內(nèi)蒙古赤峰市重點(diǎn)高中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

內(nèi)蒙古赤峰市重點(diǎn)高中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若不等式的解集為，且的極小值等于，則的值是()。A． B． C．5 D．42．某中學(xué)高二共有12個(gè)年級(jí)，考試時(shí)安排12個(gè)班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個(gè)班級(jí)是自己的班主任監(jiān)考，則不同的安排方案有（）A．4455 B．495 C．4950 D．74253．下列值等于1的積分是（）A． B． C． D．4．同學(xué)聚會(huì)上，某同學(xué)從《愛(ài)你一萬(wàn)年》，《十年》，《父親》，《單身情歌》四首歌中選出兩首歌進(jìn)行表演，則《愛(ài)你一萬(wàn)年》未選取的概率為（）A．B．C．D．5．函數(shù)（）的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．6．已知集合，，若，則等于（）A．1 B．2 C．3 D．47．若x∈0,2π，則不等式x+A．0,π B．π4,5π48．如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形，且AF＝12A．66 B．33 C．69．六位同學(xué)站成一排照相，若要求同學(xué)甲站在同學(xué)乙的左邊，則不同的站法有（）A．種 B．種 C．種 D．種10．已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞減，且是偶函數(shù)，不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．11．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．平面平面B．的取值范圍是（0，]C．的體積為定值D．12．定積分121xdxA．-34 B．3 C．ln二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機(jī)變量X的分布列為P（X＝k）＝（k＝1,2,3,4），則a等于_______．14．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則______.15．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，,為線段,上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn),,的平面截該正方體的截面記為,則下列命題正確的是________.①當(dāng)且時(shí),為等腰梯形;②當(dāng),分別為,的中點(diǎn)時(shí)，幾何體的體積為;③當(dāng)為中點(diǎn)且時(shí)，與的交點(diǎn)為,滿足;④當(dāng)且時(shí),的面積.16．已知復(fù)數(shù)，，其中i為虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）(1)已知可逆矩陣的逆矩陣為，求的特征值.(2)變換是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，對(duì)應(yīng)的變換矩陣是：變換對(duì)應(yīng)用的變換矩陣是，求函數(shù)的圖象依次在，變換的作用下所得曲線的方程.18．（12分）某地方政府召開(kāi)全面展開(kāi)新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換重大工程動(dòng)員大會(huì)，動(dòng)員各方力量，迅速全面展開(kāi)新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換重大工程．某企業(yè)響應(yīng)號(hào)召，對(duì)現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行改造，為了分析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前、后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了200件作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值．若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品．如圖所示的是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖．（1）若設(shè)備改造后樣本的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，求改造后樣本中不合格品的件數(shù)；（2）完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)．0設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計(jì)合格品件數(shù)不合格品件數(shù)合計(jì)附參考公式和數(shù)據(jù)：若，則，．0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63519．（12分）進(jìn)入春天，大氣流動(dòng)性變好，空氣質(zhì)量隨之提高，自然風(fēng)光越來(lái)越美，自駕游鄉(xiāng)村游也就越來(lái)越熱．某旅游景區(qū)試圖探究車流量與景區(qū)接待能力的相關(guān)性，確保服務(wù)質(zhì)量和游客安全，以便于確定是否對(duì)進(jìn)入景區(qū)車輛實(shí)施限行．為此，該景區(qū)采集到過(guò)去一周內(nèi)某時(shí)段車流量與接待能力指數(shù)的數(shù)據(jù)如表：時(shí)間周一周二周三周四周五周六周日車流量（x千輛）1099.510.51188.5接待能力指數(shù)y78767779807375（I）根據(jù)表中周一到周五的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程．（Ⅱ）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2，則認(rèn)為該線性回歸方程是可靠的．請(qǐng)根據(jù)周六和周日數(shù)據(jù)，判定所得的線性回歸方程是否可靠？附參考公式及參考數(shù)據(jù)：線性回歸方程，其中；20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程：（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，求的最小值及此時(shí)的直角坐標(biāo).21．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝x2+bln（x+1），其中b≠1．（1）若b＝﹣12，求f（x）在[1，3]的最小值；（2）如果f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．22．（10分）已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)和圓的極坐標(biāo)方程為（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

求導(dǎo)數(shù)，利用韋達(dá)定理，結(jié)合的極小值等于，即可求出的值，得到答案．【題目詳解】依題意，函數(shù)，得的解集是，于是有，解得，∵函數(shù)在處取得極小值，∴，即，解得，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，著重考查了學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，比較基礎(chǔ).2、A【解題分析】

根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行：先確定8個(gè)是自己的班主任老師監(jiān)考的班級(jí)，然后分析剩余的4個(gè)班級(jí)的監(jiān)考方案，計(jì)算可得其情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】某中學(xué)高二共有12個(gè)年級(jí)，考試時(shí)安排12個(gè)班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個(gè)班級(jí)是自己的班主任監(jiān)考，首先確定8個(gè)是自己的班主任老師監(jiān)考的班級(jí)，有種，而剩余的4個(gè)班級(jí)全部不能有本班的班主任監(jiān)考，有種；由分步計(jì)數(shù)原理可得，共種不同的方案；故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題解題關(guān)鍵是掌握分步計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)計(jì)算公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.3、C【解題分析】

分別求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后根據(jù)定積分的定義分別計(jì)算看其值是否為1即可．【題目詳解】解：選項(xiàng)A，xdxx2，不滿足題意；選項(xiàng)B，（x+1）dx＝（x2+x）1，不滿足題意；選項(xiàng)C，1dx＝x1﹣0＝1，滿足題意；選項(xiàng)D，dxx0，不滿足題意；故選C．考點(diǎn)：定積分及運(yùn)算．4、B【解題分析】,所以選B.5、C【解題分析】

對(duì)x分類討論，去掉絕對(duì)值，即可作出圖象.【題目詳解】故選C．【題目點(diǎn)撥】識(shí)圖常用的方法(1)定性分析法：通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢(shì)，利用這一特征分析解決問(wèn)題；(2)定量計(jì)算法：通過(guò)定量的計(jì)算來(lái)分析解決問(wèn)題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來(lái)分析解決問(wèn)題．6、D【解題分析】

由已知可得，則.【題目詳解】由，得或又由，得，則，即故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

由絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)得出xsinx<0，由0<x<2π，得出【題目詳解】因?yàn)閤+sinx又x∈(0,2π)，所以sinx<0，x∈(π,2π)，故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，再利用絕對(duì)值不等式時(shí)，需要注意等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題。8、C【解題分析】如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(xiàn)(a,0,0)，AG＝(a，a,0)，AC＝(0,2a,2a)，BG＝(a，－a，0)，BC＝(0,0,2a)，設(shè)平面AGC的法向量為n1＝(x1，y1,1)，由AG?n1=0AC?nsinθ＝BG?n1|BG9、C【解題分析】

先作分類，甲在左邊第一位，有；甲在左邊第二位，有；甲在左邊第三位，有；甲在左邊第四位，有；甲在左邊第五位，有；然后直接相加求解即可【題目詳解】甲在左邊第一位，有；甲在左邊第二位，有；甲在左邊第三位，有；甲在左邊第四位，有甲在左邊第五位，有；不同的站法有種，選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題10、A【解題分析】

根據(jù)是偶函數(shù)可以得出函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減可以得出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，從而解出不等式對(duì)任意的恒成立時(shí)的取值范圍．【題目詳解】是偶函數(shù)，所以得出函數(shù)的對(duì)稱軸為，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以．因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的恒成立，所以．選擇A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的對(duì)稱軸和奇偶性的綜合問(wèn)題，在解決此類題目時(shí)要搞清楚每一個(gè)條件能得出什么結(jié)論，把這些結(jié)論綜合起來(lái)即得出結(jié)果．屬于較難的題目．11、B【解題分析】

根據(jù)線面位置關(guān)系進(jìn)行判斷．【題目詳解】∵平面，∴平面平面，A正確；若是上靠近的一個(gè)四等分點(diǎn)，可證此時(shí)為鈍角，B錯(cuò)；由于，則平面，因此的底面是確定的，高也是定值，其體積為定值，C正確；在平面上的射影是直線，而，因此，D正確．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間線面間的位置關(guān)系，考查面面垂直、線面平行的判定，考查三垂線定理等，所用知識(shí)較多，屬于中檔題．12、C【解題分析】

直接利用微積分基本定理求解即可．【題目詳解】由微積分基本定理可得，121x【題目點(diǎn)撥】本題主要考查微積分基本定理的應(yīng)用，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解題分析】試題分析：．隨機(jī)變量的取值有1、2、3、4,分布列為：

1

2

3

4

由概率的基本性質(zhì)知：考點(diǎn)：1、離散型隨機(jī)變量的分布列．14、【解題分析】

把復(fù)數(shù)z=1-2i及它的共軛復(fù)數(shù)代入，將其化簡(jiǎn)為a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【題目詳解】復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則，，故答案為：6?2i.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.15、①②【解題分析】

將①③④三個(gè)命題逐一畫出圖像進(jìn)行分析,即可判斷出真命題,從而得到正確的序號(hào)；②利用空間向量求點(diǎn)面距，進(jìn)而得體積.【題目詳解】①:作圖如下所示,過(guò)作,交于,截面為即即截面為等腰梯形.故①正確.②:以為原點(diǎn),、、分別為、、軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,設(shè)平面的法向量為,則不妨設(shè),則法向量.則點(diǎn)到平面的距離.故②正確.③:延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于一點(diǎn),連接交于點(diǎn).故③錯(cuò)誤④:延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于,連接交于,則截面為四邊形根據(jù)面積比等于相似比的平方得.在中,,邊上的高為故④錯(cuò)誤故答案為:①②.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正方體截面有關(guān)命題真假性的判斷,考查椎體體積計(jì)算,考查空間想象能力和邏輯推理能力.對(duì)于求體積求高時(shí),往往建立空間直角坐標(biāo)系,采用法向量的思想進(jìn)行求解思路比較明確.16、【解題分析】為純虛數(shù)，則三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），.（2）【解題分析】

(1)根據(jù)得出的逆矩陣，結(jié)合特征值的性質(zhì)即可求解;(2)先求出,再求點(diǎn)的變換，從而利用函數(shù)求出變換作用下所得曲線的方程.【題目詳解】（1）解：由可知，所以，，所以，；所以，，由，，.（2）.設(shè)變換后圖像上任一點(diǎn)，與之對(duì)應(yīng)的變換前的點(diǎn)是，則，也就是，即，所以所求曲線的方程是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了逆矩陣、特征值以及矩陣變換等知識(shí)，意在考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.18、（1）10；（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)．【解題分析】

（1）設(shè)備改造后該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，得，，然后，然后即可求出（2）由設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖，可知不合格頻數(shù)為，然后填表，再算出即可【題目詳解】解：（1）∵設(shè)備改造后該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，得，，又∵，∴設(shè)備改造后不合格的樣本數(shù)為．（2）由設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖，可知不合格頻數(shù)為．得2×2列聯(lián)表如下設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計(jì)合格品160190350不合格品401050合計(jì)200200400，∴有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有正態(tài)分布、頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題型.19、（I）（Ⅱ）是可靠的，詳見(jiàn)解析【解題分析】

（I）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用公式求得的值，即可求得回歸直線的方程.（Ⅱ）由（I）中的回歸直線的方程，分別代入和進(jìn)行驗(yàn)證，即可得到結(jié)論.【題目詳解】（I）由表中的數(shù)據(jù)，可得（10+9+9.5+10.5+11）＝10，（78+76+77+79+80）＝78，又由5，2.5，則，78﹣2×10＝1．所以y關(guān)于x的線性回歸方程為；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，滿足|74﹣73|＝1＜2，當(dāng)時(shí)，，滿足|75﹣75|＝0＜2，所以是可靠的．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了回歸直線方程的求解，以及回歸分析的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，利用公式準(zhǔn)確求解回歸直線方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（Ⅰ）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.【解題分析】

（Ⅰ）曲線，利用消掉參數(shù)即可，曲線，利用化簡(jiǎn)即可。（Ⅱ）利用點(diǎn)到直線的距離公式，代入化簡(jiǎn)即可求出最小值?！绢}目詳解】解：（I）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為.（II）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.因?yàn)槭侵本€，所以的最小值即為到的距離的最小值，，當(dāng)且僅當(dāng)（）時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.【題目點(diǎn)撥】本題考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，掌握互化公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。21、（1）4﹣12ln2（2）【解題分析】

（1）當(dāng)b＝﹣12時(shí)令由得x＝2則可判斷出當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，2]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增故f（x）在[1，2]的最小值在x＝2時(shí)取得；（2）要使f（x）在