2024屆江蘇省南京市江寧區(qū)高二數(shù)學第二學期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆江蘇省南京市江寧區(qū)高二數(shù)學第二學期期末質(zhì)量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將2名教師和6名學生平均分成2組，各組由1名教師和3名學生組成，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，則不同的安排方案有（）A．40種 B．60種 C．80種 D．120種2．已知復數(shù)，則復數(shù)的模為（）A．2 B． C．1 D．03．學校新入職的5名教師要參加由市教育局組織的暑期3期上崗培訓，每人只參加其中1期培訓，每期至多派2人，由于時間上的沖突，甲教師不能參加第一期培訓，則學校不同的選派方法有()A．種 B．種 C．種 D．種4．若隨機變量，其均值是80，標準差是4，則和的值分別是()A．100，0.2 B．200，0.4 C．100，0.8 D．200，0.65．設(shè)隨機變量X～N(1,52)，且P(X≤0)=P(X≥a-2)，則實數(shù)A．10 B．8 C．6 D．46．在中，，，，點滿足，則等于（）A．10 B．9 C．8 D．77．設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍()A． B． C． D．8．在曲線的圖象上取一點及附近一點，則為（）A． B．C． D．9．若關(guān)于的不等式的解集是，則實數(shù)等于（）A．－1 B．－2 C．1 D．210．已知函數(shù)f(x)=13x3-12A．(0,1) B．(3,+∞) C．(0,2) D．(1,+∞)11．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則()A． B． C． D．12．已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，，，設(shè)，則數(shù)列的前2018項和為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．把座位編號為1，2，3，4，5，6的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人最多得兩張，甲、乙各分得一張電影票，且甲所得電影票的編號總大于乙所得電影票的編號，則不同的分法共有______________種．14．若的展開式中第3項和第5項的二項式系數(shù)相等，則展開式中常數(shù)項等于____________.15．若實數(shù)滿足條件則的取值范圍為____________.16．一場晚會共有7個節(jié)目，要求第一個節(jié)目不能排，節(jié)目必須排在前4個，節(jié)目必須排在后3個，則有_______種不同的排法（用數(shù)字作答）.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若．（1）討論的單調(diào)性；（2）若對任意，關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知數(shù)列，其前項和為；（1）計算；（2）猜想的表達式，并用數(shù)學歸納法進行證明.19．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，．（1）求，，的值，并猜想數(shù)列的通項公式并用數(shù)學歸納法證明；（2）令，求數(shù)列的前項和．20．（12分）一只口袋中裝有形狀、大小都相同的10個小球，其中有紅球2個，黑球3個，白球5個．從中1次隨機摸出2個球，求2個球顏色相同的概率；從中1次隨機摸出3個球，記白球的個數(shù)為X，求隨機變量X的概率分布和數(shù)學期望；每次從袋中隨機摸出1個球，記下顏色后放回，連續(xù)取3次，求取到紅球的次數(shù)大于取到白球的次數(shù)的概率．21．（12分）某市召開全市創(chuàng)建全國文明城市動員大會，會議向全市人民發(fā)出動員令，吹響了集結(jié)號.為了了解哪些人更關(guān)注此活動，某機構(gòu)隨機抽取了年齡在15-75歲之間的100人進行調(diào)查，并按年齡繪制的頻率分布直方圖如圖所示，其分組區(qū)間為：，，，，，，把年齡落在和內(nèi)的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”.經(jīng)統(tǒng)計“青少年人”與“中老年人”的人數(shù)之比為.（1）求圖中，的值，若以每個小區(qū)間的中點值代替該區(qū)間的平均值，估計這100人年齡的平均值；（2）若“青少年人”中有15人關(guān)注此活動，根據(jù)已知條件完成題中的列聯(lián)表，根據(jù)此統(tǒng)計結(jié)果，問能否有99.9%的把握認為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注此活動？關(guān)注不關(guān)注合計青少年人15中老年人合計5050100附參考公式及參考數(shù)據(jù)：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82822．（10分）已知函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù)).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；(2)當時，記，其中為的導函數(shù).證明：對任意，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)甲、乙兩地先安排老師，可知，然后安排學生，可得結(jié)果.【題目詳解】第一步，為甲、乙兩地排教師，有種排法；第二步，為甲、乙兩地排學生，有種排法，故不同的安排方案共有種，故選：A【題目點撥】本題考查排列分組的問題，一般來講先分組后排列，審清題意細心計算，屬基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

根據(jù)復數(shù)的除法運算求出，然后再求出即可．【題目詳解】由題意得，∴．故選C．【題目點撥】本題考查復數(shù)的除法運算和復數(shù)模的求法，解題的關(guān)鍵是正確求出復數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】

由題意可知這是一個分類計數(shù)問題.一類是：第一期培訓派1人；另一類是第一期培訓派2人，分別求出每類的選派方法，最后根據(jù)分類計數(shù)原理，求出學校不同的選派方法的種數(shù).【題目詳解】解:第一期培訓派1人時，有種方法,第一期培訓派2人時，有種方法,故學校不同的選派方法有，故選B.【題目點撥】本題考查了分類計數(shù)原理，讀懂題意是解題的關(guān)鍵，考查了分類討論思想.4、C【解題分析】

根據(jù)隨機變量符合二項分布，根據(jù)二項分布的期望和方差的公式和條件中所給的期望和方差的值，得到關(guān)于和的方程組，解方程組得到要求的兩個未知量．【題目詳解】∵隨機變量，其均值是80，標準差是4，∴由，∴．故選：C．【題目點撥】本題主要考查分布列和期望的簡單應用，通過解方程組得到要求的變量，這與求變量的期望是一個相反的過程，但是兩者都要用到期望和方差的公式．5、D【解題分析】

根據(jù)隨機變量符合正態(tài)分布，從表達式上看出正態(tài)曲線關(guān)于x=1對稱，得到對稱區(qū)間的數(shù)據(jù)對應的概率是相等的，根據(jù)兩個區(qū)間的概率相等，得到這兩個區(qū)間關(guān)于x=1對稱，從而得到結(jié)果．【題目詳解】∵隨機變量X～∴正態(tài)曲線關(guān)于x=1對稱，∵P(X≤0)=P(X>a-2)，∴0與a-2關(guān)于x=1對稱，∴1解得a=4，故選D．【題目點撥】本題主要考查正態(tài)曲線的對稱性，考查對稱區(qū)間的概率的相等的性質(zhì)，是一個基礎(chǔ)題．正態(tài)曲線的常見性質(zhì)有：（1）正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對稱，且μ越大圖象越靠近右邊，μ越小圖象越靠近左邊；（2）邊σ越小圖象越“痩長”，邊σ越大圖象越“矮胖”;(3)正態(tài)分布區(qū)間上的概率，關(guān)于μ對稱，Px>μ6、D【解題分析】

利用已知條件，表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積．【題目詳解】在中，，，，點滿足，可得則==【題目點撥】本題考查了向量的數(shù)量積運算，關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量．7、A【解題分析】分析：求得函數(shù)的導數(shù)，令，求得函數(shù)的遞增區(qū)間，又由在上單調(diào)遞增，列出不等式組，即可求解實數(shù)的取值范圍．詳解：由函數(shù)，可得，令，即，即，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，故選A．點睛：本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性利用導數(shù)求解參數(shù)的取值范圍問題，其中熟記導函數(shù)的取值正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力．8、C【解題分析】

求得的值，再除以，由此求得表達式的值.【題目詳解】因為，所以．故選C.【題目點撥】本小題主要考查導數(shù)的定義，考查平均變化率的計算，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

根據(jù)一元一次不等式與一元一次方程的關(guān)系，列出方程，即可求解.【題目詳解】由題意不等式的解集是，所以方程的解是，則，解得，故選C.【題目點撥】本題主要考查了一元一次不等式與一元一次方程的關(guān)系的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

由三次函數(shù)的性質(zhì)，求出導函數(shù)，確定函數(shù)的極值，最后由極大值大于0，極小值小于0可得a的范圍．【題目詳解】f'(x)=x易知x<-a或x>1時f'(x)>0，當-a<x<1時，f'(x)<0，∴f(x)極大值=f(-a)=∴16a3故選B．【題目點撥】本題考查函數(shù)的零點，考查用導數(shù)研究函數(shù)的極值．求極值時要注意在極值點的兩側(cè)，f'(x)的符號要相反．11、D【解題分析】

隨機變量服從正態(tài)分布,則,利用概率和為1得到答案.【題目詳解】隨機變量X服從正態(tài)分布,

,

答案為D.【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布,利用正態(tài)分布的對稱性是解決問題的關(guān)鍵.12、D【解題分析】

利用，求出數(shù)列，的公差，可得數(shù)列，的通項公式，從而可得，進而可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)數(shù)列，的公差分別為，，則由已知得，，所以，，所以，，所以，所以數(shù)列的前2018項和為,故選D.【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列通項公式基本量運算，考查了數(shù)列的求和，意在考查綜合應用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

從張電影票中任選張給甲、乙兩人，共種分法；再利用平均分配的方式可求得分配剩余張票共有種分法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求得結(jié)果.【題目詳解】第一步：先從張電影票中任選張給甲、乙兩人，有種分法第二步：分配剩余的張，而每人最多兩張，則每人各得兩張，有種分法由分步乘法計數(shù)原理得：共有種分法本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查分步乘法計數(shù)原理解決組合應用題，涉及到平均分配的問題，關(guān)鍵是能夠準確求解每一步的分法種數(shù).14、【解題分析】

根據(jù)題意先計算，再用展開式的通項公式計算常數(shù)項.【題目詳解】若的展開式中第3項和第5項的二項式系數(shù)相等.當時為常數(shù)項，為故答案為：【題目點撥】本題考查了二項式的計算，先判斷是解題的關(guān)鍵.15、【解題分析】分析：根據(jù)滿足條件畫出可行域，然后分析的最值詳解：滿足條件即，畫出可行域：根據(jù)可行域可知，目標函數(shù)在A點處取得最小值，在C點處取得最大值，所以的取值范圍為點睛：點睛：線性規(guī)劃要能夠準確畫出可行域，尤其是判斷每一個不等式代表的是直線的左側(cè)還是右側(cè)時不能出錯，常用帶點方法判斷比較準確。16、1224【解題分析】

從G排在前4個和后3個兩種情況來討論，當排在前4個時，根據(jù)題的條件，求出有種排法，當排在后三個時，根據(jù)條件，求得有種排法，再根據(jù)分類計數(shù)原理求得結(jié)果.【題目詳解】當排在前4個時，A也排在前四個，有種選擇，此時D排在后三個有種選擇，其余4人，共有種排法，此時共有種排法；當排在后三個時，D也排在后三個，A也排在前四個，此時共有種排法，所以共有種排法，故答案是：1224.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)應用排列解決實際問題，涉及到的知識點有排列數(shù)，分類計數(shù)原理，分步計數(shù)原理，屬于簡單題目.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）求導得，再分成、、、四種情況，結(jié)合導數(shù)的符號得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，，得單調(diào)性，則，由（1）可得，則，令，求導，令，，根據(jù)導數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，由此可以求出答案．【題目詳解】解：（1），①當時，令則，令，則，∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；②當時，，令，則或，令，則，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當時，在上單調(diào)遞增；④當時，令則或，令則，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當時，，設(shè)，，∴在上遞增，，∴，由（1）知在上遞減，在上遞增，∴，∴，令，則，令，，當時，，故在上遞減，∴，∴，∴在上遞增，∵，∴．【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查利用導數(shù)研究函數(shù)恒成立問題，考查推理能力與計算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想與分類討論思想，多次求導是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．18、（1）；（2），證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)已知條件，計算出的值；（2）由（1）猜想，根據(jù)數(shù)學歸納法證明方法，對猜想進行證明.【題目詳解】（1）計算，，，（2）猜想.證明：①當時，左邊，右邊，猜想成立.②假設(shè)猜想成立.即成立，那么當時，，而，故當時，猜想也成立.由①②可知，對于，猜想都成立.【題目點撥】本小題主要考查合情推理，考查利用數(shù)學歸納法證明和數(shù)列有關(guān)問題，屬于中檔題.19、（1），，，，，見解析；（2）【解題分析】

（1）計算，，，猜想可得，然后依據(jù)數(shù)學歸納法的證明步驟，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）得，然后利用裂項相消法，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）當時，，即，解得當時，，即，解得當時，，即，解得猜想，下面用數(shù)學歸納法證明：當時，，猜想成立假設(shè)當時，猜想成立，即，，則當時，，，，所以猜想成立．綜上所述，對于任意，均成立．（2）由（1）得則數(shù)列的前項和【題目點撥】本題考查數(shù)學歸納法證明方法以及裂項相消法求和，熟練掌握數(shù)學歸納法的步驟，同時對常用的求和方法要熟悉，屬基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）詳見解析；（3）.【解題分析】

利用互斥事件的概率求和公式計算即可；由題意知X的可能取值，計算所求的概率值，寫出X的概率分布，求出數(shù)學期望值；由題意知事件包含一紅兩黑和兩紅一黑，兩紅一白，求出對應的概率值．【題目詳解】解：從袋中1次隨機摸出2個球，則2個球顏色相同的概率為；從袋中1次隨機摸出3個球，記白球的個數(shù)為X，則X的可能取值是0，1，2，3；則，，，，隨機變量X的概率分布為；

X0123

P

數(shù)學期望；記3次摸球后，取到紅球的次數(shù)大于取到白球的次數(shù)為事件A，則．【題目點撥】本題考查了離散型隨機變量的概率分布與數(shù)學期望的應用問題，也考查了古典概型的概率計算問題，是中檔題．21、（1）；100人年齡的平均值為.（2）表格數(shù)據(jù)為：25，40，35，25，60；沒有99.9%的把握認為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注此活動.【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖求出對應的頻率，列方