2024屆汕頭市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆汕頭市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的單調(diào)減區(qū)間是（）A． B． C． D．2．下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）①命題：“、，若，則”，用反證法證明時(shí)應(yīng)假設(shè)或；②若，則、中至少有一個(gè)大于；③若、、、、成等比數(shù)列，則；④命題：“，使得”的否定形式是：“，總有”.A． B． C． D．3．已知，則等于()A．-4 B．-2 C．1 D．24．命題“對(duì)任意的，”的否定是A．不存在， B．存在，C．存在， D．對(duì)任意的，5．已知函數(shù)，若存在區(qū)間D，使得該函數(shù)在區(qū)間D上為增函數(shù)，則的取值范圍為（）A． B．C． D．6．“楊輝三角”又稱“賈憲三角”，是因?yàn)橘Z憲約在公元1050年首先使用“賈憲三角”進(jìn)行高次開(kāi)方運(yùn)算，而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中，記錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開(kāi)方作法本源”圖．下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于“楊輝三角”．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是（）2017201620152014……654321403340314029…………11975380648060………………201612816124……362820………A． B．C． D．7．在中，，，，點(diǎn)滿足，則等于（）A．10 B．9 C．8 D．78．曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（）A． B． C． D．9．古代“五行”學(xué)認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰，則這樣的排列方法有A．5種 B．10種C．20種 D．120種10．若函數(shù)在上可導(dǎo)，，則（）A．2 B．4 C．-2 D．-411．函數(shù)(e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是（）A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，e)12．已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)<1，f(5)＝，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－1,4) B．(－2,0) C．(－1,0) D．(－1,2)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓柱的高為1，側(cè)面展開(kāi)圖中母線與對(duì)角線的夾角為60°，則此圓柱側(cè)面積是_________．14．點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點(diǎn)，則的取值范圍是__.15．若定義在上的函數(shù)，則________．16．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，則P=__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”APP是由中宣部主管，以新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容的“PC端+手機(jī)客戶端”兩大終端二合一模式的學(xué)習(xí)平臺(tái)，2019年1月1日上線后便成為了黨員干部群眾學(xué)習(xí)的“新助手”.為了調(diào)研某地黨員在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”APP的學(xué)習(xí)情況，研究人員隨機(jī)抽取了名該地黨員進(jìn)行調(diào)查，將他們某兩天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”APP上所得的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如表所示：分?jǐn)?shù)頻數(shù)601002020頻率0.30.50.10.1（1）由頻率分布表可以認(rèn)為，這名黨員這兩天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”上的得分近似服從正態(tài)分布，其中近似為這名黨員得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），近似這名黨員得分的方差，求；（2）以頻率估計(jì)概率，若從該地區(qū)所有黨員中隨機(jī)抽取人，記抽得這兩天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”上的得分不低于分的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：，若，則，，18．（12分）（1）求關(guān)于的不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（12分）在中國(guó)北京世界園藝博覽會(huì)期間，某工廠生產(chǎn)、、三種紀(jì)念品，每一種紀(jì)念品均有精品型和普通型兩種，某一天產(chǎn)量如下表：（單位：個(gè)）紀(jì)念品紀(jì)念品紀(jì)念品精品型普通型現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的紀(jì)念品中抽取個(gè)，其中種紀(jì)念品有個(gè)．（1）求的值；（2）從種精品型紀(jì)念品中抽取個(gè)，其某種指標(biāo)的數(shù)據(jù)分別如下：、、、、，把這個(gè)數(shù)據(jù)看作一個(gè)總體，其均值為，方差為，求的值；（3）用分層抽樣的方法在種紀(jì)念品中抽取一個(gè)容量為的樣木，從樣本中任取個(gè)紀(jì)念品，求至少有個(gè)精品型紀(jì)念品的概率．20．（12分）設(shè),函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求導(dǎo)函數(shù)的最小值;(2)若不等式對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值;(3)若函數(shù)存在極大值與極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為已知直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若已知點(diǎn)，，為直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，且有，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）在（2）的條件下，若使對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：先根據(jù)圖像求出，即得，也即得結(jié)果.詳解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)減區(qū)間是，選B.點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)符號(hào)是否變號(hào)或怎樣變號(hào)問(wèn)題，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為解方程或不等式.2、C【解題分析】

根據(jù)命題的否定形式可判斷出命題①的正誤；利用反證法可得出命題②的真假；設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用等比數(shù)列的定義和等比中項(xiàng)的性質(zhì)可判斷出命題③的正誤；利用特稱命題的否定可判斷出命題④的正誤.【題目詳解】對(duì)于命題①，由于可表示為且，該結(jié)論的否定為“或”，所以，命題①正確；對(duì)于命題②，假設(shè)且，由不等式的性質(zhì)得，這與題設(shè)條件矛盾，假設(shè)不成立，故命題②正確；對(duì)于命題③，設(shè)等比數(shù)列、、、、的公比為，則，.由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得，則，命題③錯(cuò)誤；對(duì)于命題④，由特稱命題的否定可知，命題④為真命題，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，涉及反證法、等比中項(xiàng)以及特稱命題的否定，理解這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

首先對(duì)f（x）求導(dǎo)，將1代入，求出f′（1）的值，化簡(jiǎn)f′（x），最后將x＝3代入即可．【題目詳解】因?yàn)閒′（x）＝1x+1f′（1），令x＝1，可得f′（1）＝1+1f′（1），∴f′（1）＝﹣1，∴f′（x）＝1x+1f′（1）＝1x﹣4，當(dāng)x＝3，f′（3）＝1．故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求出f′（1）是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

注意兩點(diǎn)：1）全稱命題變?yōu)樘胤Q命題；2）只對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定．“對(duì)任意的，”的否定是:存在，選C.5、B【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由題意說(shuō)明不等式有解?！绢}目詳解】由題意有解.當(dāng)時(shí)，一定有解；當(dāng)時(shí)，也一定有解.當(dāng)時(shí)，需要，即,綜上所述，，故選：B?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。函數(shù)有單調(diào)增區(qū)間，則有解，這樣可結(jié)合二次函數(shù)或一次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論。6、B【解題分析】

數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，從右到左，第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2015行公差為22014，第2016行只有M，由此可得結(jié)論．【題目詳解】由題意，數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，從右到左，且第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2015行公差為22014，故從右到左第1行的第一個(gè)數(shù)為：2×2﹣1，從右到左第2行的第一個(gè)數(shù)為：3×20，從右到左第3行的第一個(gè)數(shù)為：4×21，…從右到左第n行的第一個(gè)數(shù)為：（n+1）×2n﹣2，第2017行只有M，則M=（1+2017）?22015=2018×22015故答案為：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查歸納與推理，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.7、D【解題分析】

利用已知條件，表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積．【題目詳解】在中，，，，點(diǎn)滿足，可得則==【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量．8、C【解題分析】分析：先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，就可求出切線的斜率．詳解：∴函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為1．

故選：C．點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】

根據(jù)題意，可看做五個(gè)位置排列五個(gè)數(shù)，把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．根據(jù)相克原理，1不與2,5相鄰，2不與1,3相鄰，依次類推，用分布計(jì)數(shù)原理寫(xiě)出符合條件的情況.【題目詳解】把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．1不與2,5相鄰，2不與1,3相鄰，所以以“1”開(kāi)頭的排法只有“1，3，5，2，4”或“1，4，2，5，3”兩種，同理以其他數(shù)開(kāi)頭的排法都是2種，所以共有種．選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查抽象問(wèn)題具體化，注重考查學(xué)生的思維能力，屬于中檔題.10、D【解題分析】由題設(shè)可得，令可得，所以，則，應(yīng)選答案D．11、B【解題分析】

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，即可判斷出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)椋?，，，所以，由零點(diǎn)存在定理可得：區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn).故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間，熟記零點(diǎn)的存在定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.12、A【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用不等式的解法即可得到結(jié)論．【題目詳解】∵f（x）是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，∴f（5）=f（5﹣6）=f（﹣1）=f（1），∴由f（1）＜1，f（5）=，得f（5）=＜1，即﹣1＜0，＜0，即（a﹣4）（a+1）＜0，解得：﹣1＜a＜4，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)的奇偶性和周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)圓柱結(jié)構(gòu)特征可知側(cè)面展開(kāi)圖為矩形，利用正切值求得矩形的長(zhǎng)，從而可得側(cè)面積.【題目詳解】圓柱側(cè)面展開(kāi)圖為矩形，且矩形的寬為矩形的長(zhǎng)為：圓柱側(cè)面積：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查圓柱側(cè)面積的相關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14、[﹣，0]【解題分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，計(jì)算?x2﹣x，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域即可．【題目詳解】解：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；則點(diǎn)A（1，0，0），C1（0，1，1），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），∴?x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，?取得最小值為；當(dāng)x＝0或1，且y＝0或1時(shí)，?取得最大值為0，則?的取值范圍是[，0]．故答案為：[，0]．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用與向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是綜合性題目．15、【解題分析】由定積分的幾何意義可得，是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓的面積的一半，，，故答案為.16、【解題分析】試題分析：直接利用二項(xiàng)分布的期望與方差列出方程求解即可．解：隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，則p=，故答案為．點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的期望以及方差的求法，考查計(jì)算能力．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）利用分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)表求得和；又，根據(jù)正態(tài)分布曲線可求得結(jié)果；（2）計(jì)算出從該地區(qū)所有黨員中隨機(jī)抽取人，抽得的人得分不低于分的概率，可知服從于二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布概率公式求解出每個(gè)可能的取值對(duì)應(yīng)的概率，從而得到分布列；再利用二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式求得期望.【題目詳解】（1）由題意得：（2）從該地區(qū)所有黨員中隨機(jī)抽取人，抽得的人得分不低于分的概率為：由題意得，的可能取值為，且；；；；的分布列為：【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布中的概率求解問(wèn)題、二項(xiàng)分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解，關(guān)鍵是能夠確定服從于二項(xiàng)分布，屬于常規(guī)題型.18、（1）；（2）【解題分析】分析：（1）分類討論，轉(zhuǎn)化為三個(gè)不等式組，即可求解不等式的解集；（2）由題意，令，則不等式恒成立，即為，分類討論即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍．詳解：（1）原不等式化為：①或②或③．解得或或．∴原不等式的解集為（2）令，則只須即可．①當(dāng)時(shí)，（時(shí)取等）；②當(dāng)時(shí)，（時(shí)取等）．∴．點(diǎn)睛：本題主要考查了絕對(duì)值不等式的求解及其應(yīng)用，其中合理分類討論，轉(zhuǎn)化為等價(jià)不等式組進(jìn)行求解是解答絕對(duì)值問(wèn)題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．19、（1）；（2）；（3）．【解題分析】

（1）根據(jù)分層抽樣的原理建立關(guān)于的方程，解出即可；（2）先根據(jù)平均數(shù)建立關(guān)系式，然后根據(jù)方差建立關(guān)于、的等量關(guān)系，然后將用前面的關(guān)系式表示，即可求出的值；（3）設(shè)所抽樣本中有個(gè)精品型紀(jì)念品，則，求出，然后利用古典概型的概率公式求出事件“至少有個(gè)精品型紀(jì)念品”的概率.【題目詳解】（1）由題意可知，該工廠一天所生產(chǎn)的紀(jì)念品數(shù)為.現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的紀(jì)念品中抽取個(gè)，其中種紀(jì)念品有個(gè)，則，解得；（2）由題意可得，得.由于總體的方差為，則，可得，所以，；（3）設(shè)所抽取的樣本中有個(gè)精品型紀(jì)念品，則，解得，所以，容量為的樣本中，有個(gè)精品型紀(jì)念品，個(gè)普通型紀(jì)念品.因此，至少有個(gè)精品型紀(jì)念品的概率為.【題目點(diǎn)撥】本題考查分層抽樣、平均數(shù)與方差的計(jì)算，同時(shí)也考查了古典概型概率的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20、（1）（2）（3）【解題分析】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，求零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性變化規(guī)律，進(jìn)而確定導(dǎo)函數(shù)最小值取法，（2）先變量分離化簡(jiǎn)不等式，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定其最小值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍，進(jìn)而得其最大值;（3）函數(shù)存在極大值與極小值，即存在兩個(gè)零點(diǎn)，且在零點(diǎn)的兩側(cè)異號(hào).先確定導(dǎo)函數(shù)不單調(diào)且最小值小于零，即得，再證明時(shí)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).詳解：解：（1）當(dāng)時(shí)，記則，由得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，所以（2）由得，即因?yàn)?，所?記，則記，則因?yàn)?，所以且不恒?所以時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)閷?duì)恒成立，所以，即所以實(shí)數(shù)的最大值為（3）記，因?yàn)榇嬖跇O大值與極小值，所以，即存在兩個(gè)零點(diǎn)，且在零點(diǎn)的兩側(cè)異號(hào).①當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，此時(shí)不存在兩個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由，得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以所以存在兩個(gè)零點(diǎn)的必要條件為：，即由時(shí)，(ⅰ)記，則所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以.所以在上，有且只有一個(gè)零點(diǎn).又在上單調(diào)，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，記為，由在內(nèi)單調(diào)遞減，易得當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在極大值（ⅱ）記，則所以時(shí)，，所以由（1）知時(shí)，有所以在上單調(diào)遞增，所以時(shí),因?yàn)榍?，的圖像在單調(diào)且不間斷，所以在上，有且只有一個(gè)零點(diǎn).又在上單調(diào)所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，記為，由在內(nèi)單調(diào)遞增，易得當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在極小值綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)極值點(diǎn)的討論層次：一是有無(wú)，即沒(méi)有零點(diǎn)，就沒(méi)有極值點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)存在情形下）；二是在與不在，不