2024屆湖北省安陸市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

2024屆湖北省安陸市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于()A． B．2i C． D．02．在平面內(nèi)，點(diǎn)x0,y0到直線Ax+By+C=0的距離公式為d=Ax0A．3 B．6 C．6773．小趙、小錢、小孫、小李到個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件“個(gè)人去的景點(diǎn)彼此互不相同”，事件“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則（）A． B． C． D．4．設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知復(fù)數(shù)z=2i1-i，則A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線，弦過焦點(diǎn)，為阿基米德三角形，則的面積的最小值為（）A． B． C． D．7．若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，則（）A．， B．，C．， D．，8．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是A．函數(shù)有極大值和極小值B．函數(shù)有極大值和極小值C．函數(shù)有極大值和極小值D．函數(shù)有極大值和極小值9．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.8410．已知等差數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．11．某所學(xué)校在一個(gè)學(xué)期的開支分布的餅圖如圖1所示，在該學(xué)期的水、電、交通開支（單位：萬(wàn)元）如圖2所示，則該學(xué)期的電費(fèi)開支占總開支的百分比為（）．A． B． C． D．12．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為_______.14．已知復(fù)數(shù)滿足方程，則的最小值為____________．15．某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則雙曲線的離心率的概率是______．16．已知函數(shù)，則____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)fx（1）討論函數(shù)fx（2）當(dāng)n∈N*時(shí)，證明：18．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（Ⅱ）當(dāng)不等式的解集為時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在是減函數(shù).20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是正形，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．21．（12分）中國(guó)高鐵的快速發(fā)展給群眾出行帶來(lái)巨大便利，極大促進(jìn)了區(qū)域經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展.已知某條高鐵線路通車后，發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足，經(jīng)測(cè)算，高鐵的載客量與發(fā)車時(shí)間間隔相關(guān)：當(dāng)時(shí)高鐵為滿載狀態(tài)，載客量為人；當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)在滿載基礎(chǔ)上減少，減少的人數(shù)與成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)的載客量為人.記發(fā)車間隔為分鐘時(shí)，高鐵載客量為.求的表達(dá)式；若該線路發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)的凈收益（元），當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，單位時(shí)間的凈收益最大？22．（10分）已知極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸正半軸且單位長(zhǎng)度相同的極坐標(biāo)系中曲線，（為參數(shù)）.（1）求曲線上的點(diǎn)到曲線距離的最小值；（2）若把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的倍，得到曲線，設(shè)，曲線與交于兩點(diǎn)，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)除法和加法運(yùn)算求解即可【題目詳解】故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題2、B【解題分析】

類比得到在空間，點(diǎn)x0,y【題目詳解】類比得到在空間，點(diǎn)x0,y0，所以點(diǎn)2,1,2到平面x+y+2z-1=0的距離為d=2+1+4-1故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查類比推理，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】分析：這是求小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)的前提下，4

個(gè)人去的景點(diǎn)不相同的概率，求出相應(yīng)基本事件的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論．詳解：小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)，則有3個(gè)景點(diǎn)可選，其余3人只能在小趙剩下的3個(gè)景點(diǎn)中選擇，可能性為種

所以小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)的可能性為種

因?yàn)?

個(gè)人去的景點(diǎn)不相同的可能性為種，

所以．

故選：D．點(diǎn)睛：本題考查條件概率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定基本事件的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵．4、C【解題分析】分析：根據(jù)方差的定義計(jì)算即可.詳解：隨機(jī)變量的分布列為，則則、故選D點(diǎn)睛：本題考查隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意方差計(jì)算公式的合理運(yùn)用．5、C【解題分析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，求得復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的表示，即可得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，得到答案．詳解：由題意，復(fù)數(shù)z=2i1-i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1)，位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的表示，其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．6、B【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，可得，即三角形為直角三角形，利用基本不等式，可得當(dāng)直線垂直軸時(shí)，面積取得最小值.【題目詳解】設(shè)，過A，B的切線交于Q，直線的方程為：，把直線的方程代入得：，所以，則，由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)得：，所以，所以，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得的最大值為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題是一道與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的試題，如果能靈活運(yùn)用阿基米德三角形的結(jié)論，即當(dāng)直線過拋物線的焦點(diǎn)，則切線與切線互相垂直，能使運(yùn)算量變得更小.7、B【解題分析】

由題意可知，關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根分別為和，然后利用韋達(dá)定理可求出實(shí)數(shù)與的值.【題目詳解】由題意可知，關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根分別為和，由韋達(dá)定理得，解得.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用實(shí)系數(shù)方程的虛根求參數(shù)，解題時(shí)充分利用實(shí)系數(shù)方程的兩個(gè)虛根互為共軛復(fù)數(shù)這一性質(zhì)，并結(jié)合韋達(dá)定理求解，也可以將虛根代入方程，利用復(fù)數(shù)相等來(lái)求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.8、D【解題分析】

則函數(shù)增；則函數(shù)減；則函數(shù)減；則函數(shù)增；選D.【考點(diǎn)定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0則函數(shù)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)遞減9、A【解題分析】

利用正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱進(jìn)行求解.【題目詳解】，正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱，，，.【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布，考查對(duì)立事件及概率的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】分析：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得首項(xiàng)和公差，然后可求出值。詳解：數(shù)列為等差數(shù)列，，，所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，解方程組得所以所以選C點(diǎn)睛：本題考查了等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題。11、B【解題分析】

結(jié)合圖表，通過計(jì)算可得：該學(xué)期的電費(fèi)開支占總開支的百分比為×20%=11.25%，得解．【題目詳解】由圖1，圖2可知：該學(xué)期的電費(fèi)開支占總開支的百分比為×20%=11.25%，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了識(shí)圖能力及進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理，屬簡(jiǎn)單題．12、D【解題分析】

由題意可知有解，即在有解，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可知m的范圍.【題目詳解】∵函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，∴有解，∴，∴在有解，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查對(duì)稱性的運(yùn)用，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為在有解，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用定積分求得陰影部分的面積，然后利用幾何概型的概率計(jì)算公式，即可求解．【題目詳解】由題意，結(jié)合定積分可得陰影部分的面積為，由幾何概型的計(jì)算公式可得，黃豆在陰影部分的概率為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了定積分的幾何意義求解陰影部分的面積，以及幾何概型及其概率的計(jì)算問題，其中解答中利用定積分的幾何意義求得陰影部分的面積是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

設(shè)復(fù)數(shù)根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知的軌跡為圓；再根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，及的幾何意義即可求得點(diǎn)到圓上距離的最小值，即為的最小值.【題目詳解】復(fù)數(shù)滿足方程，設(shè)（），則，在復(fù)平面內(nèi)軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓；，意義為圓上的點(diǎn)到的距離，由點(diǎn)與圓的幾何性質(zhì)可知，的最小值為，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系及距離最值的求法，屬于中檔題.15、【解題分析】

基本事件總數(shù)，由雙曲線的離心率，得，利用列舉法求出雙曲線的離心率包含的基本事件有6個(gè)，由此能求出雙曲線的離心率的概率．【題目詳解】某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，基本事件總數(shù)，雙曲線的離心率，，解得，雙曲線的離心率包含的基本事件有：，，，，(1，，，共6個(gè)，則雙曲線的離心率的概率是．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法、雙曲線性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．對(duì)于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個(gè)數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個(gè)數(shù)除以總的事件個(gè)數(shù)即可.16、【解題分析】

求導(dǎo)，代入數(shù)據(jù)得到答案.【題目詳解】故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案不唯一，具體見解析（2）見解析【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的套路，確定定義域，求導(dǎo)，解含參的不等式；（2）由（1）賦值放縮可以得到一函數(shù)不等式，再賦值將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為數(shù)列不等式，采用累加法即可證明不等式?！绢}目詳解】（1）解：因?yàn)閒'x①當(dāng)a≤0時(shí)，總有f'x所以fx在0,+∞上單調(diào)遞減.②當(dāng)a>0時(shí)，令2ax-1x>0故x>12a時(shí)，f'x>0，所以fx同理2ax-1x<0時(shí)，有f'x<0，所以（2）由（1）知當(dāng)a>0時(shí)，fx若fxmin=0，則1因?yàn)閒x≥fx當(dāng)n∈N*時(shí)，取x=n+1所以2故22【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，涉及到含參不等式的討論，以及利用放縮法證明數(shù)列不等式，意在考查學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。18、(Ⅰ)(Ⅱ)或【解題分析】

(Ⅰ)根據(jù)的范圍得到分段函數(shù)的解析式，從而分別在三段區(qū)間上求解不等式，取并集得到所求解集；(Ⅱ)由絕對(duì)值三角不等式得到的最小值，則最小值大于，得到不等式，解不等式求得結(jié)果.【題目詳解】(Ⅰ)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，無(wú)解綜上，的解集為(Ⅱ)當(dāng)，即時(shí),時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)，即時(shí),時(shí)等號(hào)成立所以的最小值為即或【題目點(diǎn)撥】本題考查含絕對(duì)值不等式的求解、絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用問題，屬于常規(guī)題型.19、證明過程見解析.【解題分析】

按照單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，先設(shè)是上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，則，然后用差比的方法，結(jié)合，比較出，這樣就證明出函數(shù)在是減函數(shù).【題目詳解】設(shè)是上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，則，，，所以有，因此函數(shù)在是減函數(shù).【題目點(diǎn)撥】本題考查了用定義證明函數(shù)單調(diào)性，用差比的方法比較出的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵，一般在差比比較過程中，往往會(huì)用到因式分解、配方法、通分法等方法.20、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）推導(dǎo)出DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，從而BC⊥平面PCD，進(jìn)而DE⊥BC，由此能證明DE⊥平面PCB.

（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E?DB?P的余弦值.【題目詳解】解：（1）證明：∵在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，

底面ABCD是正方形，PD＝AB，E為PC的中點(diǎn)，

∴DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，

∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，

∵DE?平面PCD，∴DE⊥BC，

∵PC∩BC＝C，∴DE⊥平面PCB；

（2）解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)PD＝AB＝2，則E（0，1，1），B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），

，

設(shè)平面BDE的法向量，

則，取，得，

設(shè)平面BDP的法向量，

則，取，得，

設(shè)二面角E?BD?P的平面角為θ.

則.

∴二面角E?BD?P的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.21、（1）（2）發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，最大【解題分析】

（1）分和兩段求函數(shù)的解析式，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，求；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，分段求函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，因?yàn)椋越獾?因此.（2）①當(dāng)時(shí)，因此，.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，單增；當(dāng)時(shí)，，單減.所以.②當(dāng)時(shí)，因此，.因?yàn)?，此時(shí)單減.所以，綜上，發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，最大.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)求解析式，以及利用導(dǎo)數(shù)解實(shí)際問題的最值，本題的關(guān)鍵是正確表達(dá)和.22、（1）；（2）.【解題分析】

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程和的參數(shù)方程都化為普通方程，求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)，并利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算出圓心到直線的距離，即可得出曲線上的點(diǎn)到曲線距離的最小