2024屆安徽省六安市第一中學(xué)、合肥八中、阜陽一中三校數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆安徽省六安市第一中學(xué)、合肥八中、阜陽一中三校數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知各棱長均相等的正三棱錐、正四棱錐、正五棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小分別為，則（）A． B．C． D．前三個(gè)答案都不對2．若正數(shù)滿足，則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為（）A． B． C． D．3．己知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍_______.A． B． C． D．4．從5個(gè)中國人、4個(gè)美國人、3個(gè)日本人中各選一人的選法有（）A．12種 B．24種 C．48種 D．60種5．證明等式時(shí)，某學(xué)生的證明過程如下（1）當(dāng)n=1時(shí)，，等式成立；（2）假設(shè)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，等式也成立，故原式成立.那么上述證明（）A．過程全都正確 B．當(dāng)n=1時(shí)驗(yàn)證不正確C．歸納假設(shè)不正確 D．從到的推理不正確6．使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C．或 D．7．已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，則“α∥β是“l(fā)∥β”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件8．已知樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)集合為，樣本中心點(diǎn)為，且其回歸直線方程為，則當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為（）A． B． C． D．9．集合，則等于（）A． B． C． D．10．設(shè)，，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件11．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．在0、1、2、3、4、5這6個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，能被2整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．216 B．288 C．312 D．360二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若，則_________．14．正四棱柱的底面邊長為2，若與底面ABCD所成角為60°，則和底面ABCD的距離是________15．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則__________．16．設(shè)，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，且.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，，使得，對任意正整數(shù)恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)、的值并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.18．（12分）某小組有10名同學(xué),他們的情況構(gòu)成如下表,表中有部分?jǐn)?shù)據(jù)不清楚,只知道從這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取一位,抽到該名同學(xué)為中文專業(yè)”的概率為.專業(yè)性別中文英語數(shù)學(xué)體育男11女1111現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)參加社會(huì)公益活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同)(1)求的值;(2)設(shè)為選出的3名同學(xué)中“女生”的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.19．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最小值.20．（12分）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，且滿足，(1)求的解析式；(2)已知，求函數(shù)在的最大值和最小值；函數(shù)的圖像上是否存在這樣的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)是正整數(shù)，縱坐標(biāo)是一個(gè)完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由21．（12分）已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.22．（10分）已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí),恒成立,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

通過作出圖形，分別找出正三棱錐、正四棱錐、正五棱錐的側(cè)面與底面所成角，通過計(jì)算余弦值比較大小即可知道角度大小關(guān)系.【題目詳解】如圖，正三棱錐，正四棱錐，正五棱錐，設(shè)各棱長都為2，在正三棱錐中，取AC中點(diǎn)D，連接PD,BD，可知即為側(cè)面與底面所成角，可知，，由余弦定理得；同理，，于是，而由于為銳角，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查面面角的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，空間想象能力，計(jì)算能力，難度中等.2、A【解題分析】

根據(jù)正數(shù)滿足，利用基本不等式有，再研究等號成立的條件即可.【題目詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查基本不等式取等號的條件，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

首先解出集合,若滿足，則當(dāng)時(shí)，和恒成立，求的取值范圍.【題目詳解】，，即當(dāng)時(shí)，恒成立，即，當(dāng)時(shí)恒成立，即，而是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，且當(dāng)時(shí)，恒成立，，解得：綜上：.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)給定區(qū)間不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算求解能力，恒成立問題可以參變分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，如果函數(shù)是二次函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為根的分布問題，列不等式組求解.4、D【解題分析】

直接根據(jù)乘法原理得到答案.【題目詳解】根據(jù)乘法原理，一共有種選法.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了乘法原理，屬于簡單題.5、A【解題分析】分析：由題意結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的證明方法考查所給的證明過程是否存在錯(cuò)誤即可.詳解：考查所給的證明過程：當(dāng)時(shí)驗(yàn)證是正確的，歸納假設(shè)是正確的，從到的推理也是正確的，即證明過程中不存在任何的問題.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的概念及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6、A【解題分析】

首先解出不等式，因?yàn)槭遣坏仁匠闪⒌囊粋€(gè)充分不必要條件，所以滿足是不等式的真子集即可．【題目詳解】因?yàn)?，所以或，需要是不等式成立的一個(gè)充分不必要條件，則需要滿足是的真子集的只有A,所以選擇A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了解不等式以及命題之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】試題分析：利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．解：根據(jù)題意，由于α，β表示兩個(gè)不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，由于“α∥β，則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，則必然α中任何一條直線平行于另一個(gè)平面，條件可以推出結(jié)論，反之不成立，∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件．故選A．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定．8、D【解題分析】

根據(jù)線性回歸直線過樣本中心點(diǎn)，可得，然后代值計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：所以回歸直線方程為當(dāng)當(dāng)時(shí)，故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程，掌握回歸系數(shù)的求法以及回歸直線必過樣本中心點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】試題分析：集合，,，，故選B.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及集合的運(yùn)算.10、C【解題分析】不能推出，反過來，若則成立，故為必要不充分條件.11、D【解題分析】

試題分析：，∵函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上恒成立．∴，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴．∴的取值范圍是．故選D．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.12、C【解題分析】

根據(jù)能被2整除，可知為偶數(shù).最高位不能為0，可分類討論末位數(shù)字，即可得總個(gè)數(shù).【題目詳解】由能夠被2整除，可知該六位數(shù)為偶數(shù)，根據(jù)末位情況，分兩種情況討論：當(dāng)末位數(shù)字為0時(shí)，其余五個(gè)數(shù)為任意全排列，即有種；當(dāng)末位數(shù)字為2或4時(shí)，最高位從剩余四個(gè)非零數(shù)字安排，其余四個(gè)數(shù)位全排列，則有，綜上可知，共有個(gè).故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列組合的簡單應(yīng)用，分類分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：根據(jù)，建立方程求出m，詳解：向量，，且，，解得，，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量的線性運(yùn)算以及向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14、.【解題分析】分析：確定A1C1到底面ABCD的距離為正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高，即可求得結(jié)論．詳解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，∴平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∵A1C1?平面A1B1C1D1，∴A1C1∥平面ABCD∴A1C1到底面ABCD的距離為正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長為2，AC1與底面ABCD成60°角，∴A1A=2tan60°=故答案為．點(diǎn)睛：本題考查線面距離，確定A1C1到底面ABCD的距離為正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高是解題的關(guān)鍵．如果直線和已知的平面是平行的，可以將直線和平面的距離，轉(zhuǎn)化為直線上一點(diǎn)到平面的距離.15、8【解題分析】

利用求解.【題目詳解】，則.故答案為：8【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16、.【解題分析】分析：首先求得p和q，然后結(jié)合是的必要不充分條件求解實(shí)數(shù)a的取值范圍即可.詳解：求解二次不等式可得：，求解二次不等式可得：，是的必要不充分條件，則：，即：，求解不等式組可得：實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛：本題主要考查充分性、必要性條件的應(yīng)用，集合思想的應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ），；（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)，符合題意.【解題分析】

（Ⅰ）由題意可整理為，從而代入，即可求，的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)和時(shí)，可得到一組、的值，于是假設(shè)該式成立，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【題目詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，整理得，由，代入得?（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)、，使得對任意正整數(shù)恒成立.當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，，②由①②解得：，.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：存在實(shí)數(shù)，，使對任意正整數(shù)恒成立.（1）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立.（2）當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在，，使得成立，那么，當(dāng)時(shí)，.即當(dāng)時(shí)，存在，，使得成立.由（1）（2）得：存在實(shí)數(shù)，，使對任意正整數(shù)恒成立.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，分析能力，邏輯推理能力，比較綜合，難度較大.18、（1），（2）見解析【解題分析】

（1）中文專業(yè)有人，因此抽1人抽到中文專業(yè)的概率是，從而可得，由此也可得．（2）共有4名女生，因此的可能值分別為0,1,2,3，分別求出其概率，得分布列，再由期望公式可得期望．【題目詳解】(1)設(shè)事件:從10位學(xué)生中隨機(jī)抽取一位,抽到該名同學(xué)為“中文專業(yè)”由題意可知“中文專業(yè)”的學(xué)生共有人.解得,所以(2)由題意,的可能取值為0,1，2,3山題意可知,“女生"共有4人所以，所以的分別列為0123所以【題目點(diǎn)撥】本題考查隨機(jī)變量概率分布列，考查古典概型．考查運(yùn)算求解能力．19、（1）；（2）【解題分析】

（1）求出公差，根據(jù)通項(xiàng)公式即可求出；（2）由（1）可寫出，則數(shù)列是等差數(shù)列.根據(jù)通項(xiàng)公式求出使得的的最大值，再根據(jù)前項(xiàng)和公式求出（或根據(jù)前項(xiàng)和公式求出，再根據(jù)二次函數(shù)求最值，求出的最小值）.【題目詳解】（1）方法一：由，又因?yàn)?，所?所以數(shù)列的公差，所以.方法二：設(shè)數(shù)列的公差為.則..得.所以.（2）方法一：由題意知.令得解得.因?yàn)?，所?所以的最小值為.方法二：由題意知.因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以.所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最小值，最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.20、（1）；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，當(dāng)，；當(dāng)，；（3）.【解題分析】

（1）由得到函數(shù)的對稱軸，所以，再根據(jù)函數(shù)所過的點(diǎn)得到c=11,進(jìn)而得到函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)函數(shù)表達(dá)式將絕對值去點(diǎn)，寫成分段形式，討論t的范圍，進(jìn)而得到最值；設(shè)函數(shù)的圖像上存在點(diǎn)符合要求其中則，從而，變形為，根據(jù)數(shù)據(jù)43為質(zhì)數(shù)，故可得到結(jié)果.【題目詳解】（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)所以二次函數(shù)的對稱軸方程為，即，所以.又因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)所以，解得，因此，函數(shù)的解析式為.(2)由（1）知，=，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，，如果函數(shù)的圖像上存在點(diǎn)符合要求其中則，從而即,注意到43是質(zhì)數(shù)，且，所以有，解得,因此，函數(shù)的圖像上存在符合要求的點(diǎn)，它的坐標(biāo)為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．分段函數(shù)的值域是將各段的值域并到一起，分段函數(shù)的定義域是將各段的定義域并到一起，分段函數(shù)的最值，先取每段的最值，再將兩段的最值進(jìn)行比較，最終取兩者較大或者較小的.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】分析：（1）根據(jù)題意得到關(guān)于a,c的方程組，解方程組得E的方程.(2)設(shè)：，先求，再求點(diǎn)到直線的距離，最后求，再利用基本不等式求面積的取值范圍.詳解：（Ⅰ）設(shè)，由條件知，，得，又，所以，，故的方程為.（Ⅱ）當(dāng)軸時(shí)不合題意，故設(shè)：，，，將代入得，當(dāng)，即時(shí)，，從而，又點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以的面積的取值范圍