2024屆上海市北中學數學高二第二學期期末考試試題含解析

2024屆上海市北中學數學高二第二學期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知α，β是相異兩個平面，m，n是相異兩直線，則下列命題中正確的是（）A．若m∥n，m?α，則n∥α B．若m⊥α，m⊥β，則α∥βC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若α∩β=m，n∥m，則n∥β2．命題“，使”的否定是（）A．，使 B．，使C．，使 D．，使3．某個命題與正整數有關，如果當時命題成立，那么可推得當時命題也成立。現已知當n=8時該命題不成立，那么可推得A．當n=7時該命題不成立 B．當n=7時該命題成立C．當n=9時該命題不成立 D．當n=9時該命題成立4．將甲，乙等5位同學分別保送到北京大學，清華大學，浙江大學等三所大學就讀，則每所大學至少保送一人的不同保送的方法數為（）A．150種 B．180種 C．240種 D．540種5．設曲線在點處的切線與直線垂直，則（）A．2 B． C． D．6．設a，b均為正實數，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．在某次試驗中，實數的取值如下表：013561.35.67.4若與之間具有較好的線性相關關系，且求得線性回歸方程為，則實數的值為（）A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.98．已知，則（）A． B． C． D．9．已知函數恰有兩個零點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10．下列命題是真命題的為（）A．若,則 B．若,則C．若,則 D．若,則11．在等比數列an中，a1=4，公比為q，前n項和為Sn，若數列A．2B．-2C．3D．-312．在復平面內，復數（是虛數單位）對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．計算定積分-1114．甲和乙玩一個猜數游戲，規(guī)則如下：已知六張紙牌上分別寫有1﹣六個數字，現甲、乙兩人分別從中各自隨機抽取一張，然后根據自己手中的數推測誰手上的數更大．甲看了看自己手中的數，想了想說：我不知道誰手中的數更大；乙聽了甲的判斷后，思索了一下說：我知道誰手中的數更大了．假設甲、乙所作出的推理都是正確的，那么乙手中可能的數構成的集合是_____15．對于自然數方冪和（，），，，求和方法如下：23﹣13＝3＋3＋1，33﹣23＝3×22＋3×2＋1，……(n＋1)3﹣n3＝3n2＋3n＋1，將上面各式左右兩邊分別，就會有(n＋1)3﹣13＝＋＋n，解得＝n(n＋1)(2n＋1)，類比以上過程可以求得，A，B，C，D，E，FR且與n無關，則A＋F的值為_______．16．已知、滿足組合數方程，則的最大值是_____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)．（1）討論f(x)的奇偶性；（2）求a的取值范圍，使f(x)＞0在定義域上恒成立．18．（12分）在中，角,,所對的邊分別是，，，已知.（1）求的值；（2）若，，，為垂足，求的長.19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）判斷△ABC的形狀；（2）若，求的取值范圍．20．（12分）已知函數，，若曲線和曲線在處的切線都垂直于直線．（Ⅰ）求，的值．（Ⅱ）若時，，求的取值范圍．21．（12分）己知函數.（1）當時，求函數的圖象在處的切線方程；（2）求函數的單調區(qū)間；（3）是否存在整數使得函數的極大值大于零，若存在，求的最小整數值，若不存在，說明理由.22．（10分）已知函數，；.（1）求的最大值；（2）若對，總存在使得成立，求的取值范圍；（3）證明不等式.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

在A中，根據線面平行的判定判斷正誤；在B中，由平面與平面平行的判定定理得α∥β；在C中，舉反例即可判斷判斷；在D中，據線面平行的判定判斷正誤；【題目詳解】對于A，若m∥n，m?α，則n∥α或n?α，故A錯；對于B，若m⊥α，m⊥β，則由平面與平面平行的判定定理得α∥β，故B正確；對于C，不妨令α∥β，m在β內的射影為m′，則當m′⊥n時，有m⊥n，但α，β不垂直，故C錯誤；對于D，若α∩β=m，n∥m，則n∥β或n?β，故D錯．故選：B．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．2、A【解題分析】

根據含有一個量詞的命題的否定，可直接得出結果.【題目詳解】因為特稱命題的否定為全稱命題，所以命題“，使”的否定是“，使”.故選A【題目點撥】本題主要考查含有一個量詞的命題的否定，只需改量詞與結論即可，屬于基礎題型.3、A【解題分析】

根據逆否命題和原命題的真假一致性得，當時命題不成立，則命題也不成立，所以選A.【題目詳解】根據逆否命題和原命題的真假一致性得，當時命題不成立，則命題也不成立，所以當時命題不成立，則命題也不成立，故答案為：A【題目點撥】(1)本題主要考查數學歸納法和逆否命題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)互為逆否關系的命題同真同假，即原命題與逆否命題的真假性相同，原命題的逆命題和否命題的真假性相同.所以，如果某些命題（特別是含有否定概念的命題）的真假性難以判斷，一般可以判斷它的逆否命題的真假性.4、A【解題分析】先將個人分成三組,或,分組方法有中,再將三組全排列有種,故總的方法數有種.選A.5、D【解題分析】

,直線的斜率為-a.所以a=-2,故選D6、A【解題分析】

確定兩個命題和的真假可得．【題目詳解】∵a，b均為正實數，若，則，命題為真；若，滿足，但，故為假命題．因此“”是“”的充分不必要條件．故選：A.【題目點撥】本題考查充分必要條件的判斷．解題時必須根據定義確定命題和的真假．也可與集合包含關系聯系．7、D【解題分析】

根據表中數據求得，代入回歸直線方程即可求得結果.【題目詳解】由表中數據可知：，又，解得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查利用回歸直線求解數據的問題，關鍵是明確回歸直線恒過點，屬于基礎題.8、D【解題分析】

利用同角三角函數基本關系式，誘導公式，二倍角的余弦函數公式即可求值得解．【題目詳解】∵cosθ?tanθ＝sinθ，∴sin（）＝cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2．故選D．【題目點撥】本題主要考查了同角三角函數基本關系式，誘導公式，二倍角的余弦函數公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．9、A【解題分析】

先將函數有零點，轉化為對應方程有實根，構造函數，對函數求導，利用導數方法判斷函數單調性，再結合圖像，即可求出結果.【題目詳解】由得，令，則，設，則，由得；由得，所以在上單調遞減，在上單調遞增；因此，所以在上恒成立；所以，由得；由得；因此，在上單調遞減，在上單調遞增；所以；又當時，，，作出函數圖像如下：因為函數恰有兩個零點，所以與有兩不同交點，由圖像可得：實數的取值范圍是.故選A【題目點撥】本題主要考查函數零點以及導數應用，通常需要將函數零點轉化為兩函數交點來處理，通過對函數求導，利用導數的方法研究函數單調性、最值等，根據數形結合的思想求解，屬于?？碱}型.10、A【解題分析】試題分析：B若，則，所以錯誤；C．若，式子不成立．所以錯誤；D．若，此時式子不成立．所以錯誤，故選擇A考點：命題真假11、C【解題分析】由題意，得S1+2=4,S2+2=4q+6,S3+2=4q2+4q+6點睛：本題若直接套用等比數列的求和公式進行求解，一是計算量較大，二是往往忽視“q=1”的特殊情況，而采用數列的前三項進行求解，大大降低了計算量，也節(jié)省的時間，這是處理選擇題或填空題常用的方法.12、B【解題分析】,復數對應點為:.點在第二象限,所以B選項是正確的.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】試題分析：-1考點：定積分計算14、【解題分析】

根據題意，先推出甲不是最大與最小的數，再討論乙的所有情形，即可得出答案.【題目詳解】由題意，六個數字分別為.由甲說他不知道誰手中的數更大，可推出甲不是最大與最小的數，若乙取出的數字是或，則他知道甲的數字比他大還是??；若乙取出的數字是或，則他知道甲的數字比他大還是??；若乙取出的數字是或，則他不知道誰的數字更大.故乙手中可能的數構成的集合是.【題目點撥】本題考查了簡單的推理，要注意仔細審題，屬于基礎題.15、.【解題分析】分析：先根據推導過程確定A,F取法，即得A＋F的值.詳解：因為,，所以,所以,,所以.點睛：本題考查運用類比方法求解問題，考查歸納觀察能力.16、【解題分析】

由組合數的性質得出或，然后利用二次函數的性質或基本不等式求出的最大值，并比較大小可得出結論.【題目詳解】、滿足組合數方程，或，當時，則；當時，.因此，當時，取得最大值.故答案為：.【題目點撥】本題考查組合數基本性質的應用，同時也考查了兩數乘積最大值的計算，考查了二次函數的基本性質的應用以及基本不等式的應用，考查運算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數f(x)是偶函數（2）∈(1，＋∞)【解題分析】

（1）先求函數f(x)的定義域，再判斷f(－x)與f(x)是否相等即可得到結果；（2）由f(x)是偶函數可知只需討論x＞0時的情況，則有x3＞0，從而求得結果.【題目詳解】（1）由于ax－1≠0，則ax≠1，得x≠0，∴函數f(x)的定義域為{x|x≠0}．對于定義域內任意x，有f(－x)＝(－x)3＝(－x)3＝(－x)3＝x3＝f(x)，∴函數f(x)是偶函數．（2）由（1）知f(x)為偶函數，∴只需討論x＞0時的情況，當x＞0時，要使f(x)＞0，則x3＞0，即＋＞0，即＞0，則ax＞1.又∵x＞0，∴a＞1.∴當a∈(1，＋∞)時，f(x)＞0.【題目點撥】本題考查判斷函數奇偶性的方法和恒成立問題，判斷函數的奇偶性先求定義域，再判斷f(－x)與f(x)是否相等或者互為相反數，相等即為偶函數，互為相反數則為奇函數，屬中檔題.18、（1）（2）【解題分析】

（1）根據正弦定理化邊為角，再根據兩角和正弦公式化簡得結果，（2）先根據余弦定理求，再利用三角形面積公式求AD.【題目詳解】（1）因為，所以因為，所以,即.因為，所以，所以.則.（2）因為，所以,.在中，由余弦定理可得，即.由，得.所以.【題目點撥】本題考查正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.19、(1)△ABC為的直角三角形．(2).【解題分析】

分析：（1）由已知條件結合正弦定理對已知化簡可求得角的值，進而可判斷三角形的形狀；（2）由輔助角公式對已知函數先化簡，然后代入可求得，結合（1）中的角求得角的范圍，然后結合正弦函數的性質，即可求解．【題目詳解】（1）因為，由正弦定理可得，即，所以．因為在△ABC中，，所以又，所以，．所以△ABC為的直角三角形．（2）因為=．所以．因為△ABC是的直角三角形，所以，且，所以當時，有最小值是．所以的取值范圍是．點睛：本題主要考查了利用正弦定理和三角函數的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進行“邊轉角”尋求角的關系，利用“角轉邊”尋求邊的關系，利用余弦定理借助三邊關系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經常利用三角形內角和定理，三角形面積公式，結合正、余弦定理解題.20、（Ⅰ），（Ⅱ）的取值范圍是．【解題分析】試題分析：（Ⅰ）根據導數的幾何意義求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）設，則，故只需證即可．由題意得，即，又由，得，，分，，三種情況分別討論判斷是否恒成立即可得到結論．試題解析：（I）∵，∴，，由題意得，，解得，．∴，．（II）由（I）知，，設，則，由題設可得，即，令，得，．（i）若，則，從而當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故在的最小值為，而，故當時，，即恒成立．（ii）若，則，從而當時，，即在單調遞增，而，故當時，，即恒成立．（iii）若，，則在上單調遞增，而，從而當時，不可能恒成立，綜上可得的取值范圍是．21、（1）；（2）在上單調遞增，在上單調遞減；（3）1，理由見解析【解題分析】

（1）求導函數的導數，利用導數求出在處切線的斜率，即可得答案．（2）求導，然后對分情況討論，求出單調區(qū)間；（3）利用（2）的結論必須滿足時才有極大值，然后由極大值列出不等式，判斷的正負，即可得答案．【題目詳解】（1）；當時，令；；；函數的圖象在處的切線方程為；（2）