復(fù)數(shù)的除法將復(fù)數(shù)z表示為一般形式，于是可得出復(fù)數(shù)z的虛部?！绢}目詳解】∵z=1+i1-i=1+i21-i1+i【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的概念，解決復(fù)數(shù)問(wèn)題，一般利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算律將復(fù)數(shù)表示為一把形式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。12、D【解題分析】分析：直接利用特稱命題的否定解答.詳解：由特稱命題的否定得為：，，故答案為：D.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查特稱命題的否定，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.(2)特稱命題,特稱命題的否定.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、12【解題分析】分析：過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，在直角三角形中，求得，進(jìn)而得直線的斜率為，所以直線的方程，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得答案．詳解：過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)，則，因?yàn)椋裕谥苯侨切沃校?所以，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，將其代入拋物線的方程可得，解得，所以點(diǎn)，又由，所以所以．點(diǎn)睛：本題主要考查了主要了直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，同時(shí)涉及到共線向量和解三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義作出直角三角形，確定直線的斜率，得出直線的方程，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想和推理與運(yùn)算能力．14、【解題分析】分析：求出f′（1）=﹣1，再根據(jù)定積分法則計(jì)算即可．詳解：∵f（x）=f'（1）x2+x+1，∴f′（x）=2f'（1）x+1，∴f′（1）=2f'（1）+1，∴f′（1）=﹣1，∴f（x）=﹣x2+x+1，∴=（﹣x3+x2+x）=.故答案為.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了積分的應(yīng)用，注意積分并不等于面積，解決積分問(wèn)題的常見方法有：面積法，當(dāng)被積函數(shù)為正時(shí)積分和面積相等，當(dāng)被積函數(shù)為負(fù)時(shí)積分等于面積的相反數(shù)；應(yīng)用公式直接找原函數(shù)的方法；利用被積函數(shù)的奇偶性得結(jié)果.15、【解題分析】試題分析：考點(diǎn)：1.函數(shù)的性質(zhì)；2.周期函數(shù).16、180【解題分析】，，，故答案為.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于中檔題.二項(xiàng)展開式定理的問(wèn)題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）由于，計(jì)算出再通過(guò)正弦定理即得答案；（Ⅱ）可先求出，然后利用和差公式即可求得答案.【題目詳解】（Ⅰ）解：，且，∴，又，∴，由正弦定理,得，∴的值為.（Ⅱ）由題意可知，，∴,.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角恒等變換，正弦定理的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的分析能力，計(jì)算能力，難度不大.18、（Ⅰ），最小正周期為；（Ⅱ）2.【解題分析】

（Ⅰ）整理，得，由周期公式可得解；（Ⅱ）由已知可得，所以，問(wèn)題得解.【題目詳解】（Ⅰ）∵，∴，∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵，則，∴，∴的最大值為2.【題目點(diǎn)撥】本題考查了輔助角公式和三角函數(shù)周期公式，考查了整體法求三角函數(shù)的值域，屬于中檔題.19、（1）；（2）選擇第一種抽獎(jiǎng)方案更合算.【解題分析】

（1）選擇方案一，利用積事件的概率公式計(jì)算出兩位顧客均享受到免單的概率；（2）選擇方案一，計(jì)算所付款金額的分布列和數(shù)學(xué)期望值，選擇方案二，計(jì)算所付款金額的數(shù)學(xué)期望值，比較得出結(jié)論.【題目詳解】（1）選擇方案一若享受到免單優(yōu)惠，則需要摸出三個(gè)紅球，設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件，則，所以兩位顧客均享受到免單的概率為；（2）若選擇方案一，設(shè)付款金額為元，則可能的取值為、、、.，，，.故的分布列為，所以（元）.若選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為，付款金額為，則，由已知可得，故，所以（元）.因?yàn)椋栽擃櫩瓦x擇第一種抽獎(jiǎng)方案更合算.【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機(jī)變量分布列與數(shù)學(xué)期望，同時(shí)也考查了二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，解題時(shí)要明確隨機(jī)變量所滿足的分布列類型，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20、(1)(2)【解題分析】

（1）由題意列方程組，求解方程組即可得解；（2）由直線和橢圓聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)定理求表示即可.【題目詳解】（1）由題意解得故橢圓C的方程為．（2）設(shè)A(x1，y1)，B(x2