湖北省黃岡市羅田縣第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

湖北省黃岡市羅田縣第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．2．已知兩條不同直線a、b，兩個(gè)不同平面、，有如下命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，，則以上命題正確的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．03．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底），若方程有且僅有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A． B． C． D．4．設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)a+i1+i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為A．-1B．1C．-2D．25．不等式的解集是()A．或 B．C．或 D．6．已知函數(shù)，若有且僅有兩個(gè)整數(shù)，使得，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知復(fù)平面內(nèi)的圓：，若為純虛數(shù)，則與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（）A．必在圓外 B．必在上 C．必在圓內(nèi) D．不能確定8．如圖所示，這是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)f(x)＝ax，其中a>0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在y軸上，那么f(x1)·f(x2)等于()A．1 B．a(chǎn) C．2 D．a(chǎn)210．已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示：123450.10.20.20.1則的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．在三棱錐P-ABC中，，，，若過AB的平面將三棱錐P-ABC分為體積相等的兩部分，則棱PA與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．對(duì)于，，規(guī)定，集合，則中的元素的個(gè)數(shù)為__________．14．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，有下列五個(gè)命題：①若，與平面，都平行，則；②若，，，則；③若，，則；④若，，則；⑤若，，，則.其中所有真命題的序號(hào)是________.15．現(xiàn)有個(gè)大人，個(gè)小孩站一排進(jìn)行合影.若每個(gè)小孩旁邊不能沒有大人，則不同的合影方法有__________種．（用數(shù)字作答）16．的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)為_________。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（1）證明：；（2）若，且的面積為，求.18．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．19．（12分）已知的展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128.（1）求展開式中的有理項(xiàng)；（2）求展開后所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和.20．（12分）已知函數(shù).（1）若在處的切線與軸平行，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.21．（12分）隨著社會(huì)的進(jìn)步與發(fā)展，中國的網(wǎng)民數(shù)量急劇增加.下表是中國從年網(wǎng)民人數(shù)及互聯(lián)網(wǎng)普及率、手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)（單位：億）及手機(jī)網(wǎng)民普及率的相關(guān)數(shù)據(jù).年份網(wǎng)民人數(shù)互聯(lián)網(wǎng)普及率手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)手機(jī)網(wǎng)民普及率2009201020112012201320142015201620172018（互聯(lián)網(wǎng)普及率（網(wǎng)民人數(shù)/人口總數(shù)）×100%；手機(jī)網(wǎng)民普及率（手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)/人口總數(shù)）×100%）（Ⅰ）從這十年中隨機(jī)選取一年，求該年手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)占網(wǎng)民總?cè)藬?shù)比值超過80%的概率；（Ⅱ）分別從網(wǎng)民人數(shù)超過6億的年份中任選兩年，記為手機(jī)網(wǎng)民普及率超過50%的年數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）若記年中國網(wǎng)民人數(shù)的方差為，手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)的方差為，試判斷與的大小關(guān)系.（只需寫出結(jié)論）22．（10分）對(duì)某種書籍的成本費(fèi)（元）與印刷冊(cè)數(shù)（千冊(cè)）的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.表中.為了預(yù)測(cè)印刷20千冊(cè)時(shí)每?jī)?cè)的成本費(fèi)，建立了兩個(gè)回歸模型：.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，擬認(rèn)為選擇哪個(gè)模型預(yù)測(cè)更可靠?（只選出模型即可）（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)和（1）中的模型選擇，求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)印刷20千冊(cè)時(shí)每?jī)?cè)的成本費(fèi).附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，即可求出結(jié)果.【題目詳解】.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.2、C【解題分析】

直接利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系逐一判定即可得答案．【題目詳解】①若a∥α，b?α，則a與b平行或異面，故①錯(cuò)誤；②若a∥α，b∥α，則a∥b，則a與b平行，相交或異面，故②錯(cuò)誤；③若，a?α，則a與β沒有公共點(diǎn)，即a∥β，故③正確；④若α∥β，a?α，b?β，則a與b無公共點(diǎn)，∴平行或異面，故④錯(cuò)誤．∴正確的個(gè)數(shù)為1．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，考查直線與平面之間的位置關(guān)系，涉及到線面、面面平行的判定與性質(zhì)定理，是基礎(chǔ)題．3、D【解題分析】

首先需要根據(jù)方程特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù),將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，并根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷出函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再轉(zhuǎn)化成方程解的問題，最后利用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化成求切線斜率問題，從而根據(jù)斜率的幾何意義得到解.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，，所以零點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，依題意，方程有兩個(gè)不同的正根，又當(dāng)時(shí)，，所以方程可以化為：，即，記，，設(shè)直線與圖像相切時(shí)的切點(diǎn)為，則切線方程為，過點(diǎn)，所以或（舍棄），所以切線的斜率為，由圖像可以得.選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，突顯了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的考查.屬中檔題.4、A【解題分析】a+i1+i=(a+i)(1-i)5、D【解題分析】

先求解出不等式，然后用集合表示即可。【題目詳解】解：，即，即，故不等式的解集是，故選D?！绢}目點(diǎn)撥】本題是集合問題，解題的關(guān)鍵是正確求解絕對(duì)值不等式和規(guī)范答題。6、B【解題分析】分析：數(shù)，若有且僅有兩個(gè)整數(shù)，使得，等價(jià)于有兩個(gè)整數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值點(diǎn)在，由零點(diǎn)存在定理，列不等式組，從而可得結(jié)果..詳解：因?yàn)樗院瘮?shù)，若有且僅有兩個(gè)整數(shù)，使得，等價(jià)于有兩個(gè)整數(shù)解，設(shè)，令，令恒成立，單調(diào)遞減，又，存在，使遞增，遞減，若解集中的整數(shù)恰為個(gè)，則是解集中的個(gè)整數(shù)，故只需，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查不等式有解問題以及方程根的個(gè)數(shù)問題，屬于難題.不等式有解問題不能只局限于判別式是否為正，不但可以利用一元二次方程根的分布解題，還可以轉(zhuǎn)化為有解（即可）或轉(zhuǎn)化為有解（即可）,另外，也可以結(jié)合零點(diǎn)存在定理，列不等式（組）求解.7、A【解題分析】

設(shè)復(fù)數(shù),再利用為純虛數(shù)求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程,再與圓：比較即可.【題目詳解】由題,復(fù)平面內(nèi)圓：對(duì)應(yīng)的圓是以為圓心,1為半徑的圓.若為純虛數(shù),則設(shè),則因?yàn)闉榧兲摂?shù),可設(shè),.故故,因?yàn)?故.當(dāng)有.當(dāng)時(shí),兩式相除有,化簡(jiǎn)得.故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是.則所有的點(diǎn)都在為圓心,1為半徑的圓外.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的軌跡問題,根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的關(guān)系求解軌跡方程即可.屬于中等題型.8、A【解題分析】由三視圖可知：該幾何體分為上下兩部分，下半部分是長(zhǎng)、寬、高分別為的長(zhǎng)方體，上半部分為底面半徑為1，高為2的兩個(gè)半圓柱，故其體積為，故選A.9、A【解題分析】

由已知可得，再根據(jù)指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得解.【題目詳解】因?yàn)橐訮(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在y軸上，所以.因?yàn)閒(x)＝ax，所以f(x1)·f(x2)=.故答案為：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)和指數(shù)運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.10、A【解題分析】分析：由分布列的性質(zhì)可得，又由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求得數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而可求得．詳解：由分布列的性質(zhì)可得，解得，又由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式可得，隨機(jī)變量的期望為：，所以，故選A．點(diǎn)睛：本題主要考查了隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)即數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，其中熟記隨機(jī)變量的性質(zhì)和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．11、A【解題分析】令g(x)=t,則方程f(t)=λ的解有3個(gè)，由圖象可得，0<λ<1.且三個(gè)解分別為，則，，均有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則△1>0,且△2>0,且△3>0，即16?4(2+5λ)>0且16?4(2+3λ)>0,解得，當(dāng)0<λ<時(shí),△3=16?4(1+4λ?)>0即3?4λ+>0恒成立，故λ的取值范圍為(0,).故選D.點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對(duì)于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)問題常用此方法求解．本題中在結(jié)合函數(shù)圖象分析得基礎(chǔ)上還用到了方程根的分布的有關(guān)知識(shí)．12、A【解題分析】

由題構(gòu)建圖像，由，想到取PC中點(diǎn)構(gòu)建平面ABD，易證得平面ABD，所以PA與平面所成角即為，利用正弦函數(shù)定義，得答案.【題目詳解】如圖所示，取PC中點(diǎn)為D連接AD，BD，因?yàn)檫^AB的平面將三棱錐P-ABC分為體積相等的兩部分，所以即為平面ABD；又因?yàn)?，所以，又，所以，且，所以平面ABD，所以PA與平面所成角即為，因?yàn)?，所以，所以．故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查立體幾何中求線面角，應(yīng)優(yōu)先作圖，找到或證明到線面垂直，即可表示線面角，屬于較難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】分析：由⊕的定義，ab=1分兩類進(jìn)行考慮：a和b一奇一偶，則ab=1；a和b同奇偶，則a+b=1．由a、b∈N*列出滿足條件的所有可能情況，再考慮點(diǎn)（a，b）的個(gè)數(shù)即可詳解：ab=1，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，則ab=1，滿足此條件的有1×1=3×12=4×9，故點(diǎn)（a，b）有6個(gè)；若a和b同奇偶，則a+b=1，滿足此條件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18組，故點(diǎn)（a，b）有35個(gè)，所以滿足條件的個(gè)數(shù)為2個(gè)．故答案為2．點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：列舉法在排列組合中的應(yīng)用，正確理解新定義的含義是解決本題的關(guān)鍵．14、②⑤【解題分析】

根據(jù)相關(guān)定義、定理進(jìn)行研究，也可借助長(zhǎng)方體、正方體等進(jìn)行驗(yàn)證【題目詳解】①當(dāng)時(shí)，與不一定平行，故①錯(cuò)誤；③當(dāng)垂直于與交線時(shí)，才垂直于，故③錯(cuò)誤；④可能在上，故④錯(cuò)誤；故②⑤正確【題目點(diǎn)撥】本題考查利用性質(zhì)、定理判斷直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系15、【解題分析】分析：根據(jù)題意可得可以小孩為對(duì)象進(jìn)行分類討論：第一類：2個(gè)小孩在一起，第二類小孩都不相鄰.分別計(jì)算求和即可得出結(jié)論。詳解：根據(jù)題意可得可以小孩為對(duì)象進(jìn)行分類討論：第一類：2個(gè)小孩在一起:,第二類：小孩都不在一起：，故不同的合影方法有216+144=360種，故答案為360點(diǎn)睛：考查計(jì)數(shù)原理和排列組合的綜合，對(duì)于此類題首先要把題意分析清楚，分清楚所討論的類別，再根據(jù)討論情況逐一求解即可，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性.16、6【解題分析】

利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，當(dāng)時(shí)得到項(xiàng)，再抽出其系數(shù).【題目詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以第三項(xiàng)的系數(shù)為，故填.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)展開式的簡(jiǎn)單運(yùn)用，考查基本運(yùn)算能力，注意第3項(xiàng)不是，而是.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）2【解題分析】試題分析：（1）由，根據(jù)正弦定理可得，利用兩角和的正弦公式展開化簡(jiǎn)后可得，所以，；（2）由，根據(jù)余弦定理可得，結(jié)合（1）的結(jié)論可得三角形為等腰三角形，于是可得，由，解得.試題解析：（1）根據(jù)正弦定理，由已知得：，展開得：，整理得：，所以，.（2）由已知得：，∴，由，得：，，∴，由，得：，所以，，由，得：.18、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）最大值為6，,最小值為【解題分析】

（1）求出定義域和導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于零，可得增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于零，可得減區(qū)間。（2）由（1）可得函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由單調(diào)性即可求出極值，與端點(diǎn)值進(jìn)行比較，即可得到函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值。【題目詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，由得令得，?dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間．（2）由（1），列表得單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因?yàn)椋?，，所以在區(qū)間上的最大值為6，,最小值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值問題，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題。19、(1)，，，(2)21【解題分析】分析：（1）根據(jù)題意，求的，寫出二項(xiàng)展示的通項(xiàng)，即可得到展開式的有理項(xiàng)；（2）由題意，展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和，即為展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和，即可求解.詳解：根據(jù)題意，，（1）展開式的通項(xiàng)為.于是當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)為有理項(xiàng)，即有理項(xiàng)為（2）展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和，即為展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和，在中令x＝1得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為（1＋2）7＝37＝21．所以展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為21.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題，二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．20、（1）（2）函數(shù)在上遞增，在上遞減【解題分析】

（1）求導(dǎo)數(shù)，將代入導(dǎo)函數(shù)，值為0，解得.（2）當(dāng)時(shí)，代入函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)性.【題目詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)橛郑李}有，解得．（2）當(dāng)時(shí)，，令，解得，（舍）當(dāng)時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減；所以函數(shù)在上遞增，在上遞減．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的切線，函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見解析，；（Ⅲ）【解題分析】

（Ⅰ）由表格得出手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)占網(wǎng)民總?cè)藬?shù)比值超過的年份，由概率公式計(jì)算即可；（Ⅱ）由表格得出的可能取值，求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可；（Ⅲ）觀察兩組數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)網(wǎng)民人數(shù)集中在之間的人數(shù)多于手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)，則網(wǎng)民人數(shù)比較集中，而手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)較為分散，由此可得出.【題目詳解】解：（Ⅰ