2024屆北京十四中數(shù)學高二下期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆北京十四中數(shù)學高二下期末質量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設是等差數(shù)列.下列結論中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．盒中有只螺絲釘，其中有只是不合格的，現(xiàn)從盒中隨機地取出只，那么恰有只不合格的概率是（）A． B． C． D．3．用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為A．24 B．48C．60 D．724．已知函數(shù)在區(qū)間內既有極大值又有極小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律:衛(wèi)星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星至地球的連線)在相同的時間內掃過的面積相等.設橢圓的長軸長、焦距分別為2a,2c.李明根據(jù)所學的橢圓知識，得到下列結論：①衛(wèi)星向徑的最小值為a-c，最大值為a+c；②衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，橢圓軌道越扁；③衛(wèi)星運行速度在近地點時最小，在遠地點時最大其中正確結論的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．36．已知函數(shù)，若，則的最大值是（）A． B．- C． D．--7．由與直線圍成的圖形的面積是（）A． B． C． D．98．甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學．若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有()A．150種 B．180種 C．300種 D．345種9．設點和直線分別是雙曲線的一個焦點和一條漸近線，若關于直線的對稱點恰好落在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．10．已知高為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，若二面角的正切值為4，則（）A． B． C． D．11．設△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，則△ABC的內切圓半徑為.將此結論類比到空間四面體：設四面體的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，體積為V，則四面體的內切球半徑為r＝（）A． B．C． D．12．函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某互聯(lián)網(wǎng)公司借助手機微信平臺推廣自己的產(chǎn)品，對今年前5個月的微信推廣費用與利潤額（單位：百萬元）進于了初步統(tǒng)計，得到下列表格中的數(shù)據(jù)：經(jīng)計算，月微信推廣費用與月利潤額滿足線性回歸方程，則的值為______．14．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且,則_______．15．已知復數(shù)z＝(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝________．16．四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，則恰有兩個空盒的不同放法共有__________種.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.18．（12分）2018年雙11當天，某購物平臺的銷售業(yè)績高達2135億人民幣．與此同時，相關管理部門推出了針對電商的商品和服務的評價體系，現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.9，對服務的好評率為0.75，其中對商品和服務都做出好評的交易為140次．（1）請完成下表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過0.5％的前提下，認為商品好評與服務好評有關？對服務好評對服務不滿意合計對商品好評140對商品不滿意10合計200（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務全好評的次數(shù)為X．①求隨機變量X的分布列；②求X的數(shù)學期望和方差．附：K2P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，討論函數(shù)的單調性；（2）當，時，對任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）設數(shù)列滿足，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.21．（12分）已知函數(shù)（，）的最大值為正實數(shù)，集合，集合.（1）求和；（2）定義與的差集：，設、、設均為整數(shù)，且，為取自的概率，為取自的概率，寫出與的二組值，使，.22．（10分）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，是棱的中點，且.（1）求證：平面；（2）如果是棱上一點，且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先分析四個答案，A舉一反例，而，A錯誤，B舉同樣反例，，而，B錯誤，D選項，故D錯，下面針對C進行研究，是等差數(shù)列，若，則設公差為，則，數(shù)列各項均為正，由于，則，故選C.考點：本題考點為等差數(shù)列及作差比較法，以等差數(shù)列為載體，考查不等關系問題，重點是對知識本質的考查.2、A【解題分析】分析：利用古典概型求恰有只不合格的概率.詳解：由古典概型公式得故答案為：A.點睛：（1）本題主要考查古典概型，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2)古典概型的解題步驟:①求出試驗的總的基本事件數(shù)；②求出事件A所包含的基本事件數(shù)；③代公式=.3、D【解題分析】試題分析：由題意，要組成沒有重復數(shù)字的五位奇數(shù)，則個位數(shù)應該為1或3或5，其他位置共有種排法，所以奇數(shù)的個數(shù)為，故選D.【考點】排列、組合【名師點睛】利用排列、組合計數(shù)時，關鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏，分步時要注意整個事件的完成步驟．在本題中，個位是特殊位置，第一步應先安排這個位置，第二步再安排其他四個位置．4、A【解題分析】分析：先求導得到，轉化為方程在（0,2）內有兩個相異的實數(shù)根，再利用根的分布來解答得解.詳解：由題得，原命題等價于方程在（0,2）內有兩個相異的實數(shù)根，所以.故答案為：A.點睛：（1）本題主要考查導數(shù)的應用，考查導數(shù)探究函數(shù)的極值問題，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和分析推理能力數(shù)形結合的思想方法.(2)解答本題有兩個關鍵，其一是轉化為方程在（0,2）內有兩個相異的實數(shù)根，其二是能準確找到方程在（0,2）內有兩個相異的實數(shù)根的等價不等式組,它涉及到二次方程的根的分布問題.5、C【解題分析】

根據(jù)橢圓的焦半徑的最值來判斷命題①，根據(jù)橢圓的離心率大小與橢圓的扁平程度來判斷命題②，根據(jù)題中“速度的變化服從面積守恒規(guī)律”來判斷命題③?！绢}目詳解】對于命題①，由橢圓的幾何性質得知，橢圓上一點到焦點距離的最小值為a-c，最大值為a+c，所以，衛(wèi)星向徑的最小值為a-c，最大值為a+c，結論①正確；對于命題②，由橢圓的幾何性質知，當橢圓的離心率e=ca越大，橢圓越扁，衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值a-ca+c對于命題③，由于速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑在相同的時間內掃過的面積相等，當衛(wèi)星越靠近遠地點時，向徑越大，當衛(wèi)星越靠近近地點時，向徑越小，由于在相同時間掃過的面積相等，則向徑越大，速度越小，所以，衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，在遠地點時最小，結論③錯誤。故選：C?！绢}目點撥】本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓幾何量對橢圓形狀的影響，在判斷時要充分理解這些幾何量對橢圓形狀之間的關系，考查分析問題的能力，屬于中等題。6、A【解題分析】

設，可分別用表示，進而可得到的表達式，構造函數(shù)，通過求導判斷單調性可求出的最大值.【題目詳解】設，則,則，，故.令，則，因為時，和都是減函數(shù)，所以函數(shù)在上單調遞減.由于，故時，；時，.則當時，取得最大值，.即的最大值為.故答案為A.【題目點撥】構造函數(shù)是解決本題的關鍵，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與最值，考查了學生分析問題、解決問題的能力與計算能力，屬于難題.7、C【解題分析】分析：先聯(lián)立方程，組成方程組，求得交點坐標，可得被積區(qū)間，再用定積分表示出y=﹣x2與直線y=2x﹣3的面積，即可求得結論．詳解：由y=﹣x2與直線y=2x﹣3聯(lián)立，解得y=﹣x2與直線y=2x﹣3的交點為（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）因此，y=﹣x2與直線y=2x﹣3圍成的圖形的面積是S==（﹣x3﹣x2+3x）=．故答案為：C．點睛：（1）本題主要考查利用定積分的幾何意義和定積分求面積，意在考查學生對這些知識的掌握水平.（2）從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)，且函數(shù)的圖像有一部分在軸上方，有一部分在軸下方，那么定積分表示軸上方的曲邊梯形的面積減去下方的曲邊梯形的面積.8、D【解題分析】試題分析：分兩類（1）甲組中選出一名女生有種選法；（2）乙組中選出一名女生有種選法．故共有345種選法考點：排列組合9、C【解題分析】

取雙曲線的左焦點為，設右焦點為，為漸近線，與漸近線的交點為關于直線的對稱點設為，連接，運用三角形的中位線定理和雙曲線的定義，離心率公式，計算可得所求值．【題目詳解】如圖所示，取雙曲線的左焦點為，設右焦點為，為漸近線，與漸近線的交點為關于直線的對稱點設為，連接，直線與線段的交點為，因為點與關于直線對稱，則，且為的中點，所以，根據(jù)雙曲線的定義，有，則，即，所以，故選：C．【題目點撥】本題主要考查了雙曲線的離心率的求法，注意運用三角形的中位線定理和雙曲線的定義，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．10、D【解題分析】

過作平面于，為中點，連接.證明面角的平面角為,計算得到,通過勾股定理計算得到答案.【題目詳解】如圖：正三棱錐，過作平面于，為中點，連接.易知：為中點二面角的平面角為正切值為4在中，根據(jù)勾股定理：故答案選D【題目點撥】本題考查了三棱錐的外接球，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.11、C【解題分析】

由內切圓類比內切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可.【題目詳解】設四面體的內切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是r，所以四面體的體積等于以O為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．則四面體的體積為：，所以.故選：C【題目點撥】本題主要考查了類比推理的應用，屬于中檔題.12、D【解題分析】分析：對求導，令，即可求出函數(shù)的單調遞減區(qū)間.詳解：函數(shù)的定義域為，得到.故選D點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

計算,，代入線性回歸方程即可得解.【題目詳解】由題中數(shù)據(jù)可得.由線性回歸方程經(jīng)過樣本中心,.有：，解得.故答案為50.【題目點撥】本題主要考查了回歸直線方程過樣本中心，屬于基礎題.14、0.01【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，求得的值.【題目詳解】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性有.【題目點撥】本小題主要考查正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎題.15、【解題分析】試題分析：因為，所以所以本題也可利用復數(shù)模的性質進行求解，即考點：復數(shù)的模16、84【解題分析】分析：先選兩個空盒子，再把4個小球分為，兩組，分到其余兩個盒子里，即可得到答案.詳解：先選兩個空盒子，再把4個小球分為，兩組，故有.故答案為84.點睛：本題考查的是排列、組合的實際應用，考查了計數(shù)原理，注意這種有條件的排列要分兩步走，先選元素再排列.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】分析：（1）利用項和公式求出數(shù)列的通項公式.(2)先化簡得，再利用裂項相消法求數(shù)列的前項和.詳解：(1)由得，當時，，即，又，當時符合上式，所以通項公式為.(2)由（1）可知.點睛：（1）本題主要考查數(shù)列通項的求法，考查裂項相消法求和，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算能力.(2)類似（其中是各項不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項相消法求和.18、（1）詳見解析（2）①詳見解析②E(X)=2110【解題分析】

(1)補充列聯(lián)表，根據(jù)公式計算卡方值，進行判斷；（2）（?。┟看钨徫飼r，對商品和服務都好評的概率為710，且X的取值可以是0，1，2，3，x符合二項分布，按照二項分布的公式進行計算即可得到相應的概率值；（ⅱ）按照二項分布的期望和方差公式計算即可【題目詳解】（1）由題意可得關于商品和服務評價的2×2列聯(lián)表：對服務好評對服務不滿意合計對商品好評14040180對商品不滿意101020合計15050200則K2由于7.407＜7.879，則不可以在犯錯誤概率不超過0.5％的前提下，認為商品好評與服務好評有關．（2）（?。┟看钨徫飼r，對商品和服務都好評的概率為710且X的取值可以是0，1，2，3，則P(X=0)=(310P(X=2)=C32故X的分布列為X0123P27189441343（ⅱ）由于X～B（3，710），則E(X)=3×710【題目點撥】求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確.19、（1）見解析；（2）.【解題分析】

1通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；2原問題等價于，成立，可得，可得，即，設，，可得在單調遞增，且，即可得不等式的解集即可．【題目詳解】1函數(shù)的定義域為．當時，，所以．當時，，所以函數(shù)在上單調遞增．當時，令，解得：，當時，，所以函數(shù)在上單調遞減；當時，，所以函數(shù)在上單調遞增．綜上所述，當，時，函數(shù)在上單調遞增；當，時，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增．2對任意，，有成立，，，成立，，時，．當時，，當時，，在單調遞減，在單調遞增，，，，設，，．在遞增，，可得，，即，設，，在恒成立．在單調遞增，且，不等式的解集為．實數(shù)b的取值范圍為．【題目點撥】本題考查了導數(shù)的應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間，恒成立問題，考查了轉化思想、運算能力，屬于壓軸題．20、（1）（2）【解題分析】

（1）由數(shù)列恒等式，結合等比數(shù)列的求和公式，可得所求；（2）求得，運用數(shù)列的分組求和和錯位相減法求和，結合等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．【題目詳解】（1），當時，而，符合上式，所以數(shù)列的通項公式為（2），設，，相減可得，化簡可得，可求和得：【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和