江蘇省南通市天星湖中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測試題含解析

江蘇省南通市天星湖中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的定義城是（）A． B． C． D．2．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積等于()A．24 B．30 C．10 D．603．某班4名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測試，每人通過測試的概率均為，且彼此相互獨立，若X為4名同學(xué)通過測試的人數(shù)，則D（X）的值為（）A．1 B．2 C．3 D．44．若,則()A． B． C． D．5．如圖，矩形的四個頂點依次為，，記線段、以及的圖象圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）為，若向矩形內(nèi)任意投一點，則點落在區(qū)域內(nèi)的概率為()A． B．C． D．6．將兩個隨機變量之間的相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表所示：根據(jù)上述數(shù)據(jù)，得到的回歸直線方程為，則可以判斷（）A． B． C． D．7．若存在兩個正實數(shù)，使得等式成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．8．已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個圖象中，的圖象大致是（）A． B． C． D．9．在等差數(shù)列{an}中，，角α頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點（a2，a1+a3），則cos2α＝（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則使得成立的x的取值范圍是（）A． B． C． D．11．在中，，，則（）A．1 B． C． D．212．若，，滿足，，.則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，，則__________．14．下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是__________（填序號）．①某賓館每天入住的旅客數(shù)量是；②某水文站觀測到一天中珠江的水位；③西部影視城一日接待游客的數(shù)量；④閱海大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)是.15．定義在上的偶函數(shù)滿足，且，則______.16．某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列，使，記，則且的概率為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）甲乙兩人報名參加由某網(wǎng)絡(luò)科技公司舉辦的“技能闖關(guān)”雙人電子競技比賽，比賽規(guī)則如下：每一輪“闖關(guān)”結(jié)果都采取計分制，若在一輪闖關(guān)中，一人過關(guān)另一人未過關(guān)，過關(guān)者得1分，未過關(guān)得分；若兩人都過關(guān)或都未過關(guān)則兩人均得0分.甲、乙過關(guān)的概率分別為和，在一輪闖關(guān)中，甲的得分記為.（1）求的分布列；（2）為了增加趣味性，系統(tǒng)給每位報名者基礎(chǔ)分3分，并且規(guī)定出現(xiàn)一方比另一方多過關(guān)三輪者獲勝，此二人比賽結(jié)束.表示“甲的累積得分為時，最終認(rèn)為甲獲勝”的概率，則，其中，，，令.證明：點的中點橫坐標(biāo)為；（3）在第（2）問的條件下求，并嘗試解釋游戲規(guī)則的公平性.18．（12分）已知函數(shù)，曲線在處的切線與軸平行.（1）求實數(shù)的值；（2）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值和最小值.19．（12分）交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準(zhǔn)保費）統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率也就越高，具體浮動情況如下表：交強險浮動因素和浮動費率比率表浮動因素浮動比率上一年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮10%上兩年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮上三年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮30%上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故0%上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故上浮10%上一個年度發(fā)生有責(zé)任交通死亡事故上浮30%某機構(gòu)為了解某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：類型A1A2A3A4A5A6數(shù)量105520155以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：（1）按照我國《機動車交通事故責(zé)任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定，，記為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（數(shù)學(xué)期望值保留到個位數(shù)字）（2）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車，假設(shè)購進一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元:①若該銷售商購進三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；②若該銷售商一次購進100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值.20．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）寫出的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）為直線上一動點，當(dāng)?shù)綀A心的距離最小時，求的直角坐標(biāo)．21．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD．（1）證明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．22．（10分）如圖，在正四棱柱中，已知AB＝2，，E、F分別為、上的點，且.(1)求證：BE⊥平面ACF；(2)求點E到平面ACF的距離．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零這一原則得出關(guān)于的不等式，解出可得出函數(shù)的定義域．【題目詳解】由題意可得，解得，因此，函數(shù)的定義域為，故選C．【題目點撥】本題考查對數(shù)型函數(shù)的定義域的求解，求解時應(yīng)把握“真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不為”，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

根據(jù)幾何體的三視圖得出該幾何體是三棱柱去掉一個三棱錐所得的幾何體，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)，求出它的體積．【題目詳解】根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是三棱柱截去一個三棱錐后所剩幾何體幾何體是底面為邊長為3,4,5的三角形，高為5的三棱柱被平面截得的，如圖所示：由題意：原三棱柱體積為：V截掉的三棱錐體積為：V所以該幾何體的體積為：V=本題正確選項：A【題目點撥】本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀．3、A【解題分析】

由題意知X～B（4，），根據(jù)二項分布的方差公式進行求解即可．【題目詳解】∵每位同學(xué)能通過該測試的概率都是，且各人能否通過測試是相互獨立的，∴X～B（4，），則X的方差D（X）＝4（1）＝1，故選A．【題目點撥】本題主要考查離散型隨機變量的方差的計算，根據(jù)題意得到X～B（4，）是解決本題的關(guān)鍵．4、D【解題分析】

由于兩個對數(shù)值均為正，故m和n一定都小于1，再利用對數(shù)換底公式，將不等式等價變形為以10為底的對數(shù)不等式，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較m、n的大小即可【題目詳解】∵∴0＜n＜1，0＜m＜1且即lg0.5（）>0?lg0.5（）>0∵lg0.5<0，lgm＜0，lgn＜0∴l(xiāng)gn﹣lgm<0即lgn<lgm?n<m∴1＞m＞n＞0故選D．【題目點撥】本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對數(shù)的運算法則及其換底公式的應(yīng)用，利用圖象和性質(zhì)比較大小的方法5、D【解題分析】分析：利用定積分的幾何意義求出陰影部分的面積，由幾何概型的概率公式，即可得結(jié)果.詳解：陰影部分的面積是，矩形的面積是，點落在區(qū)域內(nèi)的概率，故選D.點睛：本題主要考查定積分的幾何意義以及幾何概型概率公式，屬于中檔題.一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、曲線以及直線之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和，其中在軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù),所以在用定積分求曲邊形面積時，一定要分清面積與定積分是相等還是互為相反數(shù)；兩條曲線之間的面積可以用兩曲線差的定積分來求解.6、C【解題分析】

根據(jù)最小二乘法，求出相關(guān)量，，即可求得的值?！绢}目詳解】因為，，，所以，，故選C?！绢}目點撥】本題主要考查利用最小二乘法求線性回歸方程，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力。7、D【解題分析】試題分析：由得，即，即設(shè)，則，則條件等價為，即有解，設(shè)，為增函數(shù)，∵，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，即當(dāng)時，函數(shù)取得極小值為：，即，若有解，則，即，則或，故選D．考點：函數(shù)恒成立問題.【方法點晴】本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)相交問題，利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的極值和最值是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系將方程進行轉(zhuǎn)化，利用換元法轉(zhuǎn)化為方程有解，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和單調(diào)性的關(guān)系進行求解即可．8、C【解題分析】

根據(jù)圖象：分，，，，四種情況討論的單調(diào)性.【題目詳解】根據(jù)圖象：當(dāng)，所以遞增，當(dāng)，所以遞減，當(dāng)，所以遞減，當(dāng)，所以遞增，故選：C【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的圖象間的關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和理解辨析的能力，屬于常考題.9、A【解題分析】

利用等差數(shù)列的知識可求的值，然后利用的公式可求.【題目詳解】由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)可知，所以，所以.故選：A.【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和三角函數(shù)求值，注意齊次式的轉(zhuǎn)化，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).10、C【解題分析】

轉(zhuǎn)化函數(shù)，證明函數(shù)單調(diào)性，奇偶性，再轉(zhuǎn)化為，即，求解即可.【題目詳解】由題意，函數(shù)，定義域為R，故為偶函數(shù)令，在單調(diào)遞增，且在單調(diào)遞增則因此故選：C【題目點撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性在解不等式中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.11、B【解題分析】

由向量的數(shù)量積公式直接求解即可【題目詳解】因為，所以為直角三角形，所以，所以.故選B【題目點撥】本題考查平面向量的夾角與模，以及平面向量數(shù)量積的運算，考查運算求解能力.12、A【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【題目詳解】，，，，，，，，，故選：A.【題目點撥】本題考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了計算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：詳解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故函數(shù))關(guān)于(2,0)中心對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得到函數(shù)的周期為：4，故答案為：0.點睛：這個題目考查了函數(shù)的對稱性和周期性，對于抽象函數(shù)，且要求函數(shù)值的題目，一般是研究函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，通過這些性質(zhì)將要求的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知表達式的區(qū)間上，將轉(zhuǎn)化后的自變量代入解析式即可.14、②【解題分析】

利用離散型隨機變量的定義直接求解．【題目詳解】①③④中的隨機變量的所有取值，我們都可以按照一定的次序一一列出，因此它們是離散型隨機變量；②中隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，但無法按一定次序一一列出，故不是離散型隨機變量．故答案為：②【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意離散型隨機變量的定義的合理運用，比較基礎(chǔ)．15、【解題分析】

根據(jù)題意，分析可得有，即函數(shù)是周期為6的周期函數(shù)，進而可得，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足，則有，

則函數(shù)是周期為6的周期函數(shù)，

則，

又由為偶函數(shù)，則，

故；

故答案為：．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，注意分析函數(shù)的周期性，屬于中檔題．16、.【解題分析】

根據(jù)題意，拋擲一枚均勻骰子，出現(xiàn)奇數(shù)或偶數(shù)概率為，則且的情況有2種：①當(dāng)前2次同時出現(xiàn)偶數(shù)時，則后6次出現(xiàn)3次偶數(shù)3次奇數(shù)，②當(dāng)前2次出現(xiàn)奇數(shù)時，則后6次出現(xiàn)5次偶數(shù)1次奇數(shù)，分別計算相應(yīng)的概率求和即可.【題目詳解】拋擲一枚均勻骰子，出現(xiàn)奇數(shù)或偶數(shù)概率為，構(gòu)造數(shù)列，使，記，則且的情況為：①當(dāng)前2次同時出現(xiàn)偶數(shù)時，則后6次出現(xiàn)3次偶數(shù)3次奇數(shù)，相應(yīng)的概率，②當(dāng)前2次出現(xiàn)奇數(shù)時，則后6次出現(xiàn)5次偶數(shù)1次奇數(shù)，相應(yīng)的概率為，所以概率為.故答案為：.【題目點撥】本題考查二項分布概率計算，結(jié)合排列組合與數(shù)列的知識，屬于綜合題，解題的關(guān)鍵在于對所求情況進行分析，再利用二項分布進行概率計算即可，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分布列見解析；（2）見解析；（3），試解釋游戲規(guī)則的公平性見解析【解題分析】

（1）由題意得：，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列.（2）由題意得，，，推導(dǎo)出，根據(jù)中點公式能證明點的中點橫坐標(biāo)為；（3）由，求出，從而，，由此推導(dǎo)出甲獲勝的概率非常小，說明這種游戲規(guī)則是公平的.【題目詳解】（1），，，的分布列為：01（2）由題意得：，，.于是，有，整理可得：，根據(jù)中點公式有：，命題得證.（3）由（2）可知，于是又，所以，，.表示最終認(rèn)為甲獲勝概率，由計算結(jié)果可以看出，在甲過關(guān)的概率為0.5，乙過關(guān)的概率為0.6時，認(rèn)為甲獲勝的概率為，此時得出甲獲勝的概率非常小，說明這種游戲規(guī)則是公平的.【題目點撥】本題考查了離散型隨機變量的分布列，用概率說明游戲的公平性，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）最大值為，最小值為.【解題分析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，由可求出實數(shù)的值；（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值以及端點的函數(shù)值，比較大小后可得出該函數(shù)的最值．【題目詳解】（1），，由于曲線在處的切線與軸平行，則，解得；（2）由（1）可得，該函數(shù)的定義域為，，令，可得.當(dāng)時，，，此時；當(dāng)時，，，此時.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，，當(dāng)時，.，，令，則，所以，函數(shù)在時單調(diào)遞增，即，則，因此，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【題目點撥】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用切線斜率求參數(shù)以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是難題．19、（1）分布列見解析，（2）①，②萬元【解題分析】

（1）由題意列出X的可能取值為，，，，，，結(jié)合表格寫出概率及分布列，再求解期望（2）①建立二項分布求解三輛車中至多有一輛事故車的概率②先求出一輛二手車?yán)麧櫟钠谕?，再乘?00即可【題目詳解】（1）由題意可知：X的可能取值為，，，，，由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知：，，，，，.所以的分布列為：.（2）①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故的概率為，三輛車中至多有一輛事故車的概率為：.②設(shè)Y為給銷售商購進并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為所以Y的分布列為：YP所以.所以該銷售商一次購進輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤的期望值為萬元.【題目點撥】本題考查離散型隨機變量及分布列，考查二項分布，考查計算能力，是基礎(chǔ)題20、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】試題分析：（Ⅰ）先將兩邊同乘以可得，再利用，可得的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）先設(shè)的坐標(biāo)，則，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得的最小值，進而可得的直角坐標(biāo)．試題解析：（Ⅰ）由，得，從而有，所以．（Ⅱ）設(shè)，又，則，故當(dāng)時，取最小值，此時點的直角坐標(biāo)為．考點：1、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；2、參數(shù)的幾何意義；3、二次函數(shù)的性質(zhì)．21、（1）見解析（2）【解題分析】

試題解析：（1）∵∠DAB=600，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，從而BD2+AD2=AB2故BD