2024屆山西省呂梁市汾陽中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

2024屆山西省呂梁市汾陽中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若實數(shù)x、y的取值如表，從散點圖分析，y與x線性相關(guān)，且回歸方程為y=3.5x12345y27812mA．15 B．16 C．16.2 D．173．若的展開式的各項系數(shù)和為32，則實數(shù)a的值為（）A．-2 B．2 C．-1 D．14．在區(qū)域內(nèi)任意取一點，則的概率是（）A．0 B． C． D．5．為了考察兩個變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨立地做10次和15次驗，并且利用線性回歸方程，求得回歸直線分別為和．已知兩個人在試驗中發(fā)現(xiàn)對變x的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是s，對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值都為t，那么下列說法正確的（）A．與相交于點（s，t）B．與相交，交點不一定是（s，t）C．與必關(guān)于點（s，t）對稱D．與必定重合6．若,則等于()A．9 B．8 C．7 D．67．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．8．在同一直角坐標系中，函數(shù)且的圖象可能是（）A． B．C． D．9．定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則在區(qū)間上是()A．增函數(shù)且 B．增函數(shù)且C．減函數(shù)且 D．減函數(shù)且10．在長方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．11．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于()A． B．2i C． D．012．已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式解集為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．中，，則邊上中線的長為_____．14．直線與拋物線圍成的封閉圖形的面積等于___________.15．若平面的一個法向量為，直線的方向向量為，則與所成角的大小為__________.16．已知函數(shù)，對任意，都有，則____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角所對的邊分別是，已知.（1）求；（2）若，且，求的面積.18．（12分）如圖,在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中,為側(cè)面的對角線的交點,分別為棱的中點.(1)求證:平面//平面；(2)求二面角的余弦值.19．（12分）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，（Ⅰ）若求的極小值.（Ⅱ）求證：當(dāng)且時，.20．（12分）某學(xué)校高三年級有學(xué)生1000名，經(jīng)調(diào)查研究，其中750名同學(xué)經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為類同學(xué)），另外250名同學(xué)不經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為類同學(xué)），現(xiàn)用分層抽樣方法（按類、類分二層）從該年級的學(xué)生中共抽查100名同學(xué).（1）測得該年級所抽查的100名同學(xué)身高（單位：厘米）頻率分布直方圖如圖，按照統(tǒng)計學(xué)原理，根據(jù)頻率分布直方圖計算這100名學(xué)生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)（單位精確到0.01）；（2）如果以身高達到作為達標的標準，對抽取的100名學(xué)生，得到列聯(lián)表：體育鍛煉與身高達標列聯(lián)表身高達標身高不達標合計積極參加體育鍛煉60不積極參加體育鍛煉10合計100①完成上表；②請問有多大的把握認為體育鍛煉與身高達標有關(guān)系？參考公式：.參考數(shù)據(jù)：0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，記函數(shù)在上的最大值為，證明：.22．（10分）設(shè)函數(shù)，曲線在點，（1））處的切線與軸垂直．（1）求的值；（2）若存在，使得，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

對函數(shù)求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為來求解，即可求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，，令，則.，其中，且函數(shù)單調(diào)遞增.①當(dāng)時，對任意的,，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，合乎題意；②當(dāng)時，令，得，.當(dāng)時，；當(dāng)時，.此時，函數(shù)在處取得最小值，則，不合乎題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，解題時根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的符號來處理，然后利用參變量分離法或分類討論思想轉(zhuǎn)化函數(shù)的最值求解，屬于?？碱}，屬于中等題。2、D【解題分析】

計算出樣本的中心點x,y，將該點的坐標代入回歸直線方程可得出【題目詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得x=1+2+3+4+55由于回歸直線過點x,y，所以，3.5×3-1.3=m+295【題目點撥】本題考查回歸直線的基本性質(zhì)，在解回歸直線相關(guān)的問題時，熟悉結(jié)論“回歸直線過樣本的數(shù)據(jù)中心點x,3、D【解題分析】

根據(jù)題意，用賦值法，在中，令可得，解可得a的值，即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，的展開式的各項系數(shù)和為32，令可得：，解可得：，故選：D．【題目點撥】本題考查二項式定理的應(yīng)用，注意特殊值的應(yīng)用．4、C【解題分析】

求得區(qū)域的面積，x2+y2＜1表示圓心在原點，半徑為1的圓，由圓的面積公式可得其在正方形OABC的內(nèi)部的面積，由幾何概型的計算公式，可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），表示的區(qū)域為以正方形OABC的內(nèi)部及邊界，其面積為1；x2+y2＜1表示圓心在原點，半徑為1的圓，在正方形OABC的內(nèi)部的面積為，由幾何概型的計算公式，可得點P（x，y）滿足x2+y2＜1的概率是；故選C．【題目點撥】本題考查幾何概型的計算，解題的關(guān)鍵是將不等式（組）轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系下的圖形的面積，進而由其公式計算．5、A【解題分析】

根據(jù)線性回歸方程l1和l2都過樣本中心點（s，t），判斷A說法正確．【題目詳解】解：根據(jù)線性回歸方程l1和l2都過樣本中心點（s，t），∴與相交于點，A說法正確．故選：A．【題目點撥】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】分析：根據(jù)組合數(shù)的計算公式，即可求解答案.詳解：由題意且，，解得，故選B.點睛：本題主要考查了組合數(shù)的計算公式的應(yīng)用，其中熟記組合數(shù)的計算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力.7、A【解題分析】

由題意，求得，則，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，即可求解．【題目詳解】由題意，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，，則，則根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，得.故選A.【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的表示，以及復(fù)數(shù)的除法運算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運算法則，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】

本題通過討論的不同取值情況，分別討論本題指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和，結(jié)合選項，判斷得出正確結(jié)論.題目不難，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查.【題目詳解】當(dāng)時，函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，則函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，D選項符合；當(dāng)時，函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，則函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，各選項均不符合.綜上，選D.【題目點撥】易出現(xiàn)的錯誤有，一是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能通過討論的不同取值范圍，認識函數(shù)的單調(diào)性.9、B【解題分析】

先利用函數(shù)奇偶性求出函數(shù)在上的解析式，然后利用周期性求出函數(shù)在上的解析式，結(jié)合解析式對其單調(diào)性以及函數(shù)值符號下結(jié)論．【題目詳解】設(shè)，則，，由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，當(dāng)時，，則.所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，且當(dāng)時，，，故選B.【題目點撥】本題考查函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)值符號的判斷，解決函數(shù)問題關(guān)鍵在于求出函數(shù)的解析式，本題的核心在于利用奇偶性與周期性求出函數(shù)的解析式，屬于中等題．10、D【解題分析】

取CC1的中點F，連結(jié)DF，A1F，EF，推導(dǎo)出四邊形BCEF是平行四邊形，從而異面直線AE與A1D所成角即為相交直線DF與A1D所成角，由此能求出異面直線AE與A1D所成角的余弦值．【題目詳解】取的中點.連接.因為為棱的中點,所以,所以四邊形為平行四邊形.所以.故異面直線與所成的角即為相交直線與所成的角.因為,所以.所以.即為直角三角形,從而.故選D【題目點撥】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．11、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)除法和加法運算求解即可【題目詳解】故選B【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的運算，準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題12、A【解題分析】

由題可得為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式求解即可。【題目詳解】函數(shù)的定義域為，，所以在上為偶函數(shù)；當(dāng)時，，則，由于當(dāng)時，，，則在上恒大于零，即在單調(diào)遞增；由在上為偶函數(shù)，則在單調(diào)遞減；故不等式等價于，解得;;所以不等式解集為；故答案選A【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解函數(shù)不等式，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

通過余弦定理可以求出的長，而，用余弦定理求出的表達式，代入上式可以直接求出的長．【題目詳解】由余弦定理可知：,設(shè)，由余弦定理可知：而，即解得，故邊上中線的長為．【題目點撥】本題考查了利用余弦定理求三角形中線長的問題．本題也可以應(yīng)用中點三角形來求解，過程如下：延長至，使得,易證出,,由余弦定理可得：.．14、【解題分析】直線與拋物線的交點坐標為，據(jù)此可得：直線與拋物線圍成的封閉圖形的面積等于:.15、.【解題分析】

利用向量法求出直線與平面所成角的正弦值，即可得出直線與平面所成角的大小.【題目詳解】設(shè)，，設(shè)直線與平面所成的角為，則，，.因此，直線與平面所成角的大小為，故答案為.【題目點撥】本題考查利用空間向量法求直線與平面所成的角，解題的關(guān)鍵就是利用空間向量進行轉(zhuǎn)化，考查計算能力，屬于中等題.16、－20【解題分析】分析：令，知，，從而可得，進而可得結(jié)果.詳解：令，知，，，，，，故答案為.點睛：本題主要考查賦值法求函數(shù)的解析式，令，求出的值，從而求出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】試題分析：利用正弦定理和余弦定理及三角形面積公式解斜三角形是高考高頻考點，利用正弦定理和余弦定理進行邊轉(zhuǎn)角或角轉(zhuǎn)邊是常用的方法，本題利用正弦定理“邊轉(zhuǎn)角”后，得出角C，第二步利用余弦定理求出邊a，c，再利用面積公式求出三角形的面積.試題解析：（1）由正弦定理，得，因為，解得，．（2）因為．由余弦定理，得，解得．的面積．【題目點撥】利用正弦定理和余弦定理及三角形面積公式解斜三角形是高考高頻考點，利用正弦定理和余弦定理進行邊轉(zhuǎn)角或角轉(zhuǎn)邊是常用的方法，已知兩邊及其夾角求第三邊或已知三邊求任意角使用于心定理，已知兩角及任意邊或已知兩邊及一邊所對的角借三角形用正弦定理，另外含經(jīng)常利用三角形面積公式以及與三角形的內(nèi)切圓半徑與三角形外接圓半徑發(fā)生聯(lián)系，要靈活使用公式.18、(1)證明見解析；(2).【解題分析】

（1）利用線線平行證明平面//平面，（2）以C為坐標原點建系求解即可．【題目詳解】（1）證明分別為邊的中點，可得,又由直三棱柱可知側(cè)面為矩形，可得故有，由直三棱柱可知側(cè)面為矩形，可得為的中點，又由為的中點，可得.由，平面，，平面，得平面，平面，，可得平面平面.（2）為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，設(shè)平面的一個法向量為，取，有同樣可求出平面的一個法向量，，結(jié)合圖形二面角的余弦值為.【題目點撥】本題屬于基礎(chǔ)題，線線平行的性質(zhì)定理和線面平行的性質(zhì)定理要熟練掌握，利用空間向量的夾角公式求解二面角．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）將代入，求導(dǎo)，得出極小值點，代入即可求出答案。（Ⅱ）令，則，即只需說明當(dāng)，在內(nèi)單調(diào)遞增即可。【題目詳解】解：（I）由，，知，，令，得，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在處取得極小值.極小值為.（II）證明：設(shè)，，于是，，由（I）知，對于，都有，故在內(nèi)單調(diào)遞增.于是，當(dāng)時，對任意的，都有，而，從而對，都有，即故【題目點撥】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，屬于中檔題。20、（1）174，174.55；（2）①列聯(lián)表見解析；②.【解題分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)與中位數(shù)的公式即可求解；（2）①根據(jù)頻率分布直方圖求出身高達標與不達標的比例，結(jié)合積極參加體育鍛煉和不積極參加體育鍛煉的比例，完成表格；②根據(jù)公式計算出即可下結(jié)論.【題目詳解】（1）平均數(shù)，前兩組頻率之和為0.25，前三組頻率之和為0.8，所以中位數(shù)在第三組中位數(shù)為.（2）根據(jù)頻率分布直方圖可得身高不達標所占頻率為0.25，達標所占頻率為0.75，所以身高不達標25人，達標75人，根據(jù)分層抽樣抽取的積極參加體育鍛煉75人，不積極參加體育鍛煉的25人，所以表格為：身高達標身高不達標合計積極參加體育鍛煉601575不積極參加體育鍛煉151025合計7525100假設(shè)體育鍛煉與身高達標沒有關(guān)系.所以有把握認為體育鍛煉與身高達標有關(guān)系.【題目點撥】此題考查根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)，計算指定組的頻率，完成列聯(lián)表進行獨立性檢