2024屆廣西壯族自治區(qū)南寧市興寧區(qū)第三中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆廣西壯族自治區(qū)南寧市興寧區(qū)第三中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知空間三條直線若與異面,且與異面,則（）A．與異面. B．與相交.C．與平行. D．與異面、相交、平行均有可能.2．設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)fx在R上可導(dǎo)，且fx=A．-2 B．2 C．4 D．-44．函數(shù)在單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，若，則滿足的的取值范圍是（）．A． B． C． D．5．如圖，直線：與雙曲線：的右支交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，，在雙曲線的同一支上，若雙曲線的實(shí)軸長為4，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．已知不等式的解集為，點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為（）A．B．8C．9D．127．復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．8．設(shè)隨機(jī)變量ξ~B(2,p),?η~B(4,p)，若P(ξ≥1)=5A．1127 B．3281 C．659．已知正方體的棱長為2，P是底面上的動點(diǎn),，則滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形的面積等于（）A． B． C． D．10．如圖，表示三個開關(guān)，設(shè)在某段時間內(nèi)它們正常工作的概率分別是0.9、0.8、0.7，那么該系統(tǒng)正常工作的概率是（）．A．0.994 B．0.686 C．0.504 D．0.49611．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則的解集為（）A． B． C． D．12．集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則______．14．已知拋物線上的點(diǎn)，則到準(zhǔn)線的距離為________15．“直線與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的__________條件．16．從裝有3個紅球,2個白球的袋中隨機(jī)取出2個球,設(shè)其中有個紅球,則為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+2a，且不等式f（x）≤4的解集為{x|﹣1≤x≤3}．（1）求實(shí)數(shù)a的值．（2）若存在實(shí)數(shù)x0，使f（x0）≤5m2+m﹣f（﹣x0）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求的值；（2）在（1）的條件下求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).19．（12分）己知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)．（1）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）求的值．20．（12分）已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為.（1）求；（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．21．（12分）選修4-5：不等式選講（1）已知，且，證明；（2）已知，且，證明.22．（10分）某小區(qū)所有263戶家庭人口數(shù)分組表示如下：家庭人口數(shù)12345678910家庭數(shù)20294850463619843（1）若將上述家庭人口數(shù)的263個數(shù)據(jù)分布記作，平均值記作，寫出人口數(shù)方差的計(jì)算公式（只要計(jì)算公式，不必計(jì)算結(jié)果）；（2）寫出他們家庭人口數(shù)的中位數(shù)（直接給出結(jié)果即可）；（3）計(jì)算家庭人口數(shù)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.（寫出公式，再利用計(jì)算器計(jì)算，精確到0.01）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】解：∵空間三條直線l、m、n．若l與m異面，且l與n異面，∵m與n可能異面（如圖3），也可能平行（圖1），也可能相交（圖2），故選D．2、C【解題分析】分析:先化簡復(fù)數(shù)z,再求z的虛部.詳解：由題得=，故復(fù)數(shù)z的虛部為-1,故答案為C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和運(yùn)算能力.(2)復(fù)數(shù)的實(shí)部是a,虛部為b，不是bi.3、A【解題分析】

求導(dǎo)后代入x=1可得關(guān)于f'1【題目詳解】由fx=令x=1，則f'1本題正確選項(xiàng)：A【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)值的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則得到導(dǎo)函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

是奇函數(shù)，故；又是增函數(shù)，，即則有，解得，故選D.【題目點(diǎn)撥】解本題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化化歸思想，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為，再利用單調(diào)性繼續(xù)轉(zhuǎn)化為，從而求得正解.5、A【解題分析】

根據(jù)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求得直線的斜率及其方程；聯(lián)立直線與雙曲線得到點(diǎn)橫坐標(biāo)，聯(lián)立直線與直線，得到點(diǎn)橫坐標(biāo)。由于，根據(jù)相似可得，又因?yàn)殡p曲線的對稱性，，故，則，整理得到，進(jìn)一步求得離心率?！绢}目詳解】設(shè)點(diǎn)為，點(diǎn)為，中點(diǎn)為，則，根據(jù)點(diǎn)差法可得，即，雙曲線的實(shí)軸長為4，直線為，，直線為.聯(lián)立，得；聯(lián)立，得又，根據(jù)相似可得雙曲線的對稱性，，，，，故選A【題目點(diǎn)撥】本題考察雙曲線離心率問題，出現(xiàn)弦中點(diǎn)考慮點(diǎn)差法，面積比值可以利用相似轉(zhuǎn)化為邊的比值，以此簡化計(jì)算6、C【解題分析】試題解析：依題可得不等式的解集為，故，所以即，又，則當(dāng)且僅當(dāng)時上式取等號，故選C考點(diǎn)：分式不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用7、C【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得，再利用復(fù)數(shù)的除法與減法法則可求出復(fù)數(shù).【題目詳解】，，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

利用二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式結(jié)合條件Pξ≥1=59計(jì)算出【題目詳解】由于ξ~B2,p，則Pξ≥1=1-P所以，η~B4,1=1127【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布概率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于找出基本事件以及靈活利用二項(xiàng)分布概率公式，考查計(jì)算能力，屬于中等題。9、A【解題分析】

P是底面上的動點(diǎn)，因此只要在底面上討論即可，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)已知列出滿足的關(guān)系．【題目詳解】如圖，以為軸在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由得，整理得，設(shè)直線與正方形的邊交于點(diǎn)，則點(diǎn)在內(nèi)部（含邊界），易知，，∴，．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間兩點(diǎn)間的距離問題，解題關(guān)鍵是在底面上建立平面直角坐標(biāo)系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決．10、B【解題分析】

由題中意思可知，當(dāng)、元件至少有一個在工作，且元件在工作時，該系統(tǒng)正常公式，再利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可得出所求事件的概率．【題目詳解】由題意可知，該系統(tǒng)正常工作時，、元件至少有一個在工作，且元件在元件，當(dāng)、元件至少有一個在工作時，其概率為，由獨(dú)立事件的概率乘法公式可知，該系統(tǒng)正常工作的概率為，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立事件的概率乘法公式，解題時要弄清楚各事件之間的關(guān)系，在處理至少等問題時，可利用對立事件的概率來計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題．11、B【解題分析】是定義在上的偶函數(shù)，，即，則函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故兩邊同時平方解得，故選12、B【解題分析】,，故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】

先利用待定系數(shù)法代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出冪函數(shù)的解析式，再求的值.【題目詳解】設(shè)，由于圖象過點(diǎn),得，，，故答案為3.【題目點(diǎn)撥】本題考査冪函數(shù)的解析式，以及根據(jù)解析式求函數(shù)值，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

利用點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線方程，求出，然后求解準(zhǔn)線方程，即可推出結(jié)果。【題目詳解】由拋物線上的點(diǎn)可得，所以拋物線方程：，準(zhǔn)線方程為，則到準(zhǔn)線的距離為故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線方程，需熟記拋物線準(zhǔn)線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題。15、必要非充分【解題分析】

結(jié)合直線和雙曲線的位置關(guān)系，先判斷充分條件，再判斷必要條件得解.【題目詳解】當(dāng)直線與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn)時，直線有可能與雙曲線相切，也有可能相交（直線與雙曲線的漸近線平行），所以“直線與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的非充分條件；直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn)，所以“直線與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的必要條件.所以“直線與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的必要非充分條件．故答案為：必要非充分【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判定，考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.16、【解題分析】分析：由題意，從裝有個紅球和個白球的袋中隨機(jī)取出個球的取法，再求得當(dāng)個球都是紅球的取法，利用古典概型的概率計(jì)算公式，即可得到答案.詳解：由題意，從裝有個紅球和個白球的袋中隨機(jī)取出個球，共有種方法，其中當(dāng)個球都是紅球的取法有種方法，所以概率為.點(diǎn)睛：本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算公式的應(yīng)用，其中概率排列、組合的知識得到基本事件的總數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a＝1（2）（﹣∞，]∪[1，+∞）【解題分析】

（1）解不等式f（x）≤4，根據(jù)其解集，得到的值；（2）將所求不等式轉(zhuǎn)化為5m2+m≥[f（x）+f（﹣x）]min，得到f（x）+f（﹣x）的最小值，從而得到關(guān)于的不等式，解出的取值范圍.【題目詳解】（1）由f（x）＝|x﹣a|+2a≤4，得2a﹣4≤x﹣a≤﹣2a+4，∴3a﹣4≤x≤﹣a+4，∵不等式f（x）≤4的解集為{x|﹣1≤x≤3}，∴，∴a＝1；（2）由（1）知f（x）＝|x﹣1|+2，∵存在實(shí)數(shù)x0，使f（x0）≤5m2+m﹣f（﹣x0）成立，∴只需5m2+m≥[f（x）+f（﹣x）]min∵f（x）+f（﹣x）＝|x﹣1|+|x+1|+4≥|（x﹣1）﹣（x+1）|+4＝6，當(dāng)且僅當(dāng)（x﹣1）（x+1）≤0，即﹣1≤x≤1時取等號，∴5m2+m≥6，∴或m≥1，∴m的取值范圍為（﹣∞，]∪[1，+∞）．【題目點(diǎn)撥】本題考查解絕對值不等式，絕對值不等式的恒成立問題，屬于中檔題.18、（1）；（2）詳見解析【解題分析】【試題分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，再借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程組進(jìn)行求解；（2）先對函數(shù)求導(dǎo)，再依據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行分類求求出其單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)：解：(1），∵曲線在點(diǎn)處與直線相切，∴；（2）∵，由，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴此時是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn).19、（1），；（2）.【解題分析】

（1）直線的參數(shù)方程消去t可求得普通方程．由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式，求得曲線C普通方程．（2）直線的參數(shù)方程改寫為（t為參數(shù)），由t的幾何意義求值．【題目詳解】直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)，消去參數(shù)，可得直線l的普通方程，曲線C的極坐標(biāo)方程為，即，曲線C的直角坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程改寫為（t為參數(shù)），代入，，，，．【題目點(diǎn)撥】由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式，利用這個公式可以實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化．20、（1）8；（2）.【解題分析】

⑴觀察可知，展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，即，解出得到的值⑵利用二次展開式中的第項(xiàng)，即通項(xiàng)公式，將第一問的代入，并整理，令的次數(shù)為，解出，得到答案【題目詳解】（1）由題意，得，即＝256，解得n＝8.（2）該二項(xiàng)展開式中的第項(xiàng)為Tr＋1＝，令＝0，得r＝2，此時，常數(shù)項(xiàng)為＝28.【題目點(diǎn)撥】本題主要考的是利用賦值法解決展開式的系數(shù)和問題，考查了利用二次展開式的通項(xiàng)公式解決二次展開式的特定項(xiàng)問題。21、（1）見解析（2）見解析【解題分析】

（1）由展開利用基本不等式證明即可；（2）由，結(jié)合條件即可得解.【題目詳解】證明：（1）因?yàn)椋?dāng)時等號成立.（2）因