遼寧省盤錦市2024屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

遼寧省盤錦市2024屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．求二項式展開式中第三項的系數(shù)是（）A．-672 B．-280 C．84 D．422．某班級有男生人，女生人，現(xiàn)選舉名學生分別擔任班長、副班長、團支部書記和體育班委.男生當選的人數(shù)記為，則的數(shù)學期望為（）A． B． C． D．3．大學生小紅與另外3名大學生一起分配到鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學進行支教，若每個村小學至少分配1名大學生，則小紅恰好分配到甲村小學的方法數(shù)為（）A．3 B．18 C．12 D．64．如圖1為某省2019年1~4月快遞義務量統(tǒng)計圖，圖2是該省2019年1~4月快遞業(yè)務收入統(tǒng)計圖，下列對統(tǒng)計圖理解錯誤的是()A．2019年1~4月的業(yè)務量，3月最高，2月最低，差值接近2000萬件B．2019年1~4月的業(yè)務量同比增長率超過50%，在3月最高C．從兩圖來看2019年1~4月中的同一個月快遞業(yè)務量與收入的同比增長率并不完全一致D．從1~4月來看，該省在2019年快遞業(yè)務收入同比增長率逐月增長5．若圓關于直線：對稱，則直線在軸上的截距為（）A．-l B．l C．3 D．-36．從、、中任取兩個字母排成一列，則不同的排列種數(shù)為（）A． B． C． D．7．用數(shù)學歸納法證明不等式：，則從到時，左邊應添加的項為（）A． B．C． D．8．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則的解集為（）A． B． C． D．9．若直線（t為參數(shù)）與直線垂直，則常數(shù)k=（）A． B．6 C．6 D．10．若函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．已知集合，則為（）A． B． C． D．12．函數(shù)在的圖象大致為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的最小值是___．14．已知雙曲線和橢圓焦點相同，則該雙曲線的方程為__________．15．若對一切，復數(shù)的模始終不大于2，則實數(shù)a的取值范圍是_______；16．在平面直角坐標系xOy中，角的頂點為坐標原點，且以Ox為始邊，它的終邊過點，則的值為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線l的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，曲線C的參數(shù)方程為（是參數(shù)）.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）求曲線C上的點到直線l的距離的最小值.18．（12分）足球是世界普及率最高的運動，我國大力發(fā)展校園足球.為了解本地區(qū)足球特色學校的發(fā)展狀況，社會調查小組得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份x20142015201620172018足球特色學校y（百個）0.300.601.001.401.70（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算y與x的相關系數(shù)r，并說明y與x的線性相關性強弱.（已知：，則認為y與x線性相關性很強；，則認為y與x線性相關性一般；，則認為y與x線性相關性較）：（2）求y關于x的線性回歸方程，并預測A地區(qū)2020年足球特色學校的個數(shù)（精確到個）.參考公式和數(shù)據(jù)：，，.19．（12分）已知函數(shù).⑴求函數(shù)的單調區(qū)間；⑵如果對于任意的，總成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，且.（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.21．（12分）雙曲線的左、右焦點分別為、，直線過且與雙曲線交于、兩點．（1）若的傾斜角為，，是等腰直角三角形，求雙曲線的標準方程；（2），，若的斜率存在，且，求的斜率；（3）證明：點到已知雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為定值是該點在已知雙曲線上的必要非充分條件．22．（10分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，(1)若B1C=1，求直線AB(2)在(1)的條件下，求二面角A1(3)若B1C=2，CG⊥平面A1ABB1，G為垂足，令CG=pCA+qCB+rCB

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

直接利用二項式定理計算得到答案.【題目詳解】二項式展開式的通項為：，取，則第三項的系數(shù)為.故選：.【題目點撥】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力和應用能力.2、C【解題分析】分析：先寫出的取值，再分別求的概率，最后求的數(shù)學期望.詳解：由題得所以故答案為：C點睛：（1）本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力.(2)離散型隨機變量的數(shù)學期望3、C【解題分析】

分兩種情況計算：有一人和小紅同地，無人與小紅同地.【題目詳解】大學生小紅與另外3名大學生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學進行支教，每個村小學至少分配1名大學生，分兩種情況計算：有一人和小紅同地，無人與小紅同地.小紅恰好分配到甲村小學包含的基本事件個數(shù).故選：C【題目點撥】本題主要考查排列組合的綜合應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.4、D【解題分析】

由題意結合所給的統(tǒng)計圖確定選項中的說法是否正確即可.【題目詳解】對于選項A：2018年1～4月的業(yè)務量，3月最高，2月最低，差值為，接近2000萬件，所以A是正確的；對于選項B：2018年1～4月的業(yè)務量同比增長率分別為，均超過，在3月最高，所以B是正確的；對于選項C：2月份業(yè)務量同比增長率為53%，而收入的同比增長率為30%，所以C是正確的；對于選項D，1，2，3，4月收入的同比增長率分別為55%，30%，60%，42%，并不是逐月增長，D錯誤.本題選擇D選項.【題目點撥】本題主要考查統(tǒng)計圖及其應用，新知識的應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.5、A【解題分析】

圓關于直線：對稱,等價于圓心在直線：上,由此可解出.然后令,得,即為所求.【題目詳解】因為圓關于直線：對稱,所以圓心在直線：上,即,解得.所以直線,令,得.故直線在軸上的截距為.故選A.【題目點撥】本題考查了圓關于直線對稱,屬基礎題.6、D【解題分析】

從、、中任取兩個字母排成一列，直接利用排列數(shù)公式可得出結果.【題目詳解】由排列數(shù)的定義可知，從、、中任取兩個字母排成一列，則不同的排列種數(shù)為.故選：D.【題目點撥】本題考查排列數(shù)的應用，考查計算能力，屬于基礎題.7、D【解題分析】

將和式子表示出來，相減得到答案.【題目詳解】時：時：觀察知：應添加的項為答案選D【題目點撥】本題考查了數(shù)學歸納法，寫出式子觀察對應項是解題的關鍵.8、B【解題分析】是定義在上的偶函數(shù)，，即，則函數(shù)的定義域為函數(shù)在上為增函數(shù)，故兩邊同時平方解得，故選9、B【解題分析】

由參數(shù)方程直接求出斜率，表示出另一直線的斜率，利用垂直的直線斜率互為負倒數(shù)即可求出參數(shù)k.【題目詳解】由參數(shù)方程可求得直線斜率為：，另一直線斜率為：，由直線垂直可得：，解得：.故選B.【題目點撥】本題考查參數(shù)方程求斜率與直線的位置關系，垂直問題一般有兩個方法：一是利用斜率相乘為-1，另一種是利用向量相乘得0.10、D【解題分析】因為，由題設可得在上恒成立，令，則，又，且，故，所以問題轉化為不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立．令函數(shù)，則，應選答案D．點睛：本題的求解過程自始至終貫穿著轉化與化歸的數(shù)學思想，求函數(shù)的導數(shù)是第一個轉化過程，換元是第二個轉化過程；構造二次函數(shù)是第三個轉化過程，也就是說為達到求出參數(shù)的取值范圍，求解過程中大手筆地進行三次等價的轉化與化歸，從而使得問題的求解化難為易、化陌生為熟悉、化繁為簡，彰顯了數(shù)學思想的威力．11、C【解題分析】

分別求出集合M，N，和，然后計算.【題目詳解】解：由，得，故集合由，得，故集合，所以故選：C.【題目點撥】本題考查了指數(shù)函數(shù)的值域，對數(shù)函數(shù)的定義域，集合的交集和補集運算，屬于基礎題.12、C【解題分析】，為偶函數(shù)，則B、D錯誤；又當時，，當時，得，則則極值點，故選C．點睛：復雜函數(shù)的圖象選擇問題，首先利用對稱性排除錯誤選項，如本題中得到為偶函數(shù)，排除B、D選項，在A、C選項中，由圖可知，雖然兩個圖象在第一象限都是先增后減，但兩個圖象的極值點位置不同，則我們采取求導來判斷極值點的位置，進一步找出正確圖象．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

換元將原式化為：進而得到結果.【題目詳解】令，，則，所以，即所求最小值為1.故答案為：1.【題目點撥】這個題目考查了對數(shù)型的復合函數(shù)的最值問題，研究函數(shù)最值一般先從函數(shù)的單調性入手，而復合函數(shù)的單調性，由內外層共同決定.14、【解題分析】分析：根據(jù)題意，求出橢圓的焦點坐標，由雙曲線的幾何性質可得若雙曲線和橢圓焦點相同，則有，解得m的值，將m的值代入雙曲線的方程，即可得答案.詳解：根據(jù)題意，橢圓的焦點在x軸上，且焦點坐標為，若雙曲線和橢圓焦點相同，則有，解得，則雙曲線的方程為.故答案為.點睛：本題考查雙曲線的幾何性質，關鍵是掌握雙曲線的標準方程的形式.15、【解題分析】

由模的定義求出模，列出不等式，用幾何意義解釋此不等式，問題為點到的距離不大于2，而點以原點為圓心的單位圓上，因此只要到圓心距離不大于1即可．【題目詳解】由題意，設，，則，而在圓上，∴，即，解得．故答案為：【題目點撥】本題考查復數(shù)的模的定義，考查平面上兩點間的距離公式．解題關鍵是利用的幾何意義，把它轉化為兩點間的距離，而其中一點又是單位圓上的動點，由點到圓上點的距離最大值為此點到圓心距離加半徑，從而問題可轉化為點到圓心的距離不大于1，這樣問題易求解．16、【解題分析】

由任意角的三角函數(shù)定義求得的值，再由兩角差的余弦求解的值.【題目詳解】由題意，故答案為：【題目點撥】本題考查了任意角三角函數(shù)的定義和兩角差的余弦，考查了學生概念理解，數(shù)學運算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),(2)0.【解題分析】

(1)展開兩角和的正弦,結合極坐標與直角坐標的互化公式可得直線的普通方程,把（是參數(shù)）消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標方程;(2)設曲線上的點寫出點到直線的距離公式,利用三角函數(shù)求最值.【題目詳解】由得直線的普通方程為由（是參數(shù)）,消去參數(shù),可得曲線的直角坐標方程為.(2)設曲線上的點,則到直線的距離,當時,即時..【題目點撥】本題考查極坐標方程,參數(shù)方程和普通方程的互化,考查參數(shù)方程在解決點與直線距離最值中的應用,難度一般.18、（1），y與x線性相關性很強（2），244【解題分析】

（1）根據(jù)題意計算出r，再比較即得解；（2）根據(jù)已知求出線性回歸方程，再令x=2020即得解.【題目詳解】（1）由題得所以，y與x線性相關性很強.（2），，關于的線性回歸方程是.當時，，即該地區(qū)2020年足球特色學校有244個.【題目點撥】本題主要考查相關系數(shù)的應用，考查線性回歸方程的求法和應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.19、（1）的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（2）【解題分析】

試題分析：⑴求出函數(shù)的導數(shù)令其大于零得增區(qū)間，令其小于零得減函數(shù)；⑵令，要使總成立，只需時，對討論,利用導數(shù)求的最小值.試題解析：(1)由于，所以.當，即時，；當，即時，.所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.(2)令，要使總成立，只需時.對求導得，令，則，()所以在上為增函數(shù)，所以.對分類討論：①當時，恒成立，所以在上為增函數(shù)，所以，即恒成立；②當時，在上有實根，因為在上為增函數(shù)，所以當時，，所以，不符合題意；③當時，恒成立，所以在上為減函數(shù)，則，不符合題意.綜合①②③可得，所求的實數(shù)的取值范圍是.考點：利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間、利用導數(shù)求函數(shù)最值、構造函數(shù).20、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）先根據(jù)計算得線線線線垂直，再根據(jù)線面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得結論，（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角.【題目詳解】（1）證明：取中點，連結，，，因為底面為菱形，，所以．因為為的中點，所以．在△中，，為的中點，所以．設,則，，因為，所以．在△中，，為的中點，所以．在△和△中，因為，，，所以△△．所以．所以．因為，平面，平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）因為，，，平面，平面，所以平面．所以．由（1）得，，所以，，所在的直線兩兩互相垂直．以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系．設，則，，，，所以，，，設平面的法向量為，則令，則，，所以．設平面的法向量為，則令，則，，所以．設二面角為，由于為銳角，所以．所以二面角的余弦值為．【題目點撥】本題考查線面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空間向量求二面角，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.21、（1）；（2）；（3）見解析.【解題分析】

（1）將代入雙曲線的方程，得出，由是等腰直角三角形，可得出，再將代入可得出的值，由此可得出雙曲線的標準方程；（2）先求出雙曲線的標準方程，并設直線的方程為，將該直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，并求出線段的中點的坐標，由得出，轉化為，利用這兩條直線斜率之積為，求出實數(shù)的值，可得出直線的斜率；（3）設點，雙曲線的兩條漸近線方程為，利用點到直線的距離公式、雙曲線的方程以及必要不充分條件的定義，即可得證.【題目詳解】（1）直線的傾斜角為，，可得直線，代入雙曲線方程可得，是等腰直角三角形可得，即有，解得，，則雙曲線的方程為；（2）由，，可得，直線的斜率存在，設為，設直線方程為，，可得，由，聯(lián)立雙曲線方程，可得，可得，線段的中點為，由，可得，解得，滿足，故直線的斜率為；（3）證明：設，雙曲線的兩條漸近線為，可得到漸近線的距離的乘積為，即為，可得，可得在雙曲線或上，即有點到已知雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為定值是該點在已知雙曲線上的必要非充分條件．【題目點撥】本題考查雙曲線的方程與性質，考查直線與雙曲線的位置關系，同時也考查為韋達定理和中點坐標公式、兩直