2024屆北京市西城區(qū)第十四中數學高二第二學期期末調研模擬試題含解析

2024屆北京市西城區(qū)第十四中數學高二第二學期期末調研模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，F為線段CD上一動點（不含端點），現將△ADF沿直線AF進行翻折，在翻折過程中不可能成立的是（）A．存在某個位置，使直線AF與BD垂直 B．存在某個位置，使直線AD與BF垂直C．存在某個位置，使直線CF與DA垂直 D．存在某個位置，使直線AB與DF垂直2．在復平面內，復數，則對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．曲線與直線圍成的平面圖形的面積為（）A． B． C． D．4．如圖，已知函數，則它在區(qū)間上的圖象大致為（）A． B． C． D．5．設函數在區(qū)間上有兩個極值點，則的取值范圍是A． B． C． D．6．在用反證法證明“已知，且，則中至少有一個大于1”時，假設應為（）A．中至多有一個大于1 B．全都小于1C．中至少有兩個大于1 D．均不大于17．已知（為虛單位），則復數在復平面上所對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知分別為內角的對邊，且成等比數列，且，則=（）A． B． C． D．9．函數的定義城是（）A． B． C． D．10．定義在上的奇函數滿足，且在上單調遞增，則下列結論中正確的是（）A.B.C.D.11．某個幾何體的三視圖如圖所示（其中正視圖中的圓弧是半徑為2的半圓），則該幾何體的體積為（）A． B．C． D．12．已知圓,在圓中任取一點,則點的橫坐標小于的概率為（）A． B． C． D．以上都不對二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機變量服從二項分布，那么方差的值為__________．14．已知一組數據從小到大排列為－1,0,4，x,6,15，且這組數據的中位數為5，則這組數據的眾數為______.15．若以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則點的極坐標化成直角坐標為_________.16．若雙曲線的漸近線方程為y=±x，則滿足條件的一個雙曲線的方程為____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合，.（1）若，，求實數的取值范圍；（2）若，且，求實數的取值范圍.18．（12分）甲、乙兩人進行某項對抗性游戲，采用“七局四勝”制，即先贏四局者為勝，若甲、乙兩人水平相當，且已知甲先贏了前兩局．(Ⅰ)求乙取勝的概率；(Ⅱ)記比賽局數為X，求X的分布列及數學期望E(X)．19．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過原點且斜率為1的直線交橢圓于兩點，四邊形的周長與面積分別為12與.（1）求橢圓的標準方程；（2）直線與圓相切，且與橢圓交于兩點，求原點到的中垂線的最大距離.20．（12分）已知a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，向量，且．（1）求角C；（2）若，△ABC的面積為，求△ABC內切圓的半徑．21．（12分）為了紀念國慶70周年,學校決定舉辦班級黑板報主題設計大賽,高二某班的同學將班級長米、寬米的黑板做如圖所示的區(qū)域劃分:取中點,連接,以為對稱軸,過兩點作一拋物線弧,在拋物線弧上取一點,作垂足為,作交于點.在四邊形內設計主題,其余區(qū)域用于文字排版,設的長度為米.(1)求長度的表達式,并寫出定義域；(2)設四邊形面積為,求當為何值時,取最大值,最大為多少平方米?22．（10分）已知，，為實數.（1）若，求；（2）若，求實數，的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

連結BD，在中，可以作于O，并延長交CD于F，得到成立，得到A正確；由翻折中，保持不變，可得到B正確；根據翻折過程中，，可得到C錯誤；根據翻折過程中，保持不變，假設成立，得到平面ABD，結合題中條件，進而可得出結果.【題目詳解】對于A，連結BD，在中，可以作于O，并延長交CD于F，則成立，翻折過程中，這個垂直關系保持不變，故A正確；對于B，在翻折過程中，保持不變，當時，有平面，從而，此時，AD＝1，AB＝2，BD＝，故B正確；對于C，在翻折過程中，保持不變，若成立，則平面CDF，從而，AD＝1，AC＝，得CD＝2，在翻折過程中，，即CD＜2，所以，CD＝2不成立，C不正確；對于D，在翻折過程中，保持不變，若成立，則平面ABD，從而，設此時，則BF＝，BD＝，只要，BD就存在，所以D正確選C．【題目點撥】本題主要考查空間中直線與直線的位置關系，熟記線面垂直的判定定理與性質定理即可，屬于?？碱}型.2、A【解題分析】

化簡復數，計算，再計算對應點的象限.【題目詳解】復數對應點為：故答案選A【題目點撥】本題考查了復數的計算，共軛復數，復數對應點象限，意在考查學生的計算能力.3、D【解題分析】

先作出直線與曲線圍成的平面圖形的簡圖，聯立直線與曲線方程，求出交點橫坐標，根據定積分即可求出結果.【題目詳解】作出曲線與直線圍成的平面圖形如下：由解得：或，所以曲線與直線圍成的平面圖形的面積為.故選D【題目點撥】本題主要考查定積分的應用，求圍成圖形的面積只需轉化為對應的定積分問題求解即可，屬于?？碱}型.4、D【解題分析】

首先根據函數的奇偶性排除A，根據排除B，再根據時，，故排除C，即可得到答案.【題目詳解】因為的定義域為，，所以為奇函數，故排除A.，故排除B.當時，，故排除C.故選：D【題目點撥】本題主要考查根據函數圖象選取解析式，熟練掌握函數的奇偶性和利用函數的特值檢驗為解題的關鍵，屬于中檔題.5、D【解題分析】令，則在上有兩個不等實根，有解，故,點晴:本題主要考查函數的單調性與極值問題，要注意轉化，函數()在區(qū)間上有兩個極值點，則在上有兩個不等實根，所以有解，故,只需要滿足解答此類問題，應該首先確定函數的定義域，注意分類討論和數形結合思想的應用6、D【解題分析】

直接利用反證法的定義得到答案.【題目詳解】中至少有一個大于1的反面為均不大于1，故假設應為：均不大于1.故選：.【題目點撥】本題考查了反證法，意在考查學生對于反證法的理解.7、B【解題分析】

由得，再利用復數的除法法則將復數表示為一般形式，即可得出復數所表示的點所在的象限.【題目詳解】由得，因此，復數在復平面上對應的點在第二象限，故選B.【題目點撥】本題考查復數的幾何意義，考查復數對應的點所在的象限，解題的關鍵就是利用復數的四則運算將復數表示為一般形式，考查計算能力，屬于基礎題.8、C【解題分析】因為成等比數列，所以,利用正弦定理化簡得：,又，所以原式=所以選C.點睛：此題考察正弦定理的應用，要注意求角度問題時盡量將邊的條件轉化為角的等式，然后根據三角函數間的關系及三角形內角和的關系進行解題.9、C【解題分析】

根據對數的真數大于零這一原則得出關于的不等式，解出可得出函數的定義域．【題目詳解】由題意可得，解得，因此，函數的定義域為，故選C．【題目點撥】本題考查對數型函數的定義域的求解，求解時應把握“真數大于零，底數大于零且不為”，考查計算能力，屬于基礎題．10、D【解題分析】試題分析：由可得：，所以函數的周期，又因為是定義在R上的奇函數，所以，又在上單調遞增，所以當時，，因此，，所以?？键c：函數的性質。11、A【解題分析】

試題分析：由三視圖可知該幾何體的體積等于長方體體積和半個圓柱體積之和，．考點：三視圖與體積．12、C【解題分析】分析：畫出滿足條件的圖像，計算圖形中圓內橫坐標小于的面積，除以圓的面積。詳解：由圖可知，點的橫坐標小于的概率為，故選C點睛：幾何概型計算面積比值。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：隨機變量服從二項分布，那么，即可求得答案.詳解：隨機變量服從二項分布，那么，即.故答案為：.點睛：求隨機變量X的均值與方差時，可首先分析X是否服從二項分布，如果X～B(n，p)，則用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大減少計算量．14、6【解題分析】這組數據按從小到大的順序排列其中中間的兩個數為4，，這組數據的中位數為∴x＝6，故這組數據的眾數為6，填6.15、【解題分析】

利用極坐標化直角坐標公式將點的極坐標化為直角坐標.【題目詳解】由題意可知，點的橫坐標為，縱坐標為，因此，點的直角坐標為，故答案為.【題目點撥】本題考查點的極坐標化直角坐標，解題時要熟悉極坐標與直角坐標的互化公式，考查計算能力，屬于基礎題.16、=1（答案不唯一）【解題分析】

由雙曲線標準方程與漸近線方程的關系可得．【題目詳解】漸近線方程為y=±x的雙曲線方程為，則就是其中之一．故答案為．【題目點撥】本題考查雙曲線的幾何性質：漸近線，與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為，此方程對焦點沒有要求，即焦點可在軸上，也可在軸上．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

結合指數函數和對數函數性質可分別求得集合和集合；（1）由交集定義得到，分別在和兩種情況下構造不等式求得結果；（2）由并集定義得到，根據交集結果可構造不等式求得結果.【題目詳解】（1）當時，，解得：，滿足當時，，解得：綜上所述：實數的取值范圍為（2），解得：實數的取值范圍為【題目點撥】本題考查根據集合包含關系、交集結果求解參數范圍的問題，涉及到指數函數和對數函數性質的應用；易錯點是在根據包含關系求參數范圍時，忽略子集可能為空集的情況，造成范圍求解錯誤.18、（I）316【解題分析】

(Ⅰ)乙取勝有兩種情況一是乙連勝四局，二是第三局到第六局中乙勝三局，第七局乙勝，由互斥事件的概率公式與根據獨立事件概率公式能求出乙勝概率；(Ⅱ)由題意得X=4，5，6，7，結合組合知識，利用獨立事件概率公式及互斥事件的概率公式求出各隨機變量對應的概率，從而可得分布列，進而利用期望公式可得X的數學期望E(X).【題目詳解】(Ⅰ)乙取勝有兩種情況一是乙連勝四局，其概率p1二是第三局到第六局中乙勝三局，第七局乙勝，其概率p2∴乙勝概率為p=p(Ⅱ)由題意得X=4，5，6，7，P(X=4)=(1P(X=5)=CP(X=6)=(1P(X=7)=C所以ξ的分布列為ξ4567P1111EX=(4+5+6+7)×1【題目點撥】本題主要考查互斥事件的概率公式、獨立事件同時發(fā)生的概率公式以及離散型隨機變量的分布列與數學期望，屬于中檔題.求解數學期望問題，首先要正確理解題意，其次要準確無誤的找出隨機變量的所有可能值，計算出相應的概率，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差的公式進行計算，也就是要過三關：（1）閱讀理解關；（2）概率計算關；（3）公式應用關.19、（1）（2）【解題分析】

（1）不妨設點是第一象限的點，由四邊形的周長求出，面積求出與關系，再由點在直線上，得到與關系，代入橢圓方程，求解即可；（2）先求出直線斜率不存在時，原點到的中垂線的距離，斜率為0時與橢圓只有一個交點，直線斜率存在時，設其方程為，利用與圓相切，求出關系，直線方程與橢圓方程聯立，求出中點坐標，得到的中垂線方程，進而求出原點到中垂線的距離表達式，結合關系，即可求出結論.【題目詳解】（1）不妨設點是第一象限的點，因為四邊形的周長為12，所以，，因為，所以，得，點為過原點且斜率為1的直線與橢圓的交點，即點在直線上，點在橢圓上，所以，即，解得或（舍），所以橢圓的標準方程為.（2）當直線的斜率不存在時，直線為，線段的中垂線為軸，原點到軸的距離為0.當直線的斜率存在時，設斜率為，依題意可設，因為直線與圓相切，所以，設，，聯立，得，由，得，又因為，所以，所以，所以的中點坐標為，所以的中垂線方程為，化簡，得，原點到直線中垂線的距離，當且僅當，即時，等號成立，所以原點到的中垂線的最大距離為.【題目點撥】本題考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系、點到直線的距離，利用基本不等式求最值，考查邏輯推理、數學計算能力，屬于中檔題.20、（1）（2）【解題分析】

（1）由得出，利用正弦定理邊角互化的思想，以及內角和定理將轉化為，并利用兩角和的正弦公式求出的值，于此得出角的值；（2）由三角形的面積公式求出，結合余弦定理得出的值，可求出的值，再利用等面積法得出，即可得出的內切圓半徑的值.【題目詳解】（1）由得，由正弦定理，，.在中，，；（2）由等面積法：得.由余弦定理，，，從而，.【題目點撥】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角形面積的應用，考查三角形內切圓半徑的計算，在計算內切圓的半徑時，可利用等面積法得出（其中為三