2024屆福建省長樂中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆福建省長樂中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．設(shè)東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆犯饔?、3、3、4條路,只從一面上山,而從任意一面下山的走法最多,應(yīng)A．從東邊上山 B．從西邊上山 C．從南邊上山 D．從北邊上山3．變量滿足約束條件，若的最大值為2，則實(shí)數(shù)等于（）A．—2 B．—1 C．1 D．24．中國古典數(shù)學(xué)有完整的理論體系，其代表我作有《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《數(shù)書九章》等，有5位年輕人計(jì)劃閱讀這4本古典數(shù)學(xué)著作，要求每部古典數(shù)學(xué)著作至少有1人閱讀,則不同的閱讀方案的總數(shù)是()A．480 B．240 C．180 D．1205．某中學(xué)高二年級的一個研究性學(xué)習(xí)小組擬完成下列兩項(xiàng)調(diào)查：①從某社區(qū)430戶高收入家庭，980戶中等收入家庭，290戶低收入家庭中任意選出170戶調(diào)查社會購買力的某項(xiàng)指標(biāo)；②從本年級12名體育特長生中隨機(jī)選出5人調(diào)查其學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況；則該研究性學(xué)習(xí)小組宜采用的抽樣方法分別是（）A．①用系統(tǒng)抽樣，②用簡單隨機(jī)抽樣 B．①用系統(tǒng)抽樣，②用分層抽樣C．①用分層抽樣，②用系統(tǒng)抽樣 D．①用分層抽樣，②用簡單隨機(jī)抽樣6．已知函數(shù)，若有兩個極值點(diǎn)，，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．從裝有除顏色外完全相同的個白球和個黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回地摸取次，設(shè)摸得黑球的個數(shù)為，已知，則等于（）A． B． C． D．8．若曲線與曲線在它們的公共點(diǎn)處具有公共切線，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)f(x)=(2x-1)ex+ax2-3a（A．[-2e,+∞) B．-3210．某班制定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方案：星期一和星期日分別解決個數(shù)學(xué)問題，且從星期二開始，每天所解決問題的個數(shù)與前一天相比，要么“多一個”要么“持平”要么“少一個”，則在一周中每天所解決問題個數(shù)的不同方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種11．設(shè)全集U＝{|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，則集合?UA的子集的個數(shù)是（）A．16 B．8 C．7 D．412．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設(shè)三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態(tài)分布N（1000，1002），且各個元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1100小時的概率為_________(附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則.14．若，，滿足約束條件，則的最小值為__________．15．一個正方體的個頂點(diǎn)可以組成__________個非等邊三角形.16．關(guān)于曲線C：，給出下列五個命題：①曲線C關(guān)于直線y=x對稱；②曲線C關(guān)于點(diǎn)對稱；③曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為；④當(dāng)時，曲線C上所有點(diǎn)處的切線斜率為負(fù)數(shù)；⑤曲線C與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積是.上述命題中，為真命題的是_____.（將所有真命題的編號填在橫線上）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸（兩坐標(biāo)系取相同的單位長度）的直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；（2）將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線，若，分別是曲線和曲線上的動點(diǎn)，求的最小值.18．（12分）已知數(shù)列{an+1﹣an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，a1＝1．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列{（3n﹣1）?an}的前n項(xiàng)和Sn．19．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最小值.20．（12分）已知函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)在上的最小值為，求的值.21．（12分）如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為.（l）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的兩個點(diǎn)，線段的中垂線的斜率為且直線與交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線．22．（10分）最新研究發(fā)現(xiàn)，花太多時間玩手機(jī)游戲的兒童，患多動癥的風(fēng)險(xiǎn)會加倍．青少年的大腦會很快習(xí)慣閃爍的屏幕、變幻莫測的手機(jī)游戲，一旦如此，他們在教室等視覺刺激較少的地方，就很難集中注意力．研究人員對110名年齡在7歲到8歲的兒童隨機(jī)調(diào)查，并在孩子父母的幫助下記錄了他們在1個月里玩手機(jī)游戲的習(xí)慣．同時，教師記下這些孩子出現(xiàn)的注意力不集中問題．統(tǒng)計(jì)得到下列數(shù)據(jù)：注意力不集中注意力集中總計(jì)不玩手機(jī)游戲204060玩手機(jī)游戲302050總計(jì)5060110（1）試估計(jì)7歲到8歲不玩手機(jī)游戲的兒童中注意力集中的概率；（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為玩手機(jī)游戲與注意力集中有關(guān)系？附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8405.0246.6357.87910.828．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先化簡復(fù)數(shù)，然后求其共軛復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【題目詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的點(diǎn)是，所以位于第一象限.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】從東邊上山共種;從西邊上山共種;從南邊上山共種;從北邊上山共種;所以應(yīng)從北邊上山.故選D.3、C【解題分析】

將目標(biāo)函數(shù)變形為，當(dāng)取最大值，則直線縱截距最小，故當(dāng)時，不滿足題意；當(dāng)時，畫出可行域，如圖所示，其中．顯然不是最優(yōu)解，故只能是最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)得，解得，故選C．考點(diǎn)：線性規(guī)劃．4、B【解題分析】分析：先根據(jù)條件確定有且僅有一本書是兩人閱讀，再根據(jù)先選后排求排列數(shù).詳解：先從5位年輕人中選2人，再進(jìn)行全排列，所以不同的閱讀方案的總數(shù)是選B.點(diǎn)睛：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.5、D【解題分析】

①總體由差異明顯的幾部分構(gòu)成時，應(yīng)選用分層抽樣；②總體個體數(shù)有限、逐個抽取、不放回、每個個體被抽到的可能性均等，應(yīng)選用簡單隨機(jī)抽樣；∴選D6、C【解題分析】

由可得，根據(jù)極值點(diǎn)可知有兩根，等價于與交于兩點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可求得的最大值，同時根據(jù)的大小關(guān)系構(gòu)造方程可求得臨界狀態(tài)時的取值，結(jié)合單調(diào)性可確定的取值范圍.【題目詳解】，，令可得：.有兩個極值點(diǎn)，有兩根令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，令，則，解得：，此時.有兩根等價于與交于兩點(diǎn)，，即的取值范圍為.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)個數(shù)及大小關(guān)系求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是明確極值點(diǎn)和函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)問題的求解.7、C【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望計(jì)算，即可得出答案。【題目詳解】根據(jù)題意可得出，即所以故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布，屬于基礎(chǔ)題。8、A【解題分析】分析：設(shè)公共點(diǎn)，求導(dǎo)數(shù)，利用曲線與曲線在它們的公共點(diǎn)處具有公共切線，建立方程組，即可求出a的值.詳解：設(shè)公共點(diǎn)，，，曲線與曲線在它們的公共點(diǎn)處具有公共切線，，解得.故選：A.點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.9、A【解題分析】

把函數(shù)f(x)為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，得到a≥-(2x+1)ex2x【題目詳解】由題意，函數(shù)f(x)=(2x-1)e則f'(x)=2ex+(2x-1)設(shè)g(x)=則g令g'(x)>0，得到0<x<12，則函數(shù)g(x)在0,1即a的取值范圍是[-2e故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值）求解參數(shù)問題，其中解答中根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得到a≥-(2x+1)e10、A【解題分析】分析：因?yàn)樾瞧谝缓托瞧谌辗謩e解決4個數(shù)學(xué)問題，所以從這周的第二天開始后六天中“多一個”或“少一個”的天數(shù)必須相同，都是0、1、2、3天，共四種情況，利用組合知識可得結(jié)論．詳解：因?yàn)樾瞧谝缓托瞧谌辗謩e解決4個數(shù)學(xué)問題，所以從這周的第二天開始后六天中“多一個”或“少一個”的天數(shù)必須相同，所以后面六天中解決問題個數(shù)“多一個”或“少一個”的天數(shù)可能是0、1、2、3天，共四種情況，所以共有=141種．故選：A．點(diǎn)睛：本題考查組合知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定中間“多一個”或“少一個”的天數(shù)必須相同是關(guān)鍵．11、B【解題分析】因?yàn)椋?，所以，集合的子集的個數(shù)是，故選B.12、B【解題分析】

利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，再結(jié)合余弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．【題目詳解】將函數(shù)y＝sin（2x）的圖象向左平移個單位長度后，可得函數(shù)y＝sin（2x）＝cos2x的圖象．令2x＝kπ，求得x，k∈Z．令k＝0，可得x，故所得圖象的一個對稱中心為（，0），故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先通過信息計(jì)算出每個電子元件使用壽命超過1100小時的概率，再計(jì)算該部件的使用壽命超過1100小時的概率．【題目詳解】由于三個電子元件的使用壽命都符合正態(tài)分布N（1000，1002），且.每個電子元件使用壽命超過1100小時的概率故該部件的使用壽命超過1100小時的概率【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)應(yīng)用及相互獨(dú)立事件的概率求解，屬于中檔題．14、【解題分析】

畫出滿足條件的平面區(qū)域，結(jié)合的幾何意義以及點(diǎn)到直線的距離求出的最小值即可．【題目詳解】畫出，，滿足約束條件，的平面區(qū)域，如圖所示：而的幾何意義表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，顯然到直線的距離是最小值，由，得最小值是，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．15、48【解題分析】分析：從正方體的個頂點(diǎn)中人取三個點(diǎn)共有種取法，其中等邊三角形共有個，作差即可得結(jié)果.詳解：從正方體的個頂點(diǎn)中人取三個點(diǎn)共有種取法，其中等邊三角形共有個，所以非等邊三角形共有個，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查組合數(shù)的應(yīng)用，屬于簡單題.16、①③④⑤【解題分析】

對每一個命題逐一分析判斷得解.【題目詳解】對于①：曲線方程為，交換，的位置后曲線方程不變，所以曲線關(guān)于直線對稱，故該命題是真命題；對于②：在第一象限內(nèi)，因?yàn)辄c(diǎn)，在曲線上，由圖象可知曲線在直線的下方，且為凹函數(shù)如圖，所以曲線C不關(guān)于點(diǎn)對稱，故該命題是假命題；對于③：的最小值為，故該命題是真命題；對于④：因?yàn)楹瘮?shù)為凹函數(shù)，所以當(dāng)，1時，曲線上所有點(diǎn)處的切線斜率為負(fù)值，所以該命題是真命題；對于⑤：曲線與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積設(shè)為，則，故該命題正確.故答案為：①③④⑤【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)圖像的對稱問題，考查定積分的計(jì)算，考查函數(shù)的最值的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】

（1）∵的極坐標(biāo)方程是，∴，整理得，∴的直角坐標(biāo)方程為.曲線：，∴，故的普通方程為.（2）將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線的方程為，則曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.設(shè)，則點(diǎn)到曲線的距離為.當(dāng)時，有最小值，所以的最小值為.18、（Ⅰ）an＝；（Ⅱ）Snn（3n+1）+5﹣（3n+5）?（）n．【解題分析】

（Ⅰ）先求{an+1﹣an}的通項(xiàng)公式，再利用迭代法可得通項(xiàng)公式；（Ⅱ）根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，利用分組和錯位相減法進(jìn)行求和.【題目詳解】（Ⅰ）數(shù)列{an+1﹣an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，a1＝1，可得an+1﹣an?（）n﹣1＝（）n+1，，即有an＝a1+（a2﹣a1）+…+（an﹣an﹣1）＝1（）n；所以.（Ⅱ）（3n﹣1）?an（3n﹣1）﹣（3n﹣1）?（）n，前n項(xiàng)和Sn（2+5++3n﹣1）﹣[2×5×（3n﹣1）?（）n]，設(shè)Tn＝2×5×（3n﹣1）?（）n，Tn＝2×5×（3n﹣1）?（）n+1，兩式相減可得Tn＝1+3（（）n）﹣（3n﹣1）?（）n+1＝1+3×（3n﹣1）?（）n+1，化簡可得Tn＝5﹣（3n+5）?（）n，則Snn（3n+1）﹣5+（3n+5）?（）n．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式求法及數(shù)列求和，結(jié)合通項(xiàng)公式的特點(diǎn)選擇合適的方法進(jìn)行求和，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).19、（1）；（2）【解題分析】

（1）求出公差，根據(jù)通項(xiàng)公式即可求出；（2）由（1）可寫出，則數(shù)列是等差數(shù)列.根據(jù)通項(xiàng)公式求出使得的的最大值，再根據(jù)前項(xiàng)和公式求出（或根據(jù)前項(xiàng)和公式求出，再根據(jù)二次函數(shù)求最值，求出的最小值）.【題目詳解】（1）方法一：由，又因?yàn)椋?所以數(shù)列的公差，所以.方法二：設(shè)數(shù)列的公差為.則..得.所以.（2）方法一：由題意知.令得解得.因?yàn)椋?所以的最小值為.方法二：由題意知.因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以.所以當(dāng)時，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最小值，最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.20、（1）（2）【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在處的切線方程；（2）由題得，再對m分類討論求出函數(shù)f(x)的最小值，解方程即得m的值.【題目詳解】解：（1），則，，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）由，可得①若，則在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，則的最小值為，故，不滿足，舍去；②若，則在上恒成立，即在單調(diào)遞增，則的最小值為，故，不滿足，舍去；③若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，解得，滿足.綜上可知，實(shí)數(shù)的值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查切線方程的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，意在考