2024屆浙江省衢州市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2024屆浙江省衢州市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個(gè)分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是（）A． B．C． D．2．復(fù)數(shù)的虛部是（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣13．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，反設(shè)正確的是()A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60° B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60°C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60° D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°4．已知集合，，則集合（）A． B． C． D．5．下面是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，且的部分過(guò)程：“……，假設(shè)當(dāng)時(shí)，＋＋…＋，故當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)?，故＋＋…＋，……”，則橫線處應(yīng)該填（）A．＋＋…＋+＜，B．＋＋…＋，C．2＋＋…＋+，D．2＋＋…＋，6．為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩個(gè)同學(xué)各自獨(dú)立做了15次和20次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線為l1和l2，已知在兩人的試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值恰好相等，都為s，對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值也恰好相等，都為t，那么下列說(shuō)法正確的是()A．直線l1和直線l2有交點(diǎn)(s，t) B．直線l1和直線l2相交，但交點(diǎn)未必是點(diǎn)(s，t)C．直線l1和直線l2必定重合 D．直線l1和直線l2由于斜率相等，所以必定平行7．若函數(shù)至少有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．8．若f(x)=ax2+bx+c(c≠0)是偶函數(shù),則g(x)=ax3+bx2+cx()A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)9．在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（）A．10 B．15 C．20 D．2510．已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27，，則A．100 B．99 C．98 D．9711．已知向量，，且，則等于（）．A． B． C． D．12．在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(-1,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（）附：若X～N(μ,σ2)，則PA．1193 B．1359 C．2718 D．3413二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量與，則的最小值是__________.14．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則取得最小值的值為_(kāi)_______．15．為定義在上的奇函數(shù)，且，則_____．16．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知a>0，a≠1，設(shè)p：函數(shù)y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，q：函數(shù)y＝x2＋(2a－3)x＋1的圖像與x軸交于不同的兩點(diǎn)．如果p∨q真，p∧q假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．（12分）某單位為了了解用電量(度)與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表，由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程，其中.現(xiàn)預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為－時(shí)，用電量的度數(shù)約為多少？用電量(度)24343864氣溫181310-119．（12分）大型水果超市每天以元/千克的價(jià)格從水果基地購(gòu)進(jìn)若干水果，然后以元/千克的價(jià)格出售，若有剩余，則將剩余的水果以元/千克的價(jià)格退回水果基地，為了確定進(jìn)貨數(shù)量，該超市記錄了水果最近天的日需求量（單位：千克），整理得下表：日需求量頻數(shù)以天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率.（1）求該超市水果日需求量（單位：千克）的分布列；（2）若該超市一天購(gòu)進(jìn)水果千克，記超市當(dāng)天水果獲得的利潤(rùn)為（單位：元），求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.20．（12分）某城市理論預(yù)測(cè)2010年到2014年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如下表所示年份2010+x（年）01234人口數(shù)y（十萬(wàn)）5781119(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)據(jù)此估計(jì)2015年該城市人口總數(shù)．21．（12分）已知.（Ⅰ）計(jì)算的值；（Ⅱ）若，求中含項(xiàng)的系數(shù)；（Ⅲ）證明：.22．（10分）已知函數(shù),函數(shù)⑴當(dāng)時(shí),求函數(shù)的表達(dá)式;⑵若,函數(shù)在上的最小值是2,求的值;⑶在⑵的條件下,求直線與函數(shù)的圖象所圍成圖形的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

在頻率等高條形圖中，與相差很大時(shí)，我們認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系，即可得出結(jié)論．【題目詳解】在頻率等高條形圖中，與相差很大時(shí)，我們認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系，四個(gè)選項(xiàng)中，即等高的條形圖中x1，x2所占比例相差越大，則分類變量x，y關(guān)系越強(qiáng)，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)內(nèi)容，使用頻率等高條形圖，可以粗略的判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，是基礎(chǔ)題2、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出．【題目詳解】解：∵復(fù)數(shù)，∴復(fù)數(shù)的虛部是﹣1，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】

“至少有一個(gè)”的否定變換為“一個(gè)都沒(méi)有”，即可求出結(jié)論.【題目詳解】“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，反設(shè)是假設(shè)三內(nèi)角都大于.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查反證法的概念，注意邏輯用語(yǔ)的否定，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

由并集的定義求解即可.【題目詳解】由題,則,故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的并集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

由歸納假設(shè)，推得的結(jié)論，結(jié)合放縮法，便可以得出結(jié)論．【題目詳解】假設(shè)當(dāng)時(shí)，＋＋…＋，故當(dāng)時(shí)，＋＋…＋+＜，因?yàn)?，＋＋…＋，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的步驟，以及放縮法的運(yùn)用，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力．6、A【解題分析】

根據(jù)回歸直線過(guò)樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，并結(jié)合回歸直線的斜率來(lái)進(jìn)行判斷?！绢}目詳解】由于回歸直線必過(guò)樣本的數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，則回歸直線和回歸直線都過(guò)點(diǎn)，做了兩次試驗(yàn)，兩條回歸直線的斜率沒(méi)有必然的聯(lián)系，若斜率不相等，則兩回歸直線必交于點(diǎn)，若斜率相等，則兩回歸直線重合，所以，A選項(xiàng)正確，B、C、D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸直線的性質(zhì)，考查“回歸直線過(guò)樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)”這個(gè)結(jié)論，同時(shí)也要抓住回歸直線的斜率來(lái)理解，考查分析理解能力，屬于基礎(chǔ)題。7、C【解題分析】

令，則函數(shù)至少有1個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)至少有1個(gè)零點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論和時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，以及最值的情況，即可求出滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍?！绢}目詳解】由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?；令，則，函數(shù)至少有1個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)至少有1個(gè)零點(diǎn)；；（1）當(dāng)時(shí)，則在上恒成立，即函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)定理可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；（2）當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以要使函數(shù)至少有1個(gè)零點(diǎn)，則，解得：綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是：故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及最值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題。8、A【解題分析】若f(x)=ax2+bx+c(c≠0)是偶函數(shù),則,則是奇函數(shù)，選A.9、B【解題分析】分析：利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出的第項(xiàng)，令的指數(shù)為2求出展開(kāi)式中的系數(shù)．然后求解即可．詳解：6展開(kāi)式中通項(xiàng)

令可得，，

∴展開(kāi)式中x2項(xiàng)的系數(shù)為1，

在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為：1．

故選：B．點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)的簡(jiǎn)單直接應(yīng)用．牢記公式是基礎(chǔ)，計(jì)算準(zhǔn)確是關(guān)鍵．10、C【解題分析】試題分析：由已知，所以故選C.【考點(diǎn)】等差數(shù)列及其運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說(shuō)數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問(wèn)題是一種行之有效的方法.11、B【解題分析】

由向量垂直可得，求得x，及向量的坐標(biāo)表示，再利用向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算和向量模的坐標(biāo)運(yùn)算可求得模.【題目詳解】由，可得，代入坐標(biāo)運(yùn)算可得x-4=0，解得x=4,所以，得=5，選B.【題目點(diǎn)撥】求向量的模的方法：一是利用坐標(biāo)，二是利用性質(zhì)，結(jié)合向量數(shù)量積求解.12、B【解題分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)可得，圖中陰影部分的面積S=0.9545-0.6827則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N(-1,1)的密度曲線）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：關(guān)于正態(tài)曲線在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

,所以，所以，故當(dāng)時(shí)，的最小值是.考點(diǎn)：向量的模點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的模的最值，解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確的表示出模的函數(shù)，再求解最值.14、2【解題分析】

求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，求出的表達(dá)式，然后利用基本不等式求出的最小值并求出等號(hào)成立時(shí)的值，于此可得出答案．【題目詳解】設(shè)等等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，，所以，，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，但，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)或時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，因此，當(dāng)時(shí)，取最小值，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的求和公式，考查基本不等式與雙勾函數(shù)求最值，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件，在等號(hào)不成立時(shí)，則應(yīng)考查雙勾函數(shù)的單調(diào)性求解，考查分析能力與計(jì)算能力，屬于中等題．15、【解題分析】

根據(jù)已知將x=x+2代入等式可得，可知為周期T=4的周期函數(shù)，化簡(jiǎn)，再由奇函數(shù)的性質(zhì)可得其值．【題目詳解】由題得，則有，因?yàn)闉槎x在R上的奇函數(shù)，那么，則，故.【題目點(diǎn)撥】本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)和周期函數(shù)，屬于常見(jiàn)考題．16、【解題分析】

由復(fù)數(shù)乘法法則即可計(jì)算出結(jié)果【題目詳解】.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算，只需按照計(jì)算法則即可得到結(jié)果，較為簡(jiǎn)單三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、[，1)∪(，＋∞)．【解題分析】

先求出當(dāng)命題p，q為真命題時(shí)的取值范圍，由p∨q真，p∧q假可得p與q一真一假，由此可得關(guān)于的不等式組，解不等式組可得結(jié)論．【題目詳解】當(dāng)命題p為真，即函數(shù)y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減時(shí)，可得．當(dāng)命題q為真，即函數(shù)y＝x2＋(2a－3)x＋1的圖像與x軸交于不同的兩點(diǎn)，可得，解得，又，所以當(dāng)q為真命題時(shí)，有．∵p∨q為真，p∧q為假，∴p與q一真一假．①若p真q假，則，解得；②若p假q真，則，解得．綜上可得或．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，1)∪(，＋∞)．【題目點(diǎn)撥】根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍的步驟：(1)求出當(dāng)命題p，q為真命題時(shí)所含參數(shù)的取值范圍；(2)判斷命題p，q的真假性；(3)根據(jù)命題的真假情況，利用集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，求解參數(shù)的取值范圍．18、.【解題分析】分析：先求均值，代入求得，再求自變量為-4所對(duì)應(yīng)函數(shù)值即可.詳解：由題意可知＝(18＋13＋10－1)＝10，＝(24＋34＋38＋64)＝40，＝－2.又回歸方程＝－2x＋過(guò)點(diǎn)(10,40)，故＝60.所以當(dāng)x＝－4時(shí)，＝－2×(－4)＋60＝68.故當(dāng)氣溫為－4℃時(shí)，用電量的度數(shù)約為68度．點(diǎn)睛：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.事實(shí)上，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系.如果線性相關(guān)，則直接根據(jù)用公式求，寫(xiě)出回歸方程，回歸直線方程恒過(guò)點(diǎn).19、(1)分布列見(jiàn)解析.(2)分布列見(jiàn)解析；元．【解題分析】分析：（1）根據(jù)表格得到該超市水果日需求量（單位：千克）的分布列；（2）若A水果日需求量為140千克，則X=140×（15﹣10）﹣（150﹣140）×（10﹣8）=680元，則P（X=680）==0.1．若A水果日需求量不小于150千克，則X=150×（15﹣10）=750元，且P（X=750）=1﹣0.1=0.2．由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．詳解：（1）的分布列為（2）若水果日需求量為千克，則元，且.若水果日需求量不小于千克，則元，且.故的分布列為元.點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是:“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見(jiàn)的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對(duì)立事件的概率公式等），求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫(xiě)分布列”，即按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見(jiàn)的典型分布(如二項(xiàng)分布X～B(n，p))，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.20、（1）；（2）196萬(wàn).【解題分析】試題分析：（1）先求出五對(duì)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，求出年份和人口數(shù)的平均數(shù)，得到樣本中心點(diǎn)，把所給的數(shù)據(jù)代入公式，利用最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，再求出a的值，從而得到線性回歸方程；（2）把x=5代入線