2024屆安徽省黃山市徽州區(qū)一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆安徽省黃山市徽州區(qū)一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知的邊上有一點滿足，則可表示為()A． B．C． D．2．已知兩個復(fù)數(shù),的實部和虛部都是正整數(shù),關(guān)于代數(shù)式有以下判斷:①最大值為2；②無最大值;③最小值為；④無最小值.其中正確判斷的序號是（）A．①③ B．①④ C．②④ D．②③3．在高臺跳水運動中，時相對于水面的高度（單位：）是，則該高臺跳水運動員在時瞬時速度的大小為（）A． B． C． D．4．設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集，若對任意，都有，則稱S為封閉集．下列命題：①集合為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足的任意集合T也是封閉集.其中真命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．45．名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績分別為如，，，…，，要研究這名學(xué)生成績的平均波動情況，則最能說明問題的是（）A．頻率 B．平均數(shù) C．獨立性檢驗 D．方差6．在中，，則的形狀為（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形7．已知函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值，則等于（）A．-3 B．2 C．3 D．88．如圖，四棱錐中，底面是矩形，平面，且，點是上一點，當(dāng)二面角為時，（）A． B． C． D．19．函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)可能為（）A． B．C． D．10．下列關(guān)于“頻率”和“概率”的說法中正確的是（）（1）在大量隨機試驗中，事件出現(xiàn)的頻率與其概率很接近；（2）概率可以作為當(dāng)實驗次數(shù)無限增大時頻率的極限；（3）計算頻率通常是為了估計概率．A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）11．設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．12．已知，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)y=fx的圖象在點M2,f2處的切線方程是y=x+4，則14．已知等比數(shù)列是函數(shù)的兩個極值點，則____15．觀察下面一組等式：，，，，根據(jù)上面等式猜測，則__________．16．西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個特例：勾三，股四，弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個數(shù)中隨機抽取3個數(shù)，則這3個數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的零點個數(shù)；（2）若，使得，求實數(shù)m的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)，（其中,為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若分別是的極大值點和極小值點，且，求證：.20．（12分）已知.（1）求的解集；（2）設(shè)，求證：.21．（12分）某中學(xué)一名數(shù)學(xué)老師對全班50名學(xué)生某次考試成績分男女生進(jìn)行了統(tǒng)計,其中120分(含120分)以上為優(yōu)秀,繪制了如下的兩個頻率分布直方圖:（1）根據(jù)以上兩個直方圖完成下面的列聯(lián)表:成績性別優(yōu)秀不優(yōu)秀合計男生女生總計（2）根據(jù)(1)中表格的數(shù)據(jù)計算,你有多大把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與性別之間有關(guān)系?2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280.150.100.050.0250.0100.0050.001（3）若從成績在[130,140]的學(xué)生中任取2人,求取到的2人中至少有1名女生的概率.22．（10分）已知數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由，結(jié)合題中條件即可得解.【題目詳解】由題意可知.故選D.【題目點撥】本題主要考查了平面向量的基本定理，熟練掌握向量的加減法及數(shù)乘運算是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

設(shè)兩個復(fù)數(shù),,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點,利用平面向量的加法的幾何意義以及平面向量的數(shù)量積可以判斷出的最值情況.【題目詳解】設(shè)兩個復(fù)數(shù),,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點,因此有：因為,復(fù)數(shù),的實部和虛部都是正整數(shù),所以,(當(dāng)且僅當(dāng)),故,假設(shè)有最小值,則,顯然對于也成立,于是有這與相矛盾,故不存在最小值；對任意正整數(shù),,,,故沒有最大值,因此②④說法正確.故選：C【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)的向量表示,考查了平面向量的數(shù)量積的計算,考查了數(shù)學(xué)運算能力.3、C【解題分析】

根據(jù)瞬時速度就是的導(dǎo)數(shù)值即可求解.【題目詳解】由，則，當(dāng)時，.故選：C【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

由題意直接驗證①的正誤；令x＝y(tǒng)可推出②是正確的；舉反例集合S＝{0}判斷③錯誤；S＝{0}，T＝{0，1}，推出﹣1不屬于T，判斷④錯誤．【題目詳解】解：由a，b，c，d為整數(shù)，可得（a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i∈S；（a+bi）﹣（c+di）＝（a﹣c）+（b﹣d）i∈S；（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（bc+ad）i∈S；集合S＝{a+bi|（a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）}為封閉集，①正確；當(dāng)S為封閉集時，因為x﹣y∈S，取x＝y(tǒng)，得0∈S，②正確；對于集合S＝{0}，顯然滿足所有條件，但S是有限集，③錯誤；取S＝{0}，T＝{0，1}，滿足S?T?C，但由于0﹣1＝﹣1不屬于T，故T不是封閉集，④錯誤．故正確的命題是①②，故選B．【題目點撥】本題是新定義題，考查對封閉集概念的深刻理解，對邏輯思維能力的要求較高.5、D【解題分析】分析：直接根據(jù)頻率、平均數(shù)、獨立性檢驗、方差的基本定義判斷即可.詳解：因為頻率表示可能性大小，錯；平均數(shù)表示平均水平的高低，錯；獨立性檢驗主要指兩個變量相關(guān)的可能性大小，錯；方差表示分散與集中程度以及波動性的大小，對，故選D.點睛：本題主要考查頻率、平均數(shù)、獨立性檢驗、方差的基本定義，屬于簡單題.6、B【解題分析】

利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，進(jìn)而利用余弦定理化簡整理求得a2+b2=c2，根據(jù)勾股定理判斷出三角形為直角三角形．【題目詳解】因為,，所以，有．整理得，故,的形狀為直角三角形．故選：B．【題目點撥】余弦的二倍角公式有三個，要根據(jù)不同的化簡需要進(jìn)行選?。谂袛嗳切涡螤畹姆椒ㄖ?，一般有，利用正余弦定理邊化角，角化邊，尋找關(guān)系即可7、C【解題分析】

配湊成可用基本不等式的形式。計算出最值與取最值時的x值。【題目詳解】當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，即【題目點撥】在使用均值不等式時需注意“一正二定三相等”缺一不可。8、A【解題分析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個法向量為，由于，所以，即，又平面的一個法向量是且，解之得，應(yīng)選答案A．9、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的符號，然后結(jié)合所給的四個選項進(jìn)行分析、判斷后可得正確的結(jié)論．【題目詳解】由圖象可知，函數(shù)在時是增函數(shù)，因此其導(dǎo)函數(shù)在時，有（即函數(shù)的圖象在軸上方），因此排除A、C．從原函數(shù)圖象上可以看出在區(qū)間上原函數(shù)是增函數(shù)，所以，在區(qū)間上原函數(shù)是減函數(shù)，所以；在區(qū)間上原函數(shù)是增函數(shù)，所以．所以可排除C．故選D．【題目點撥】解題時注意導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，即函數(shù)遞增（減）時導(dǎo)函數(shù)的符號大（?。┯诹?，由此可判斷出導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的相對位置，從而得到導(dǎo)函數(shù)圖象的大體形狀．10、D【解題分析】

利用頻率和概率的定義分析判斷得解.【題目詳解】（1）在大量隨機試驗中，事件出現(xiàn)的頻率與其他概率很接近，所以該命題是真命題；（2）概率可以作為當(dāng)實驗次數(shù)無限增大時頻率的極限，所以該命題是真命題；（3）計算頻率通常是為了估計概率，所以該命題是真命題.故選D【題目點撥】本題主要考查頻率和概率的關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.11、A【解題分析】

準(zhǔn)確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率．【題目詳解】設(shè)與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點在圓上，，即．，故選A．【題目點撥】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．12、C【解題分析】

根據(jù)二項分布求對應(yīng)概率【題目詳解】，所以選C.【題目點撥】本題考查二項分布，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7.【解題分析】試題分析：由函數(shù)y=f(x)的圖象在點M(2,f(2))處的切線方程是y=x+4，則f'(2)=1，且f(2)=2+4=6，所以考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義．14、或【解題分析】

求導(dǎo)后根據(jù)是方程的兩根，由韋達(dá)定理，列出兩根的關(guān)系式，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求.【題目詳解】因為，又是函數(shù)f(x)的兩個極值點，則是方程的根，所以，所以解得或.故答案為-2或2.【題目點撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點的問題，考查了韋達(dá)定理和等比數(shù)列的性質(zhì)的運用，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】由已知可得，因此，從而．點睛：歸納推理是通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質(zhì)，從已知相同本質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題，本題是數(shù)的歸納，它包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系有關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等．16、【解題分析】

由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可【題目詳解】從11個數(shù)中隨機抽取3個數(shù)有種不同的方法，其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共三種，所以，所求概率為.故答案為【題目點撥】本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化，考查組合問題，數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分別在區(qū)間上各存在一個零點，函數(shù)存在兩個零點.（2）【解題分析】

（1）求出的導(dǎo)數(shù)并判斷其單調(diào)性，再根據(jù)零點存在定理取幾個特殊值判斷出零點的個數(shù)。（2）假設(shè)對任意恒成立，轉(zhuǎn)化成對任意恒成立.令，則.討論其單調(diào)性?！绢}目詳解】（1），即，則，令解得.當(dāng)在上單調(diào)遞減；當(dāng)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，.因為，所以.又，，所以，，所以分別在區(qū)間上各存在一個零點，函數(shù)存在兩個零點.（2）假設(shè)對任意恒成立，即對任意恒成立.令，則.①當(dāng)，即時，且不恒為0，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，所以對任意恒成立.故不符合題意；②當(dāng)時，令，得；令，得.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時，存在，使，即.故符合題意.綜上可知，實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在定理，屬于中等題。18、（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）【解題分析】

1利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；2先分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為在恒成立利用導(dǎo)數(shù)求最值即可求解．【題目詳解】（1），，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）．令，則在恒成立．，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．所以的最大值在時取得，．所以．【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，分離參數(shù)，屬于基礎(chǔ)問題基礎(chǔ)方法．19、(1)見解析；(2)證明見解析【解題分析】

（1）討論，和三種情況，分別計算得到答案.（2）根據(jù)題意知等價于，設(shè)，計算得到使，計算得到得到證明.【題目詳解】（1）當(dāng)時，，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；時，，①時，由解得或；由解得，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是②時，由解得；由解得或，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和；綜上所述：時，單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；時，單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；時，單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和；（2）由已知和（1）得，當(dāng)時滿足題意，此時，，令，則.令則恒成立，在上單調(diào)遞增，使，即從而當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，【題目點撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，將不等式等價于是解題的關(guān)鍵.20、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）利用零點分段法，寫出的分段函數(shù)形式，分類討論求解即可（2）根據(jù)，，利用作差法即可求證【題目詳解】（1）當(dāng)時，由，得，解得，所以；當(dāng)時，，成立；當(dāng)時，由，得，解得，所以.綜上，的解集.（2）證明：因為