新疆沙灣縣一中2024屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

新疆沙灣縣一中2024屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個盒子里裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的12個球，其中黃球5個，藍球4個，綠球3個.現(xiàn)從盒子中隨機取出兩個球，記事件為“取出的兩個球顏色不同”，事件為“取出一個黃球，一個綠球”，則A． B．C． D．2．用數(shù)學歸納法證明，則當時左端應在的基礎上（）A．增加一項 B．增加項C．增加項 D．增加項3．已知，、，則向量與的夾角是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若有兩個極值點，，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知是函數(shù)的極值點，則實數(shù)a的值為（）A． B． C．1 D．e6．設復數(shù)z滿足，z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，則A． B． C． D．7．把邊長為的正沿邊上的高線折成的二面角,則點到的距離是()A． B． C． D．8．已知，則除以9所得的余數(shù)是A．2 B．3C．5 D．79．擲兩顆均勻的骰子，則點數(shù)之和為5的概率等于（）A． B． C． D．10．等差數(shù)列{an}中，a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列{an}的公差為A．1 B．2 C．3 D．411．已知，，，則的大小關系為()．A． B． C． D．12．曲線在點處的切線與直線垂直，則點的坐標為（）A． B．或 C． D．或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則復數(shù)的實部為______.14．學校將從4名男生和4名女生中選出4人分別擔任辯論賽中的一、二、三、四辯手，其中男生甲不適合擔任一辯手，女生乙不適合擔任四辯手．現(xiàn)要求：如果男生甲入選，則女生乙必須入選．那么不同的組隊形式有_________種．15．已知，命題：，，命題：，，若命題為真命題，則實數(shù)的取值范圍是_____．16．在正項等比數(shù)列中，，則公比__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設點是拋物線上異于原點的一點，過點作斜率為、的兩條直線分別交于、兩點（、、三點互不相同）．（1）已知點，求的最小值；（2）若，直線的斜率是，求的值；（3）若，當時，點的縱坐標的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)的最小值為M.（1）求M；（2）若正實數(shù)，，滿足，求：的最小值.19．（12分）已知橢圓：的焦距為，點在橢圓上.（1）求橢圓方程；（2）設直線：與橢圓交于，兩點，且直線，，的斜率之和為0.①求證：直線經(jīng)過定點，并求出定點坐標；②求面積的最大值.20．（12分）如圖，在四面體中，，.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，，四面體的體積為2，求二面角的余弦值.21．（12分）2020年開始，國家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中語文、數(shù)學、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科目滿分100分．為了應對新高考，某高中從高一年級1000名學生（其中男生550人，女生450人）中，根據(jù)性別分層，采用分層抽樣的方法從中抽取100名學生進行調(diào)查．（1）學校計劃在高一上學期開設選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了了解學生對這兩個科目的選課情況，對抽取到的100名學生進行問卷調(diào)查（假定每名學生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），如表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表．請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為選擇科目與性別有關？說明你的理由；（2）在抽取到的女生中按（1）中的選課情況進行分層抽樣，從中抽出9名女生，再從這9名女生中隨機抽取4人，設這4人中選擇“地理”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望．選擇“物理”選擇“地理”總計男生10女生25總計附參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.050.013.8416.63522．（10分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcos2+acos2=c．（Ⅰ）求證：a，c，b成等差數(shù)列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面積為2，求c．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：先求取出的兩個球顏色不同得概率，再求取出一個黃球，一個綠球得概率可，最后根據(jù)條件概率公式求結(jié)果.詳解：因為所以,選D.點睛：本題考查條件概率計算公式，考查基本求解能力.2、D【解題分析】

明確從變?yōu)闀r，等式左端的變化，利用末尾數(shù)字作差即可得到增加的項數(shù).【題目詳解】當時，等式左端為：當時，等式左端為：需增加項本題正確選項：【題目點撥】本題考查數(shù)學歸納法的基礎知識，關鍵是明確等式左端的數(shù)字變化規(guī)律.3、D【解題分析】

設向量與的夾角為，計算出向量與的坐標，然后由計算出的值，可得出的值.【題目詳解】設向量與的夾角為，，，則，所以，，故選D.【題目點撥】本題考查空間向量的坐標運算，考查利用向量的坐標計算向量的夾角，考查計算能力，屬于中等題.4、C【解題分析】

由可得，根據(jù)極值點可知有兩根，等價于與交于兩點，利用導數(shù)可求得的最大值，同時根據(jù)的大小關系構(gòu)造方程可求得臨界狀態(tài)時的取值，結(jié)合單調(diào)性可確定的取值范圍.【題目詳解】，，令可得：.有兩個極值點，有兩根令，則，當時，；當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，令，則，解得：，此時.有兩根等價于與交于兩點，，即的取值范圍為.故選：.【題目點撥】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點個數(shù)及大小關系求解參數(shù)范圍的問題，關鍵是明確極值點和函數(shù)導數(shù)之間的關系，將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點問題的求解.5、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)取極值點時導函數(shù)為0可求得a的值．【題目詳解】函數(shù)的極值點，所以；因為是函數(shù)的極值點，則；所以；解得；則實數(shù)a的值為；故選：B．【題目點撥】考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題.6、C【解題分析】

本題考點為復數(shù)的運算，為基礎題目，難度偏易．此題可采用幾何法，根據(jù)點（x，y）和點(0，1)之間的距離為1，可選正確答案C．【題目詳解】則．故選C．【題目點撥】本題考查復數(shù)的幾何意義和模的運算，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取公式法或幾何法，利用方程思想解題．7、D【解題分析】

取中點，連接，根據(jù)垂直關系可知且平面，通過三線合一和線面垂直的性質(zhì)可得，，從而根據(jù)線面垂直的判定定理知平面，根據(jù)線面垂直性質(zhì)知，即為所求距離；在中利用勾股定理求得結(jié)果.【題目詳解】取中點，連接，如下圖所示：為邊上的高，即為二面角的平面角，即且平面為正三角形為正三角形又為中點平面，平面又平面即為點到的距離又，本題正確選項：【題目點撥】本題考查立體幾何中點到直線距離的求解，關鍵是能夠通過垂直關系在立體圖形中找到所求距離，涉及到線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應用，屬于中檔題.8、D【解題分析】

根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，將化簡為，再展開即可得出結(jié)果.【題目詳解】，所以除以9的余數(shù)為1．選D.【題目點撥】本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，考查二項式定理的應用，屬于基礎題.9、B【解題分析】

試題分析：擲兩顆均勻的骰子，共有36種基本事件，點數(shù)之和為5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）這四種，因此所求概率為，選B．考點：概率問題10、B【解題分析】∵a1＋a5＝10，a4＝7，∴2a1＋11、A【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【題目詳解】顯然，，，，因此最大，最小，故選A.【題目點撥】本題考查三個數(shù)的大小的比較，是基礎題，解題時要認真審題，注意指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的合理運用．12、B【解題分析】試題分析：設，或，點的坐標為或考點：導數(shù)的幾何意義二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)模長公式求出，即可求解.【題目詳解】，復數(shù)的實部為.故答案為：.【題目點撥】本題考查復數(shù)的基本概念以及模長公式，屬于基礎題.14、【解題分析】分析：分三種情況討論，分別求出甲乙都入選、甲不入選，乙入選、甲乙都不入選,，相應的情況不同的組隊形式的種數(shù)，然后求和即可得出結(jié)論.詳解：若甲乙都入選，則從其余人中選出人，有種，男生甲不適合擔任一辯手，女生乙不適合擔任四辯手，則有種，故共有種；若甲不入選，乙入選，則從其余人中選出人，有種，女生乙不適合擔任四辯手，則有種，故共有種；若甲乙都不入選，則從其余6人中選出人，有種，再全排，有種，故共有種，綜上所述，共有，故答案為.點睛：本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應用，屬于難題.有關排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率.15、或【解題分析】

根據(jù)不等式恒成立化簡命題為，根據(jù)一元二次方程有解化簡命題為或，再根據(jù)且命題的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】若命題：“，”為真；則，解得：，若命題：“，”為真，則，解得：或，若命題“”是真命題，則，或，故答案為或【題目點撥】解答非命題、且命題與或命題真假有關的題型時，應注意：（1）原命題與其非命題真假相反；（2）或命題“一真則真”；（3）且命題“一假則假”.16、【解題分析】分析：利用等比數(shù)列的通項公式把等式改寫成含有和的式子，聯(lián)立方程組求解即可.詳解：由題意得：，兩式相除消去并求解得：，，.故答案為：.點睛：等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）或【解題分析】

（1）因為,設,則,由兩點間距離公式可求得:,即可得出的最小值;（2）因為,所以,設的直線方程:,將與聯(lián)立方程組,消掉,通過韋達定理,將點坐標用表示同理可得到坐標.即可求得直線的斜率是,進而求得答案;（3）因為,故.、兩點拋物線上,可得,,即可求得向量和.由,可得到關于和方程,將方程可以看作關于的一元二次方程,因為且,,故此方程有實根,,即可求得點的縱坐標的取值范圍.【題目詳解】（1）在,設,則由兩點間距離公式可求得:令,(當即取等號)的最小值.（2）,,故則的直線方程:將與聯(lián)立方程組,消掉則:,得:化簡為:.由韋達定理可得:解得:,可得:,故同理可得:直線的斜率是故:即的值為.（3）,,故,在、兩點拋物線上,,,故整理可得:、、三點互不相同,故:,可得:即:此方程可以看作關于的一元二次方程,且,,故此方程有兩個不相等的實根:即故:解得:或點的縱坐標的取值范圍:或.【題目點撥】在求圓錐曲線與直線交點問題時,通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組,通過韋達定理建立起直線的斜率與交點橫坐標的關系式.將直線與拋物線恒有交點問題,轉(zhuǎn)化成求解一元二次方程有實根問題,是解本題的關鍵.18、（1）（2）3.【解題分析】

將絕對值函數(shù)寫成分段函數(shù)形式，分別求出各段的最小值，最小的即為函數(shù)的最小值。由（1）知，直接利用公式：平方平均數(shù)算數(shù)平均數(shù)，即可解出最小值?！绢}目詳解】（1）如圖所示∴(2)由（1）知∴∴∴∴當且僅當，是值最小∴的最小值為3.【題目點撥】本題考查絕對值函數(shù)及平方平均數(shù)與算數(shù)平均數(shù)的大小關系，屬于基礎題.19、（1）；（2）①證明見解析；②1【解題分析】

(1)由條件有，將點代入橢圓方程結(jié)合，可求解橢圓方程.

(2)①設點，，設直線，，的斜率分別為，由條件有，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，將，代入化簡可得，得到直線過定點.

②由①利用弦長公式可求出，再求出原點到直線的距離，則的面積可表示出來，從而可求其最大值.【題目詳解】解：（1）由題意可得，又由點在橢圓上，故得，∵，解得，.∴橢圓的方程為；（2）設點，.聯(lián)立得，∴，化簡得①，②，③設直線，，的斜率分別為直線，，的斜率之和為0，∴，即，∴，又，∴.綜上可得，直線經(jīng)過定點.②由①知.∴，原點到直線的距離.∴，∵，當且僅當，即取“”.∴，即面積的最大值為1.【題目點撥】本題考查求橢圓方程和證明直線過定點、求三角形的面積的最值，考查方程聯(lián)立，利用韋達定理的舍而不求的方法的應用，考查計算化簡能力，屬于難題.20、(1)證明見解析.(2).【解題分析】分析：（1）作Rt△斜邊上的高，連結(jié)，易證平面，從而得證；（2）由四面體的體積為2，，得，所以平面，以，，為，，軸建立空間直角坐標系，利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.詳解：解法一：（1）如圖，作Rt△斜邊上的高，連結(jié)．因為，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，于是．（2）在Rt△中，因為，，所以，，，△的面積．因為平面，四面體的體積，所以，，，所以平面．以，，為，，軸建立空間直角坐標系．則，，，，，，．設是平面的法向量，則，即，可?。O是平面的法向量，則，即，可?。驗椋娼堑钠矫娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為解法二：（1）因為，，所以Rt△≌Rt△．可得．設中點為，連結(jié)，，則，，所以平面，，于是．（2）在Rt△中，因為，，所以△面積為．設到平面距離為，因為四面體的體積，所以．在平面內(nèi)過作，垂足為，因為，，所以．由點到平面距離定義知平面．因為，所以．因為，，所以，，所以，即二面角的余弦值為．點睛：本題主要考查空間位置關系的證明和空間角的計算，意在考查學生立體幾何和空間向量的基礎知識的掌握能力和基本的運算能力.證明位置關系和求空間的角都有兩種方法，一是幾何的方法，一是向量的方法，各有特色，要根據(jù)具體情況靈活選擇，提高解析效率.21、（1）列聯(lián)表見解析；有的把握認為選擇科目與性別有關．（2）分布列見解析；【解題分析】

（1）根據(jù)分層抽樣，求得抽到男生、女生的人數(shù)，得到的列聯(lián)表，求得的值，即可得到結(jié)論；（2）求得這4名女生中選擇地理的人數(shù)可為，求得相應的概