專題10等比數(shù)列（知識(shí)梳理精講）原卷版

專題10等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列的概念定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示，定義的表達(dá)式為．例1．（1）、（2023上·山東濰坊·高三?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，已知，，則該等比數(shù)列的公比是（

）A． B． C． D．（2）、（2016上·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則.（3）、（2023上·天津南開·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的公比為，則“且”是“是遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件1．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）兩個(gè)數(shù)4和9的等比中項(xiàng)是（

）A．6 B．C． D．2．（2024上·北京大興·高三統(tǒng)考期末）設(shè)是等比數(shù)列，，，則.3．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則.例2．（2023上·上海普陀·高三曹楊二中?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)、、（其中、、成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的、、；若不存在，請說明理由.1．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是n、的等差中項(xiàng)，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）、設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則它的通項(xiàng)公式．（2）、推廣形式：例4．（1）、（2023上·湖南岳陽·高二?？几傎悾┰跀?shù)列中，，，則為（

）．A． B． C． D．（2）、（2023上·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知為等比數(shù)列，公比，，且成等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式．（3）、（2023上·上海虹口·高三?？计谥校┮阎獢?shù)列是首項(xiàng)為2公差不為0的等差數(shù)列，且其中、、三項(xiàng)成等比數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．（4）、（2023上·重慶·高三西南大學(xué)附中?？计谥校┑缺葦?shù)列中，，，則.1．（2017上·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校┮阎缺葦?shù)列中，，，則該數(shù)列的通項(xiàng)（

）A． B． C． D．2．（2023上·廣東汕頭·高三汕頭市潮陽黃圖盛中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則的通項(xiàng)公式.3．（2023上·陜西渭南·高三?？茧A段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則．4．（2022上·浙江杭州·高二杭州高級中學(xué)校考期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，若，則．例4．（2024上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谀┮阎枪畈粸榱愕牡炔顢?shù)列，，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前1012項(xiàng)和．1．（2023上·福建泉州·高三校考階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均不相同的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求知識(shí)點(diǎn)三等比中項(xiàng)（1）等比中項(xiàng)：如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)．即是與的等比中項(xiàng)?，，成等比數(shù)列?．（2）若時(shí)，則，特別地，當(dāng)時(shí)，．例5．（1）、（2024上·河北保定·高二保定一中?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則的值為．（2）、（2023上·陜西西安·高二西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，，且，則（

）A． B． C． D．（3）、（2023下·黑龍江大慶·高二大慶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則.1．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）記為公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，且，，成等比數(shù)列，則的值為.2．（2023上·湖北·高二期末）已知數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．3．（2022下·四川南充·高一四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，若3是與的等比中項(xiàng)，則的最大值是.知識(shí)點(diǎn)四等比數(shù)列的綜合性質(zhì)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為例6．（1）、（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，則的最小值為.（2）、（2017上·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校┤舻缺葦?shù)列滿足，則等于（

）A．6 B．±6 C．5 D．±5（3）、（2024上·河北邢臺(tái)·高二河北省博野中學(xué)校聯(lián)考期末）現(xiàn)有一根4米長的木頭，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木頭的，到第天時(shí)，共截掉了米，則（

）A．5 B．6 C．7 D．81．（2024上·吉林白山·高二統(tǒng)考期末）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，已知，則.2．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．3．（2023上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，公比．若是數(shù)列的前n項(xiàng)積，則取得最大值時(shí)n的值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9例7．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n