上海市東實驗學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測試題含解析

上海市東實驗學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在極坐標系中，點關(guān)于極點的對稱點為A． B． C． D．2．從裝有形狀大小相同的3個黑球和2個白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，則第三次抽得白球的概率等于（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若的兩個極值點的等差中項在區(qū)間上，則整數(shù)（）A．1或2 B．2 C．1 D．0或14．等比數(shù)列{}的前n項和為，若則=A．10 B．20 C．20或-10 D．-20或105．某城市收集并整理了該市2017年1月份至10月份每月份最低氣溫與最高氣溫（單位：）的數(shù)據(jù)，繪制了折線圖（如圖）.已知該市每月的最低氣溫與當月的最高氣溫兩變量具有較好的線性關(guān)系，則根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A．最低氣溫低于的月份有個B．月份的最高氣溫不低于月份的最高氣溫C．月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在月份D．每月份最低氣溫與當月的最高氣溫兩變量為正相關(guān)6．把語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)這五門課程安排在一天的五節(jié)課中，如果數(shù)學(xué)必須比語文先上，則不同的排法有多少種（）A．24 B．60 C．72 D．1207．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)數(shù)平面上對應(yīng)的點()A．關(guān)于軸對稱 B．關(guān)于軸對稱C．關(guān)于原點對稱 D．關(guān)于直線對稱8．已知集合，，則如圖中陰影部分所表示的集合為（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，的圖象在點處的切線過點，若圖象在點處的切線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．10．若對任意的，關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．11．若是虛數(shù)單位，，則實數(shù)（）A． B． C．2 D．312．函數(shù)的極值情況是（）．A．有極大值，極小值2 B．有極大值1，極小值C．無極大值，但有極小值 D．有極大值2，無極小值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在存在零點（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則的最小值是__________.14．已知隨機變量服從二項分布，那么方差的值為__________．15．已知為偶函數(shù)，當時，，則曲線在點處的切線方程是__________．16．拋物線的焦點到準線的距離為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），，求一個以為根的實系數(shù)一元二次方程．18．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)恰有一個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當，且時，證明：.（常數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)）.19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是一個菱形，三角形PAD是一個等腰三角形，∠BAD＝∠PAD＝，點E在線段PC上，且PE＝3EC．（1）求證：AD⊥PB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角E﹣AB﹣P的余弦值．20．（12分）已知二項式．（1）求展開式中的常數(shù)項；（2）設(shè)展開式中系數(shù)最大的項為求的值。21．（12分）在平面直角坐標系中，圓為參數(shù)，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線l的極坐標方程為．分別求圓的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；設(shè)直線交曲線于兩點，曲線于兩點，求的長；為曲線上任意一點，求的取值范圍．22．（10分）如圖，是通過某城市開發(fā)區(qū)中心O的兩條南北和東西走向的街道，連結(jié)M，N兩地之間的鐵路線是圓心在上的一段圓弧，若點M在點O正北方向3公里；點N到的距離分別為4公里和5公里.（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，求鐵路線所在圓弧的方程；（2）若該城市的某中學(xué)擬在點O的正東方向選址建分校，考慮環(huán)境問題，要求校址到點O的距離大于4公里，并且鐵路上任意一點到校址的距離不能小于公里，求該校址距點O的最短距離（注：校址視為一個點）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：在極坐標系中，關(guān)于極點的對稱點為詳解：∵關(guān)于極點的對稱點為，

∴關(guān)于極點的對稱點為．

故選：C．點睛：本題考查一個點關(guān)于極點的對稱點的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意極坐標性質(zhì)的合理運用．2、D【解題分析】分析：這是一個條件概率，可用古典概型概率公式計算，即從5個球中取三個排列，總體事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的條件下抽排第一次和第三次球.詳解：.點睛：此題是一個條件概率，條件是第二次抽取的是黑球，不能誤以為是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那樣求得錯誤結(jié)論為.3、B【解題分析】

根據(jù)極值點個數(shù)、極值點與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系可確定的取值范圍，結(jié)合為整數(shù)可求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得：.有兩個極值點，，解得：或.方程的兩根即為的兩個極值點，，綜上可得：，又是整數(shù)，.故選：.【題目點撥】本題考查極值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，關(guān)鍵是明確極值點是導(dǎo)函數(shù)的零點，從而利用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造方程.4、B【解題分析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比數(shù)列即（S20﹣S10）2＝S10?（S30﹣S20），代入可求．【題目詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比數(shù)列，且公比為∴（S20﹣S10）2＝S10?（S30﹣S20）即解=20或-10（舍去）故選B．【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)（若Sn為等比數(shù)列的前n項和，且Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k不為0，則其成等比數(shù)列）的應(yīng)用，注意隱含條件的運用5、A【解題分析】

由該市2017年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫（單位：℃）的數(shù)據(jù)的折線圖，得最低氣溫低于0℃的月份有3個．【題目詳解】由該市2017年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫（單位：℃）的數(shù)據(jù)的折線圖，得：在A中，最低氣溫低于0℃的月份有3個，故A錯誤．在B中，10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫，故B正確；在C中，月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在1月，故C正確；在D中，最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)，故D正確；故選：A．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，考查折線圖等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】

由題意,先從五節(jié)課中任選兩節(jié)排數(shù)學(xué)與語文,剩余的三節(jié)任意排列,則有種不同的排法.本題選擇B選項.7、A【解題分析】

由題意可得z1，z2的實部相等，虛部互為相反數(shù)，故z1，z2在復(fù)數(shù)平面上對應(yīng)的點Z1，Z2的關(guān)系即可得解．【題目詳解】復(fù)數(shù)滿足，可得z1，z2的實部相等，虛部互為相反數(shù)，故z1，z2在復(fù)數(shù)平面上對應(yīng)的點關(guān)于軸對稱，故選A.【題目點撥】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】

由圖象可知陰影部分對應(yīng)的集合為，然后根據(jù)集合的基本運算求解即可.【題目詳解】由Venn圖可知陰影部分對應(yīng)的集合為，或，，，即，故選D.【題目點撥】本題主要考查集合的計算，利用圖象確定集合關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

首先根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱得到，，即.利用導(dǎo)數(shù)的切線過點得到，再求函數(shù)在處的切線傾斜角的正切值和正弦值，代入式子計算即可.【題目詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以.即：，解得，.所以，，切點為.，.切線為：.因為切線過點，所以，解得.所以，.，所以.所以.故選：B【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的切線問題，同時考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬于中檔題.10、C【解題分析】

令f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|，然后將f（x）化成分段函數(shù)，則m的最大值為f（x）的最小值．【題目詳解】設(shè)F(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝如圖所示，F(xiàn)(x)min＝－－3＝－.故m≤F(x)min＝－.【題目點撥】本題考查了絕對值在分段函數(shù)中的應(yīng)用，正確去掉絕對值符號是關(guān)鍵．11、B【解題分析】

先利用復(fù)數(shù)的模長公式得到，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，即得解.【題目詳解】由于由復(fù)數(shù)相等的定義，故選：B【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)的模長和復(fù)數(shù)相等的概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】

求導(dǎo)分析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點,進而求得原函數(shù)的單調(diào)性再判斷即可.【題目詳解】由題,函數(shù)定義域為,,令有.故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.且當時,；當時,故有極大值,極小值2.故選：A【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)極值的求解,需要求導(dǎo)分析單調(diào)性.同時注意函數(shù)在和上分別單調(diào)遞減.屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

依題意可得方程，在上存在解，要使取得最小值，則，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對分類討論，分別求出的最小值，即可得解，【題目詳解】解：依題意在存在零點，即方程在存在解，即，在存在解，要使取得最小值，則，令，則，①當時，在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以，即，，所以；②當即時，當時，，當時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，所以，令，則，，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以③當時，則在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，綜上可得的最小值為故答案為：．【題目點撥】本題考查函數(shù)零點及最值問題，考查分析問題解決問題的能力及數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．14、【解題分析】分析：隨機變量服從二項分布，那么，即可求得答案.詳解：隨機變量服從二項分布，那么，即.故答案為：.點睛：求隨機變量X的均值與方差時，可首先分析X是否服從二項分布，如果X～B(n，p)，則用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大減少計算量．15、【解題分析】試題分析：當時，，則．又因為為偶函數(shù)，所以，所以，則切線斜率為，所以切線方程為，即．【考點】函數(shù)的奇偶性與解析式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當時，函數(shù)，則當時，求函數(shù)的解析式”．有如下結(jié)論：若函數(shù)為偶函數(shù)，則當時，函數(shù)的解析式為；若為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為．16、【解題分析】，所以，所以拋物線的焦點到準線的距離為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】

先由求出復(fù)數(shù)，再由求出復(fù)數(shù)，計算出其復(fù)數(shù)，可得出以復(fù)數(shù)為根的實系數(shù)方程為，化簡后可得出結(jié)果.【題目詳解】由，得，，.，，因此，以復(fù)數(shù)為一個根的實系數(shù)方程為，即，即.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)形式的乘法與除法運算，考查實系數(shù)方程與虛根之間的關(guān)系，考查運算求解能力，屬于中等題.18、（1）（2）證明見解析【解題分析】

1，等價于方程在恰有一個變號零點．即在恰有一個變號零點．令，利用

函數(shù)圖象即可求解．

2要證明：只需證明，即證明要證明，即證明利用導(dǎo)數(shù)即可證明．【題目詳解】Ⅰ，，，函數(shù)恰有一個極值點，方程在恰有一個變號零點．在恰有一個變號零點．令，則．可得時，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，，函數(shù)單調(diào)遞減．函數(shù)草圖如下，可得，．實數(shù)a的取值范圍為：2要證明：證明．證明，即證明．令則，時，，函數(shù)遞增，時，，遞減．，即原不等式成立．要證明，即證明．，故只需證明即可．令，則．時，，函數(shù)遞減，時，，函數(shù)遞增．，又，故原不等式成立．綜上，，【題目點撥】本題考查了函數(shù)的極值、單調(diào)性，考查了函數(shù)不等式的證明、分析法證明不等式，屬于中檔題．19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）取中點,連接,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得平面，由此證得.（2）以分別為軸建立空間直角坐標系，通過計算平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.【題目詳解】（1）取中點,連接,由條件知均為等邊三角形，因此,而由線面垂直定理可證,又即證（2）由（1）知，從而；以建立空間直角坐標系，如圖所示：設(shè)，則，，，,，設(shè)面的法向量為則可得；設(shè)面的法向量為則可得由圖知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【題目點撥】本小題主要考查線線垂直、線面垂直的證明，考查利用空間向量計算二面角的余弦值，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、（1）7920；（2）12.【解題分析】

(1)直接利用展開式通項,取次數(shù)為0,解得答案.(2)通過展開式通項最大項大于等于前一項和大于等于后一項得到不等式組,解得答案.【題目詳解】解：（1）展開式中的通項，令得所以展開式中的常數(shù)項為（2）設(shè)展開式中系數(shù)最大的項是，則所以代入通項公式可得.【題目點撥】本題考查了二項式定理的常數(shù)項和最大項,意在考查學(xué)生的計算能力.21、（1），；（2）；（3）.【解題分析】

消去參數(shù)得到普通方程，利用這個是可得到的直角坐標，直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系對極坐標方程進行轉(zhuǎn)換可得到曲線的極坐標方程；利用方程組和兩點間的距離公式分別求出,相減求出結(jié)果．利用向量的數(shù)量積和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換及正弦型函數(shù)的性質(zhì)可求出結(jié)果．【題目詳解】圓為參數(shù)，轉(zhuǎn)換為直角