安徽省太和縣民族中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

安徽省太和縣民族中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．供電部門(mén)對(duì)某社區(qū)位居民2017年12月份人均用電情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，按人均用電量分為，，，，五組，整理得到如下的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A．月份人均用電量人數(shù)最多的一組有人B．月份人均用電量不低于度的有人C．月份人均用電量為度D．在這位居民中任選位協(xié)助收費(fèi)，選到的居民用電量在一組的概率為2．高三畢業(yè)時(shí)，甲，乙，丙等五位同學(xué)站成一排合影留念，在甲和乙相鄰的條件下，丙和乙也相鄰的概率為（）A． B． C． D．3．已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部為（）A．-1 B． C．1 D．-34．如圖，從地面上C，D兩點(diǎn)望山頂A，測(cè)得它們的仰角分別為45°和30°，已知米，點(diǎn)C位于BD上，則山高AB等于()A．100米 B．米 C．米 D．米5．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)等于A．280 B．300 C．210 D．1206．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為1120，則實(shí)數(shù)的值是（）A． B．1 C．或1 D．不確定8．已知集合,,則下圖中陰影部分所表示的集合為()A． B． C． D．9．已知全集，集合,，則（）A． B．C． D．10．若，則（）A． B．1 C．0 D．11．一個(gè)盒子里有7只好的晶體管、5只壞的晶體管，任取兩次，每次取一只，每一次取后不放回，在第一次取到好的條件下，第二次也取到好的概率（）A． B． C． D．12．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A．-1 B．1 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的準(zhǔn)線方程是________.14．設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.15．計(jì)算：______．16．設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，若，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知復(fù)數(shù)，，其中，為虛數(shù)單位.（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）有甲、乙兩個(gè)游戲項(xiàng)目，要參與游戲，均需每次先付費(fèi)元（不返還），游戲甲有種結(jié)果：可能獲得元，可能獲得元，可能獲得元，這三種情況的概率分別為，，；游戲乙有種結(jié)果：可能獲得元，可能獲得元，這兩種情況的概率均為.（1）某人花元參與游戲甲兩次，用表示該人參加游戲甲的收益（收益=參與游戲獲得錢(qián)數(shù)-付費(fèi)錢(qián)數(shù)），求的概率分布及期望；（2）用表示某人參加次游戲乙的收益，為任意正整數(shù)，求證：的期望為.19．（12分）已知關(guān)于x的不等式（其中）．（1）當(dāng)a=4時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20．（12分）在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，直線l過(guò)點(diǎn)且與垂直，垂足為P.（1）當(dāng)時(shí)，求及l(fā)的極坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.21．（12分）為調(diào)查人們?cè)谫?gòu)物時(shí)的支付習(xí)慣，某超市對(duì)隨機(jī)抽取的600名顧客的支付方式進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下表所示：支付方式微信支付寶購(gòu)物卡現(xiàn)金人數(shù)200150150100現(xiàn)有甲、乙、丙三人將進(jìn)入該超市購(gòu)物，各人支付方式相互獨(dú)立，假設(shè)以頻率近似代替概率.（1）求三人中使用微信支付的人數(shù)多于現(xiàn)金支付人數(shù)的概率；（2）記X為三人中使用支付寶支付的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.22．（10分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，M是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且滿(mǎn)足.（1）證明：.（2）當(dāng)取何值時(shí)，直線與平面所成的角最大？并求該角最大值的正切值.（3）若平面與平面所成的二面角為，試確定P點(diǎn)的位置.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】根據(jù)頻率分布直方圖知，12月份人均用電量人數(shù)最多的一組是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A正確；12月份人均用電量不低于20度的頻率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正確；12月份人均用電量為5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C錯(cuò)誤；在這1000位居民中任選1位協(xié)助收費(fèi),用電量在[30,40)一組的頻率為0.1，估計(jì)所求的概率為，∴D正確.故選C.2、B【解題分析】

記事件甲乙相鄰，事件乙丙相鄰，利用排列組合思想以及古典概型的概率公式計(jì)算出和，再利用條件概率公式可計(jì)算出所求事件的概率．【題目詳解】記事件甲乙相鄰，事件乙丙相鄰，則事件乙和甲丙都相鄰，所求事件為，甲乙相鄰，則將甲乙兩人捆綁，與其他三位同學(xué)形成四個(gè)元素，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可得.乙和甲丙都相鄰，則將甲乙丙三人捆綁，且乙位置正中間，與其他兩位同學(xué)形成三個(gè)元素，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可得，由條件概率公式可得，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的計(jì)算，解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要弄清各事件事件的關(guān)系，利用排列組合思想以及古典概型的概率公式計(jì)算相應(yīng)事件的概率，并靈活利用條件概率公式計(jì)算出所求事件的概率，考查計(jì)算能力，屬于中等題．3、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算可得z＝1﹣3i，從而可得答案．【題目詳解】,∴復(fù)數(shù)z的虛部是-3故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

設(shè)，，中，分別表示，最后表示求解長(zhǎng)度.【題目詳解】設(shè)，中，，，中，，解得：米.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了解三角形中有關(guān)長(zhǎng)度的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型.5、D【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理，把每一項(xiàng)里的系數(shù)單獨(dú)寫(xiě)下來(lái)，然后相加，再根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，化簡(jiǎn)求值．【題目詳解】解：在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理展開(kāi)以及利用組合數(shù)性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值．6、C【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=的單調(diào)性并求得最值，求解方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=1得到f（x）=m或f（x）=．畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．【題目詳解】設(shè)y=，則y′=，由y′=1，解得x=e，當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，y′＞1，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，y′＜1，函數(shù)為減函數(shù)．∴當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)取得極大值也是最大值為f（e）=．方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=1化為[f（x）﹣m][2f（x）+1]=1．解得f（x）=m或f（x）=．如圖畫(huà)出函數(shù)圖象：可得m的取值范圍是（1，）．故答案為：C．【題目點(diǎn)撥】（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)圖像和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理轉(zhuǎn)化能力.(2)本題的解答關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是利用導(dǎo)數(shù)準(zhǔn)確畫(huà)出函數(shù)的圖像，其二是化簡(jiǎn)得到f（x）=m或f（x）=．7、C【解題分析】

列出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，可知當(dāng)時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，代入通項(xiàng)公式構(gòu)造方程求得結(jié)果.【題目詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為：令，解得：，解得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)求解參數(shù)值的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】分析：根據(jù)韋恩圖可知陰影部分表示的集合為，首先利用偶次根式滿(mǎn)足的條件，求得集合B，根據(jù)集合的運(yùn)算求得結(jié)果即可.詳解：根據(jù)偶次根式有意義，可得，即，解得，即，而題中陰影部分對(duì)應(yīng)的集合為，所以，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，首先需要明確偶次根式有意義的條件，從而求得集合B，再者應(yīng)用韋恩圖中的陰影部分表示的是，再利用集合的運(yùn)算法則求得結(jié)果.9、B【解題分析】

試題分析：，所以．考點(diǎn)：集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算．10、D【解題分析】分析：根據(jù)題意求各項(xiàng)系數(shù)和，直接賦值法令x=-1代入即可得到.詳解：已知，根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)得到第r+1項(xiàng)是，故當(dāng)r為奇數(shù)時(shí)，該項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，故原式令x=-1代入即可得到.故答案為D.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了二項(xiàng)式中系數(shù)和的問(wèn)題，二項(xiàng)式主要考查兩種題型，一是考查系數(shù)和問(wèn)題；二是考查特定項(xiàng)系數(shù)問(wèn)題；在做二項(xiàng)式的問(wèn)題時(shí)，看清楚題目是求二項(xiàng)式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時(shí)，是不是缺少首項(xiàng)；解決這類(lèi)問(wèn)題常用的方法有賦值法，求導(dǎo)后賦值，積分后賦值等.11、C【解題分析】

第一次取到好的條件下，第二次即：6只好的晶體管、5只壞的晶體管中取到好的概率，計(jì)算得到答案.【題目詳解】第一次取到好的條件下，第二次即：6只好的晶體管、5只壞的晶體管中取到好的概率故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了條件概率，將模型簡(jiǎn)化是解題的關(guān)鍵，也可以用條件概率公式計(jì)算.12、C【解題分析】

根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，可得，然后利用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則，可得結(jié)果.【題目詳解】，，，故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，注意細(xì)節(jié)，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：利用拋物線的準(zhǔn)線方程為，可得拋物線的準(zhǔn)線方程.詳解：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以?huà)佄锞€的準(zhǔn)線方程為，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查拋物線的準(zhǔn)線方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)，意在考查對(duì)基本性質(zhì)的掌握情況，屬于簡(jiǎn)單題.14、【解題分析】

由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合可得滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)m的取值范圍．【題目詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，

由圖可知，滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)m的取值范圍是．

故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．15、【解題分析】

將變?yōu)椋缓罄媒M合數(shù)性質(zhì)即可計(jì)算出所求代數(shù)式的值.【題目詳解】，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查組合數(shù)的計(jì)算，利用組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16、3【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解.【題目詳解】因?yàn)?，所以，即，?【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）.（2）【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部為0且虛部不為0求解；

求出，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運(yùn)算化簡(jiǎn)，由實(shí)部大于0且虛部小于0聯(lián)立不等式組求解．【題目詳解】（1）由，得，又為純虛數(shù)，所以，且，所以.（2），又復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以，且，所以的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于中檔題．18、（1）分布列見(jiàn)解析，期望為；（2）見(jiàn)解析．【解題分析】分析：（1）表示該人參加游戲甲的收益，可能取值為，，，，分布列為：（2）用表示某人參加次游戲乙的收益可能取值為，，，…，，…（且），每次獨(dú)立，獲獎(jiǎng)的概率為.滿(mǎn)足二項(xiàng)分布。詳解：（1）則的所有可能取值為，，，，，，，，，，；（2）證明：的所有可能取值為，，，…，，…（且），（且），，，兩式相加即得，所以.點(diǎn)睛：（1）離散型隨機(jī)變量的分布列，根據(jù)題意，搞清隨機(jī)變量的最小值和最大值，其它值隨之確定。（2）根據(jù)題意，要能判斷出是否為二項(xiàng)分布，抓題目的關(guān)鍵詞：事件相互獨(dú)立（放回），每次事件成功的概率相等.（3）二項(xiàng)分布的期望公式，方差19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

本試題主要是考查了絕對(duì)值不等式的求解，以及分段函數(shù)的表示，和圖像以及最值的求解綜合運(yùn)用．（1）利用已知條件，先分析的解集就是絕對(duì)值不等式的求解，利用三段論法得到．（2）不等式有解，的最小值為，則，從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，得時(shí)，，得時(shí)，，此時(shí)不存在∴不等式的解集為（Ⅱ）∵設(shè)故，即的最小值為所以有解，則解得，即的取值范圍是20、（1），l的極坐標(biāo)方程為；（2）【解題分析】

（1）先由題意，將代入即可求出；根據(jù)題意求出直線的直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程即可；（2）先由題意得到P點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程即可，要注意變量的取值范圍.【題目詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以；即，所以，因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)且與垂直，所以直線的直角坐標(biāo)方程為，即；因此，其極坐標(biāo)方程為，即l的極坐標(biāo)方程為；（2）設(shè)，則，，由題意，，所以，故，整理得，因?yàn)镻在線段OM上，M在C上運(yùn)動(dòng)，所以，所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為，即.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，熟記公式即可，屬于?？碱}型.21、（1）55108【解題分析】

（1）根據(jù)表格，得出顧客使用微信、支付寶、購(gòu)物卡和現(xiàn)金支付的概率，之后應(yīng)用互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率和獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求得結(jié)果；（2）利用二項(xiàng)分布求得結(jié)果.【題目詳解】(1)由表格得顧客使用微信、支付寶、購(gòu)物卡和現(xiàn)金支付的概率分別為13設(shè)Y為三人中使用微信支付的人數(shù)，Z為使用現(xiàn)金支付的人數(shù)，事件A為“三人中使用微信支付的人數(shù)多于現(xiàn)金支付人數(shù)”，則P(A)=P(Y=3)+P(Y=2)+P(Y=1且Z=0)=（=127(2)由題意可知