吉林省吉林大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

吉林省吉林大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)（）A．在區(qū)間上是減函數(shù) B．在區(qū)間上是減函數(shù)C．在區(qū)間上減函數(shù) D．在區(qū)間上是減函數(shù)2．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為A． B． C． D．3．函數(shù)f(x)＝3sin(2x－)在區(qū)間[0，]上的值域?yàn)?)A．[，] B．[，3]C．[，] D．[，3]4．傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，分別位于軸的左、右兩側(cè)），，則的值是（）A． B． C． D．5．已知曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為，則等于（）A．2B．-2C．3D．-16．設(shè)F，B分別為橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C是直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，若，則橢圓的離心率是()A． B． C． D．7．已知10個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)次品，現(xiàn)從其中抽出若干個(gè)產(chǎn)品，要使這3個(gè)次品全部被抽出的概率不小于0.6，則至少應(yīng)抽出的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．108．體育課上,小紅、小方、小強(qiáng)、小軍四位同學(xué)都在進(jìn)行足球、籃球、羽毛球、乒乓球等四項(xiàng)體自運(yùn)動(dòng)中的某一種，四人的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目各不相同，下面是關(guān)于他們各自的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的一些判斷:①小紅沒有踢足球，也沒有打籃球；②小方?jīng)]有打籃球,也沒有打羽毛球；③如果小紅沒有打羽毛球,那么小軍也沒有踢足球；④小強(qiáng)沒有踢足球,也沒有打籃球.已知這些判斷都是正確的,依據(jù)以上判斷，請(qǐng)問小方同學(xué)的運(yùn)動(dòng)情況是()A．踢足球B．打籃球C．打羽毛球D．打乒乓球9．的展開式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．410．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．11．二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A．64 B．30 C．15 D．1612．如圖所示陰影部分是由函數(shù)、、和圍成的封閉圖形，則其面積是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若記數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則________14．某公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號(hào)的吊車，產(chǎn)量分別為120臺(tái)，600臺(tái)和200臺(tái)，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46臺(tái)進(jìn)行檢驗(yàn)，則抽到乙種型號(hào)的吊車應(yīng)是____臺(tái)．15．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則__________．16．若，則實(shí)數(shù)的值為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在處取得極值．確定a的值；若，討論的單調(diào)性．18．（12分）設(shè)（1）解不等式；（2）對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸（兩坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度）的直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；（2）將曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線，若，分別是曲線和曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.20．（12分）已知的展開式前三項(xiàng)中的系數(shù)成等差數(shù)列．（1）求的值和展開式系數(shù)的和；（2）求展開式中所有的有理項(xiàng)．21．（12分）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．向量與平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面積．22．（10分）假定某人在規(guī)定區(qū)域投籃命中的概率為23（1）求連續(xù)命中2次的概率；（2）設(shè)命中的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合圖象求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可．詳解：，

由圖象得：時(shí)，，

故在遞增，

故選：B．點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．2、D【解題分析】因?yàn)榍€，所以切線過(guò)點(diǎn)（4，e2）

∴f′（x）|x=4=e2，

∴切線方程為：y-e2=e2（x-4），

令y=0，得x=2，與x軸的交點(diǎn)為：（2，0），

令x=0，y=-e2，與y軸的交點(diǎn)為：（0，-e2），

∴曲線在點(diǎn)（4，e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積s=×2×|-e2|=e2.

故選D．3、B【解題分析】

分析：由，求出的取值范圍，從而求出的范圍，從而可得的值域.詳解：，，，，即在區(qū)間上的值域?yàn)椋蔬xB.點(diǎn)睛：本題考查了求三角函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，意在考查解題時(shí)應(yīng)考慮三角函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于簡(jiǎn)單題.4、D【解題分析】

設(shè)，則，由拋物線的定義，得，，進(jìn)而可求BE、AE，最后由可求解.【題目詳解】設(shè)，則A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離分別為AC、BD，由拋物線的定義可知：，過(guò)A作，垂足為E..故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線的定義，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.5、A【解題分析】因?yàn)?，所以，由已知得，解得，故選A.6、A【解題分析】

根據(jù)向量的加法法則及共線向量的性質(zhì)由已知，得與交點(diǎn)為的中點(diǎn)，從而有，然后把四邊形的面積用兩種不同方法表示后可得的關(guān)系式，從而得離心率．【題目詳解】根據(jù)，由平面向量加法法則，則與交點(diǎn)為的中點(diǎn)，故，由得，，則可得故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，解題關(guān)鍵有兩個(gè)，一個(gè)是由向量的加法法則和共線定理得出與交點(diǎn)為的中點(diǎn)，一個(gè)是把四邊形的面積用兩種不同方法表示得出的關(guān)系．7、C【解題分析】

根據(jù)題意，設(shè)至少應(yīng)抽出個(gè)產(chǎn)品，由題設(shè)條件建立不等式，由此能求出結(jié)果.【題目詳解】解：要使這3個(gè)次品全部被抽出的概率不小于0.6，設(shè)至少抽出個(gè)產(chǎn)品，則基本事件總數(shù)為，要使這3個(gè)次品全部被抽出的基本事件個(gè)數(shù)為，由題設(shè)知：，所以，即，分別把A，B，C，D代入，得C，D均滿足不等式，因?yàn)榍蟮淖钚≈担?故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理的進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.8、A【解題分析】分析：由題意結(jié)合所給的邏輯關(guān)系進(jìn)行推理論證即可.詳解：由題意可知：小紅、小方、小強(qiáng)都沒有打籃球，故小軍打籃球；則小軍沒有踢足球，且已知小紅、小強(qiáng)都沒有踢足球，故小方踢足球.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查學(xué)生的推理能力，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.9、B【解題分析】

求得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，由此判斷出有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù).【題目詳解】的展開式通項(xiàng)為，當(dāng)或時(shí)，為有理項(xiàng)，所以有理項(xiàng)共有項(xiàng).故選：B【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

先求，再求【題目詳解】,故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合的并集和補(bǔ)集，屬于簡(jiǎn)單題型.11、C【解題分析】

求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，由此求得常數(shù)項(xiàng).【題目詳解】依題意，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)，故常數(shù)項(xiàng)為，故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】

根據(jù)定積分的幾何意義得到陰影部分的面積。【題目詳解】由定積分的幾何意義可知：陰影部分面積故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查定積分的幾何意義和積分運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)分析兩組數(shù)據(jù)之間關(guān)系，再根據(jù)數(shù)據(jù)變化規(guī)律確定對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差變化規(guī)律，即得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閿?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，所以，因此，即故答案為：2【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列和項(xiàng)性質(zhì)以及數(shù)據(jù)變化對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的影響規(guī)律，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.14、30；【解題分析】

根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)，抽出樣本46臺(tái)中乙種型號(hào)的吊車的比例，與總體中乙種型號(hào)的吊車的比例相等.【題目詳解】抽到乙種型號(hào)的吊車x臺(tái)，則x46=600【題目點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的分層抽樣.15、【解題分析】分析：詳解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故函數(shù))關(guān)于(2,0)中心對(duì)稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得到函數(shù)的周期為：4，故答案為：0.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，對(duì)于抽象函數(shù)，且要求函數(shù)值的題目，一般是研究函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，通過(guò)這些性質(zhì)將要求的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知表達(dá)式的區(qū)間上，將轉(zhuǎn)化后的自變量代入解析式即可.16、1【解題分析】

先求的原函數(shù),再令即可.【題目詳解】易得的原函數(shù),所以,即,故故答案為：1【題目點(diǎn)撥】本題主要考查定積分的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）在和內(nèi)為減函數(shù)，在和內(nèi)為增函數(shù)．【解題分析】（1）對(duì)求導(dǎo)得，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，即，解得；（2）由（1）得，，故，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，故為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故為增函數(shù)，綜上所知：和是函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，和是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.18、（1）（2）【解題分析】

（1）通過(guò)討論的范圍去絕對(duì)值符號(hào)，從而解出不等式．（2）恒成立等價(jià)于恒成立的問題即可解決．【題目詳解】（1）令當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)綜上所述（2）恒成立等價(jià)于（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）恒成立【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了解絕對(duì)值不等式以及恒成立的問題，在解絕對(duì)值不等式時(shí)首先考慮去絕對(duì)值符號(hào)．屬于中等題．19、(1)(2)【解題分析】

（1）∵的極坐標(biāo)方程是，∴，整理得，∴的直角坐標(biāo)方程為.曲線：，∴，故的普通方程為.（2）將曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線的方程為，則曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.設(shè)，則點(diǎn)到曲線的距離為.當(dāng)時(shí)，有最小值，所以的最小值為.20、（1）；（2），，.【解題分析】

（1）展開式的通項(xiàng)公式為，則前3項(xiàng)的系數(shù)分別為1，，，成等差，即可列式求解．（2）由（1）知，則，對(duì)r賦值，即可求出所有的有理項(xiàng)．【題目詳解】（1）根據(jù)題意，（）n的展開式的通項(xiàng)為Tr+1＝?nr（）n﹣r（）r，其系數(shù)為?nr，則前3項(xiàng)的系數(shù)分別為1，，，成等差，∴，解可得：或，又由，則，在中，令可得：．（2）由（1）的結(jié)論，，則的展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有；則展開式中所有的有理項(xiàng)為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，熟練掌握展開式的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．21、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】

試題分析：（1）根據(jù)平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大?。唬?）由余弦定理，結(jié)合基本不等式求出的最大值，即得的面積的最大值.試題解析：（1）因?yàn)橄蛄颗c平行，所以，由正弦定理得，又，從而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝.（2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因?yàn)閏>0，所以c＝3.故△ABC的面積為bcsinA＝.考點(diǎn)：平面向量的共線應(yīng)用；正弦定理與余弦定理.22、（1）827【解題分析】

（1）設(shè)Ai（i=1，1，3）表示第i次投籃命中，Ai表示第i次投籃不中，設(shè)投籃連續(xù)命中1次為事件A，則連續(xù)命中1次的概率：P（A）=P（A1A（1）命中的次數(shù)X可取0，1，1，3，分別