2024屆廣東省東莞市北京師范大學(xué)石竹附屬學(xué)校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2024屆廣東省東莞市北京師范大學(xué)石竹附屬學(xué)校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是A． B． C． D．2．已知，則復(fù)數(shù)（）A． B．2 C． D．3．已知方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，在第二步證明從到成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（）A． B． C． D．15．命題，，則為（）A．， B．，C．， D．，6．已知函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]7．已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，若，則m的最小值為（）A．6 B．7 C．8 D．99．已知隨機(jī)變量，且，則（）A．1．25 B．1．3 C．1．75 D．1．6510．l：與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為A．6 B．1 C． D．311．若函數(shù)在時(shí)取得極值，則（）A． B． C． D．12．已知，，，則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則______．14．若函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________；15．一個(gè)盒子中有大小、形狀完全相同的m個(gè)紅球和6個(gè)黃球.從盒中每次隨機(jī)取出一個(gè)球，記下顏色后放回，共取5次，設(shè)取到紅球的個(gè)數(shù)為X，若，則m的值為________.16．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）請(qǐng)先閱讀：在等式的兩邊求導(dǎo)，得：，由求導(dǎo)法則，得：，化簡(jiǎn)得等式：．利用上述的想法，結(jié)合等式（,正整數(shù)）（1）求的值；（2）求的值．18．（12分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，面，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面;（2）設(shè)，，三棱錐的體積，求A到平面PBC的距離．19．（12分）已知函數(shù)（且，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).）（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值.20．（12分）某市一次全市高中男生身高統(tǒng)計(jì)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全市10萬名男生的身高服從正態(tài)分布.現(xiàn)從某學(xué)校高中男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，測(cè)量發(fā)現(xiàn)被測(cè)學(xué)生身高全部介于160cm和190cm之間，將身高的測(cè)量結(jié)果按如下方式分成5組：第1組[160,166)，第2組[166，172)，...，第5組[184，190]下表是按上述分組方法得到的頻率分布表：分組[160，166)[166，172)[172，178)[178，184)[184，190]人數(shù)31024103這50個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別比10萬個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差多1和6.68，且這50個(gè)數(shù)據(jù)的方差為.(同組中的身高數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)：(1)求，；(2)給出正態(tài)分布的數(shù)據(jù)：，.(i)若從這10萬名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，求該學(xué)生身高在(169,179)的概率；(ii)若從這10萬名學(xué)生中隨機(jī)抽取1萬名，記為這1萬名學(xué)生中身高在(169，184)的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望.21．（12分）若，且.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值;（Ⅱ）求的值.22．（10分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是菱形，∠BCD＝110°，PA⊥底面ABCD，PA＝4，AB＝1．（I）求證：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）過AC的平面交PD于點(diǎn)M若平面AMC把四面體P﹣ACD分成體積相等的兩部分，求二面角A﹣MC﹣P的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)題意可知，利用參數(shù)分離的方法求出使命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題的的取值范圍，的取值范圍構(gòu)成的集合應(yīng)為正確選項(xiàng)的真子集，從而推出正確結(jié)果．【題目詳解】命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題根據(jù)選項(xiàng)滿足是的必要不充分條件只有，故答案選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了簡(jiǎn)單的不等式恒成立問題以及求一個(gè)命題的必要不充分條件．2、A【解題分析】

由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【題目詳解】由題意可得：，則.本題選擇A選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)的模的計(jì)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3、C【解題分析】

由于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，則方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在的值域即可解決問題?！绢}目詳解】由于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，則方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，（1）當(dāng)時(shí)，則在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，根據(jù)零點(diǎn)定理可得只有唯一零點(diǎn)，不滿足題意；（2）當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：或，故的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為，①當(dāng)，即時(shí)，則在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，根據(jù)零點(diǎn)定理可得只有唯一零點(diǎn)，不滿足題意；②當(dāng)，即時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，，，故要使函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，解得：；綜上所述：方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為：故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查方程根的個(gè)數(shù)問題，可轉(zhuǎn)為函數(shù)的零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及最值即可解決問題，有一定的綜合性，屬于中檔題。4、A【解題分析】

先求出n=k+1時(shí)左邊最后的一項(xiàng)，再求左邊增加的項(xiàng)數(shù).【題目詳解】n=k+1時(shí)左邊最后的一項(xiàng)為，n=k時(shí)左邊最后一項(xiàng)為，所以左邊增加的項(xiàng)數(shù)為.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.5、C【解題分析】

含有一個(gè)量詞命題的否定方法：改變量詞，否定結(jié)論.【題目詳解】量詞改為：，結(jié)論改為：，則，.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查含一個(gè)量詞命題的否定，難度較易.含一個(gè)量詞命題的否定方法：改量詞，否結(jié)論.6、D【解題分析】

由為上的減函數(shù)，根據(jù)和時(shí)，均單調(diào)遞減，且，即可求解.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為上的減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，遞減，即，當(dāng)時(shí)，遞減，即，且，解得，綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要靠考查了分段函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，其中熟練掌握分段的基本性質(zhì)，列出相應(yīng)的不等式關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

可以得出，從而得出c＜a，同樣的方法得出a＜b，從而得出a，b，c的大小關(guān)系．【題目詳解】,,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到a>c,,又因?yàn)?，，再由?duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到a<b,∴c＜a，且a＜b；∴c＜a＜b．故選D．【題目點(diǎn)撥】考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．比較兩數(shù)的大小常見方法有：做差和0比較，做商和1比較，或者構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性得到結(jié)果.8、C【解題分析】

根據(jù)an＝sn﹣sn﹣1可以求出{an}的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求出sm，最后根據(jù)已知，解出m即可．【題目詳解】由已知可得，，，，（n≥2），1，即，解之得，或7.5，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)相消法求和，考查了分式不等式的解法，屬于中等難度．9、C【解題分析】

利用正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)求解即可.【題目詳解】由題得，所以.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)，考查指定概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.10、D【解題分析】

先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再求三角形的面積得解.【題目詳解】當(dāng)x=0時(shí)，y=2,當(dāng)y=0時(shí)，x=3,所以三角形的面積為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.11、D【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在時(shí)取得極值，得到，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)椋?，又函?shù)在時(shí)取得極值，所以，解得.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，屬于常考題型.12、A【解題分析】

由指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小,即可得出結(jié)論.【題目詳解】故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的比較,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

由題設(shè)條件，先求出，．【題目詳解】由題，可得則即答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的函數(shù)值求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，是基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

作出函數(shù)的圖象和直線，由圖形觀察可知它們有兩交點(diǎn)的情形?！绢}目詳解】作出函數(shù)的圖象和直線，如圖，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線與函數(shù)圖象相切時(shí)，，，，（舍去），∴函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)。故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，解題時(shí)用數(shù)形結(jié)合思想，即作出函數(shù)圖象（半個(gè)橢圓）及直線當(dāng)平移直線時(shí)觀察它與函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況．本題解題時(shí)要特別注意函數(shù)圖象只是橢圓的上半部分，不能誤認(rèn)為是整個(gè)橢圓，那就會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)論．15、14【解題分析】

利用計(jì)算即可.【題目詳解】由題意，知，則，解得.故答案為：14【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布的期望，考查學(xué)生對(duì)常見分布的期望公式的掌握情況，是一道容易題.16、【解題分析】

設(shè)，再求函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式得解.【題目詳解】設(shè)，因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù)，其函數(shù)的圖像為函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由題得，所以,所以,所以，所以.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性及其應(yīng)用，考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2).【解題分析】

（1）根據(jù)題意對(duì)兩邊求導(dǎo)，再令得到結(jié)果；（2）對(duì)已知式子兩邊同時(shí)乘以得：再令，求得答案.【題目詳解】（1）依題意得對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：令得：（2）由（1）得：兩邊同時(shí)乘以得：對(duì)上式兩邊同時(shí)求導(dǎo)得即令，【題目點(diǎn)撥】本題以新定義為背景的創(chuàng)新題，考查二項(xiàng)式定和導(dǎo)數(shù)知識(shí)的交會(huì)，要求讀懂題意并會(huì)把知識(shí)遷移到新情境中進(jìn)行問題解決，對(duì)綜合能力要求較高.18、（1）證明見解析（2）到平面的距離為【解題分析】

試題分析：（1）連結(jié)BD、AC相交于O，連結(jié)OE，則PB∥OE，由此能證明PB∥平面ACE．（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出A到平面PBD的距離試題解析：(1）設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO．因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．又E為PD的中點(diǎn)，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC．（2）由，可得.作交于．由題設(shè)易知，所以故，又所以到平面的距離為法2：等體積法由，可得.由題設(shè)易知,得BC假設(shè)到平面的距離為d，又因?yàn)镻B=所以又因?yàn)?或)，，所以考點(diǎn)：線面平行的判定及點(diǎn)到面的距離19、(1).（2）時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).【解題分析】試題分析：(1)由導(dǎo)函數(shù)的解析式可得．(2)由，得，分類討論和兩種情況可得．試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，令，解得，時(shí)，；時(shí)，，∴，而，，即．（Ⅱ），，令，得，則①當(dāng)時(shí)，，極小值所以當(dāng)時(shí)，有最小值，因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)和時(shí)，都有，則，即，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以此方程無解．②當(dāng)時(shí)，，極小值所以當(dāng)時(shí)，有最小值，因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)和時(shí)，都有，所以，即（）（*）設(shè)，則，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，，所以方程（*）有且只有一解．綜上，時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．20、(1)=174；；(2)(i)0.6826；(ii)8185【解題分析】

（1）由每組的中間值乘以該組的人數(shù)，再求和，最后除以總?cè)藬?shù)，即可求出平均值，根據(jù)題意即可得到，再由，以及題中條件，即可得出；（2）(i)先由題意得(169，179)=(，)，根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，即可求出對(duì)應(yīng)概率；(ii)由題意可知(169，184)=(，)，，先求出一名學(xué)生身高在(169，184)的概率，由題意可知服從二項(xiàng)分布，再由二項(xiàng)分布的期望，即可求出結(jié)果.【題目詳解】解：(1)根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)可以得出這50個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為所以，又=31.68，所以.(2)(i)由題意可知(169，179)=(，)，所以該學(xué)生身高在(169，179)的概率為p=0.6826(ii)由題意可知(169，184)=(，)，所以一名學(xué)生身高在(169，184)的概率為根據(jù)題意，所以的數(shù)學(xué)期望.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，正態(tài)分布特殊區(qū)間的概率，以及二項(xiàng)分布的期望問題，熟記公式即可，屬于常考題型.21、(Ⅰ)；(Ⅱ)2【解題分析】

（Ⅰ）解法1：將展開，找出項(xiàng)的系數(shù)表達(dá)式，結(jié)合條件列方程求出的值；解法2：利用二項(xiàng)式定理寫出的通項(xiàng)，令的指數(shù)為，列方程求出參數(shù)的值，再將參數(shù)代入通項(xiàng)得出的系數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合條件列方程求出實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）解法1：令代入題干等式求出的值，再令可得出的值，減去可得出，再乘以可得出答案；解法2：利用二項(xiàng)式定理求出、、、、、、的值，代入代數(shù)式可得出答案?！绢}目詳解】（Ⅰ）解法1：因?yàn)?，所以，解?：，，所以。（Ⅱ）解法1：當(dāng)時(shí)，，