自動(dòng)控制理論第四課后習(xí)題詳細(xì)解答答案夏德鈐翁貽方版

《自動(dòng)控制理論（夏德鈴）》習(xí)題答案詳解

第二章

2-1試求圖2-T-1所示RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。

1

(a)Zj=CsRZ^R,則傳遞函數(shù)為:

1RCs+122

8+Cs

（b）設(shè)流過C|、。2的電流分別為4、，2,根據(jù)電路圖列出電壓方程:

并且有

聯(lián)立三式可消去/,（S）與/2（5），則傳遞函數(shù)為：

2-2假設(shè)圖2-T-2的運(yùn)算放大器均為理想放大器，試寫出以《為輸入，以為輸出的傳遞函數(shù)。

（a）由運(yùn)算放大器虛短、虛斷特性可知：乜=—C①+。必如，uc=Ui-u0,

Rdtdt

對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得到

故傳遞函數(shù)為

（b）由運(yùn)放虛短、虛斷特性有：C也一安絲+二絲=0,2+國(guó)=0,

dtR/2R/2/f2&

聯(lián)立兩式消去人得到

對(duì)該式進(jìn)行拉氏變換得

故此傳遞函數(shù)為

⑹。等+常+且%-六

聯(lián)立兩式可消去〃，得到

對(duì)該式進(jìn)行拉氏變換得到

故此傳遞函數(shù)為

2-3試求圖2-T-3中以電樞電壓鋸為輸入量，以電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)角。為輸出量的微分方程式和傳遞函

數(shù)。

解：設(shè)激磁磁通°=恒定

2-4一位置隨動(dòng)系統(tǒng)的原理圖如圖2-T-4所示。電動(dòng)機(jī)通過傳動(dòng)鏈帶動(dòng)負(fù)載及電位器的滑動(dòng)觸點(diǎn)一起

移動(dòng)，用電位器檢測(cè)負(fù)載運(yùn)動(dòng)的位移，圖中以c表示電位器滑動(dòng)觸點(diǎn)的位置。另一電位器用來給定

負(fù)載運(yùn)動(dòng)的位移，此電位器的滑動(dòng)觸點(diǎn)的位置（圖中以r表示）即為該隨動(dòng)系統(tǒng)的參考輸入。兩電位

器滑動(dòng)觸點(diǎn)間的電壓差/即是無慣性放大器（放大系數(shù)為K”）的輸入，放大器向直流電動(dòng)機(jī)M供

電，電樞電壓為“，電流為I。電動(dòng)機(jī)的角位移為6L

解：筆=------------------------盧-------------.----------

2-5圖2-T-5所示電路中，二極管是一個(gè)非線性元件，其電流。與&間的關(guān)系為

（q、

3

z^lO^xe°026—1。假設(shè)電路中的/?=10fi,靜態(tài)工作點(diǎn)M0=2.39V,

\7

辦=2.19X10-3A。試求在工作點(diǎn)（劭,%）附近。=/（為）的線性化方程。

解：id-2.19x10-3=0.（）84（”4-0.2）

2-6試寫出圖2-T-6所示系統(tǒng)的微分方程，并根據(jù)力一電壓的相似量畫出相似電路。

解：分別對(duì)物塊加1、受力分析可列出如下方程：

1

代入匕=李、v2=3得

dtdt

2-7圖2-T-7為插了一個(gè)溫度計(jì)的槽。槽內(nèi)溫度為4，溫度計(jì)顯示溫度為9。試求傳遞函數(shù)竺^

（考慮溫度計(jì)有貯存熱的熱容C和限制熱流的熱阻R）o

解：根據(jù)能量守恒定律可列出如下方程：

對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得到

則傳遞函數(shù)為

2-8試簡(jiǎn)化圖2-T-8所示的系統(tǒng)框圖，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2。

RG）

圖2-T-11

P4—agdi,相應(yīng)的，有：4=A2=A,=A4=1

則

111

(b)系統(tǒng)共有三個(gè)回環(huán)，因此，XA,=

RiG$R2c2s&C2s

兩個(gè)互不接觸的回環(huán)只有一組，因此，ZL,=--------------------------=-------------------7

-R￡s(R2c2s)R]R2cle2s2

1

在節(jié)點(diǎn)R(s)和C(s)之間僅有一條前向通道:4-'=J彳，并且有

sC、&sC2R}C}C2

A,=L則

2-13確定圖2-T-13中系統(tǒng)的輸出C(S).

當(dāng)僅有2G)作用時(shí)，

圖2-T-13

C(5)G02乩

當(dāng)僅有￡>3(s)作用時(shí)，4

2(s)1+G、H2+G]G,”]

根據(jù)疊加原理得出

第三章

3-1設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

求此系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)誤差。

解：當(dāng)輸入為單位斜坡響應(yīng)時(shí)，有

r(f)=f,R(s)=]

s

所以有

分三種情況討論

(1)當(dāng)：〉1時(shí),

(2)當(dāng)0<7<1時(shí),

(3)當(dāng)《=1時(shí)，

設(shè)系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng),有

系統(tǒng)對(duì)單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為

3-2試求下列單位反饋控制系統(tǒng)的位置、速度、加速度誤差系數(shù)。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

CQK

(1)G(s)=---------------(2)G(s)=------------------

(1+0.15)(1+25)5(1+0.ls)(l+0.5s)

(3)G(s)=Kf：2s)(l+4s)(4)K

S2(52+25+10)5(52+4s+200)

解：(1)K=limG(s)=50,K=limsG(s)=0,K=lims2G(s)=0；

P.v->0vSTOAs-0

2

(2)K=limG(s)=oo,Kv=limsG(s)=K,Kn=limsG(s)=0；

P5^0s_0aSTO

(3)Ko=limG(5)=oo,Kv=limsG(s)=oo,Ku=lim?G(5)=—；

/5—>0S—>05—>01Q

2

(4)Kn=limG(s)=oo,Kv=limsG(s)=—,=limsG(s)=0

/5—>05—>0200s—>0

3-3設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

若輸入信號(hào)如下，求系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)。

2

(1)?/)=4,(2)r(t)=&+R/,(3)r(t)=R?+R]t+-R2t

解：首先求系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)

誤差系數(shù)可求得如下

(1)r(t)=Ro,此時(shí)有((/)=%,匕?)=匕?)=0,于是穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為

e“(f)=Co4(f)=O,,20

(2)r(f)=R0+Rj,此時(shí)有[(/)=4<。)=4,匕⑺=0,于是穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為

/(。=。0a。)+。/0)=。?1a,，20

11

(3)r(z)=R0+/?]/+]R,t~,此時(shí)有人(%)=/+R/+—R"9,0(%)=R+R2t?

r(Z)=/?2,于是穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為

%(r)=Cor(/)+C,rQ)+號(hào)r(/)=0.1(/?,+7?7).?>0

3-4設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

若輸入為r(f)=sin5f,求此系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)。

解：首先求系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)

誤差系數(shù)可求得如下

以及

則穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為

3-6系統(tǒng)的框圖如圖3-T-la所示，試計(jì)算在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差的終值。如在輸入端加入一

比例微分環(huán)節(jié)(參見圖3-T-lb),試證明當(dāng)適當(dāng)選取a值后，系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差可以消

除。

可見取a=筐，可使e“=Ob)

con

圖3-T-l

3-7單位反饋二階系統(tǒng)，已知其開環(huán)傳遞函數(shù)為

從實(shí)驗(yàn)方法求得其零初始狀態(tài)下的階躍響應(yīng)如圖3-T-2所示。經(jīng)測(cè)量知，Mp=0.096,

%=0.2s。試確定傳遞函數(shù)中的參量：及

解：由圖可以判斷出0<4<1,因此有

代入0.096,，p=0.2可求出

：=0.598

(on=19.588

R(s)+

3-8反饋控制系統(tǒng)的框圖如圖3-T-3所示，要求

(1)由單位階躍函數(shù)輸入引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。

(2)整個(gè)系統(tǒng)的特征方程為一+4$2+6s+4=0

圖3-T-3

求三階開環(huán)傳遞函數(shù)G(s),使得同時(shí)滿足上述要求。

解：設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為

32

15+k1s+k2s+k^

根據(jù)條件(1)exr=lim=0可知:%=。；

s->01+G(s)s'+k、s~+k2s+k：+K

根據(jù)條件(2)0(S)=S3+4S2+6，+4=O可知：k,=4,42=6，K=4。

所以有

3-9一單位反饋控制的三階系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s),如要求

(1)由單位斜坡函數(shù)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差等于2.0。

(2)三階系統(tǒng)的一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)為

求同時(shí)滿足上述條件的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)o

解：按照條件(2)可寫出系統(tǒng)的特征方程

將上式與1+G(s)=0比較，可得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

根據(jù)條件(1)，可得

解得。=1,于是由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

3-10已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求在下列條件下系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)之超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。

(1)K=4.5,r=15(2)K=l,r=ls(3)K=O.16,7=ls

解：系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的象函數(shù)為

(1)將長(zhǎng)=4.5,7=15代入式中可求出0“=2.12依1/5,4=°24,為欠阻尼系統(tǒng)，因此得

出

/P=46%,ts=7.865(2%),5.905(5%)

(2)將K=l,r=ls代入式中可求出3“=l%4/s,，=0.5,,為欠阻尼系統(tǒng)，因此得出

%=16.3%,「8s(2%)s,65(5%)

P

(3)將K=0.16,r=Is代入式中可求出=0.4幾以/s,=1.25,過阻尼，無最大超調(diào)

量。因此只有ts=15so

3-11系統(tǒng)的框圖如圖3?T?4所示，試求當(dāng)a=0時(shí),系統(tǒng)的之值。如要求，是確定a的值。

(1)當(dāng)a=0時(shí)，則系統(tǒng)傳傳遞函數(shù)為G(s)=——，其中=提=20,24y“=2,

5+25+8

所以有7=0.354。

8

(2)。，不變時(shí)，系統(tǒng)傳函數(shù)為G(s),要求4=0.7,則有

s~+(8a+2)s+8

24y“=2(4。+1),所以可求得求得a=0.25。

3-12已知兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，如果兩者的參量均相等，試分析z=l的零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)

和單位階躍響應(yīng)的影響。

1.單位脈沖響應(yīng)

(a)無零點(diǎn)時(shí)

(b)有零點(diǎn)z=-l時(shí)

比較上述兩種情況，可見有零點(diǎn)z=-l時(shí)，單位脈沖響應(yīng)的振幅較無零點(diǎn)時(shí)小，而且產(chǎn)生相移，相

移角為a/rfg?--~-?

1一納

2.單位階躍響應(yīng)

(a)無零點(diǎn)時(shí)

(b)有零點(diǎn)z=—l時(shí)

加了z=-1的零點(diǎn)之后，超調(diào)量V。和超調(diào)時(shí)間都小于沒有零點(diǎn)的情況。

3-13單位反饋控制系統(tǒng)的框圖如圖3-T-5所示。假設(shè)未加入外作用信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)處于零初始狀態(tài)。

如果不考慮擾動(dòng)，當(dāng)參考輸入為階躍函數(shù)形式的速度信號(hào)時(shí)，試解釋其響應(yīng)為何必然存在超調(diào)現(xiàn)

象？

單位反饋控制系統(tǒng)的框圖如圖3-T-5所示。假設(shè)未加入外作用信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)中存在比例-積分環(huán)節(jié)

KGZ+I),當(dāng)誤差信號(hào)e(7)=0時(shí)，由于積分作用，該環(huán)節(jié)的輸出保持不變，故系統(tǒng)輸出繼續(xù)增

S

長(zhǎng)，知道出現(xiàn)e(f)<0時(shí)，比例-積分環(huán)節(jié)的輸出才出現(xiàn)減小的趨勢(shì)。因此，系統(tǒng)的響應(yīng)必然存在超

調(diào)現(xiàn)象。

3-14上述系統(tǒng)，如在《。為常量時(shí)，加于系統(tǒng)的擾動(dòng)〃(，)為階躍函數(shù)形式，是從環(huán)節(jié)及物理作用

上解釋，為何系統(tǒng)的擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差等于零？如擾動(dòng)〃(1)為斜坡函數(shù)形式，為何擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差是與時(shí)

間無關(guān)的常量？

在r為常量的情況下，考慮擾動(dòng)〃(。對(duì)系統(tǒng)的影響，可將框圖重畫如下

圖A-3-2題3-14系統(tǒng)框圖等效變換

根據(jù)終值定理，可求得“(/)為單位階躍函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0,〃(。為單位斜坡函數(shù)時(shí)，系

統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為—o

《

從系統(tǒng)的物理作用上看，因?yàn)樵诜答伝芈分杏幸粋€(gè)積分環(huán)節(jié)，所以系統(tǒng)對(duì)階躍函數(shù)的擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)

誤差為零。在反饋回路中的積分環(huán)節(jié)，當(dāng)輸出為常量時(shí).，可以在反饋端產(chǎn)生一個(gè)與時(shí)間成正比的信

號(hào)以和擾動(dòng)信號(hào)平衡，就使斜坡函數(shù)的擾動(dòng)輸入時(shí)，系統(tǒng)擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差與時(shí)間無關(guān)。

3-15已知系統(tǒng)的特征方程如下，試用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)其穩(wěn)定性。

54183

53240

(1)勞斯表有52630則系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定。

5130

s°3

S4112

S3240

（2）勞斯表有$2-12勞斯陣列第一列符號(hào)改變兩次，根據(jù)勞斯判據(jù)，系統(tǒng)有

s'8

s°2

兩個(gè)極點(diǎn)具有正實(shí)部，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

1316

541910

53—66

（3）勞斯表有,勞斯陣列第一列符號(hào)改變兩次，根據(jù)勞斯判據(jù)，系統(tǒng)

s11010

5112

5°10

系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)具有正實(shí)部,系統(tǒng)不穩(wěn)定。

561584

55396

54264

812

（4）勞斯表有系統(tǒng)處于穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，由輔助方程

/34

3

5°4

A（s）=2$4+6$2+4可求得系統(tǒng)的兩對(duì)共規(guī)虛數(shù)極點(diǎn)S|2=+j；s34=±j

3-16根據(jù)下列單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值的范圍。

（1）K>0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）KX）時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（3）0<K<3時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。

3-17已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G（S）=-K"+D-請(qǐng)?jiān)谝訩為橫坐標(biāo)，T為

$3+l）（2s+l）

縱坐標(biāo)的平面上，確定系統(tǒng)為穩(wěn)定的區(qū)域。

系統(tǒng)的特征方程為￡>(s)=2Tsi+(r+2)s2+(K+l)s+K=0

$32rk+1

S2r+2k

列寫勞斯表1(T+2)(Z+1)—2zk得出系統(tǒng)穩(wěn)定應(yīng)滿足的條件

S

r+2

s°k

?+2）（K+l）-2水

0

r+2

由此得到和應(yīng)滿足的不等￡式和條件

234591530100

643.332.52.282.132.04

根據(jù)列表數(shù)據(jù)可繪制K為橫坐標(biāo)、T為縱坐標(biāo)的曲線,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域?yàn)閳DA-3-3中

的陰影部分。

圖A-3-3閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域

^(5+5)(5+40)

3-18已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)試求系統(tǒng)的臨界增

s3(5+200)(5+1000)

益K,之值及無阻尼振蕩頻率值。

根據(jù)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得到特征方程

列寫勞斯表

根據(jù)勞斯判據(jù)可得

系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為

當(dāng)&=1.22x106、K2=1.7535xIO'時(shí)，系統(tǒng)有一對(duì)共輸虛數(shù)極點(diǎn)，此時(shí)產(chǎn)生等幅振蕩，因此

8

臨界增益Kc=L22x1()6以及K,=1.7535x10o

根據(jù)勞斯表列寫=1.22/IO。時(shí)的輔助方程

解得系統(tǒng)的一對(duì)共甄虛數(shù)極點(diǎn)為42=±〃6,系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率即為16md/s。

(=1.7535x1()8時(shí)的輔助方程

解得系統(tǒng)的一對(duì)共知虛數(shù)極點(diǎn)為$3.4=±/338,系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率為338rad/s。

第四章

4-2設(shè)已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，要求繪出當(dāng)開環(huán)增益(變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡圖，并

加簡(jiǎn)要說明。

K

(1)G(s)=-z--------；

心+l)(s+3)

系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)為0,—1,-3,無開環(huán)零點(diǎn)。實(shí)軸［-1,0］與［-8,3］上有根軌跡，漸近線相角

dK

G=±60°,±180°,漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)b“=-1.33,由一1=0可得出分離點(diǎn)為(―0.45,/0),

aS

與虛軸交點(diǎn)士.八回(&=12)。常規(guī)根軌跡如圖A-4-2所示。

圖A-4-2感4-2系統(tǒng)(1)常規(guī)根軌跡

(2)G(S)=^——/-------j

$($+4獷+4s+20)

方法步驟同上，實(shí)軸(—4,()］上有根軌跡，＜pu=±45°,±135°,q=—2,分離點(diǎn)

(-2,/0)與(—2±_/2.5),與虛軸交點(diǎn)士=260)。常規(guī)根軌跡如圖A-4-3所示。

圖A-4-3題4-2系統(tǒng)(2)常規(guī)根軌跡

4-3設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(S)=/—(1)試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡的大致圖形，并對(duì)系

5(5+1)

統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。(2)若增加一個(gè)零點(diǎn)z=-1,試問根軌跡圖有何變化，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性有何影

響？

(1)G(s)=

s2(s+2)

實(shí)軸［—8,—2］上有根軌跡，0“=±60°，5,=-0.67,由一=0可得出分離點(diǎn)為(0,川)，

dS

與虛軸交點(diǎn)為/()(%=0)常規(guī)根軌跡如圖A-4-4(a)所示。從根軌跡圖可見，當(dāng)(>0便有二個(gè)

閉環(huán)極點(diǎn)位于右半s平面。所以無論K取何值，系統(tǒng)都不穩(wěn)定。

圖A-4-4題4-3系統(tǒng)常規(guī)根軌跡

((s+l)

(2)G(S)=

52(5+2)

實(shí)軸［-2,-1］上有根軌跡，e“=±90°,b“=-0.5,分離點(diǎn)為(0,4)：常規(guī)根軌跡如圖A-4-4

(b)所示。從根軌跡圖看一，加了零點(diǎn)z=—1后，無論K取何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。

4-4設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(S)”(S)=——試?yán)L制下列條件下系統(tǒng)的常規(guī)根軌跡

s(s+2S+Q)

(1)a=l(2)a=1.185(3)a=3

(l)a=l時(shí)，實(shí)軸(—2,()］上有根軌跡，G=±90°,cr=0,分離點(diǎn)為(—0.38,0),常規(guī)根軌跡

如圖圖A-4-5(1)

圖A-4-5(1)

(2)a=1.185時(shí)，實(shí)軸(一2,0］上有根軌跡，％=±90°,cr=0,根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為

(0,土力，常規(guī)根軌跡如圖圖A-4-5(2)

圖A-4-5(2)

(3)a=3時(shí)，實(shí)軸(-2,0］上有根軌跡，0〃=±90°,a=0,根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為(0,土力，常

規(guī)根軌跡如圖圖A-4-5(3)

圖A-4-5(3)

4-5求開環(huán)傳遞函數(shù)為G(S)H(S)=孚上?的系統(tǒng)在下列條件下的根軌跡(1)a=10(2)a=9(3)

s(S+Q)

a=8⑷a=3

(1)實(shí)軸［-10,-1］上有根軌跡，以=±90°,b〃=T.5,分離點(diǎn)為(0,川)，與虛軸交點(diǎn)為

/0(&=0)。常規(guī)根軌跡大致圖形如圖A-4-6(1)

圖A-4-6(1)

(2)實(shí)軸［一9,一I］上有根軌跡，仁=±90°,cr“=T,分離點(diǎn)為(0,4)，與虛軸交點(diǎn)為

川(&=0)。常規(guī)根軌跡大致圖形如圖A-4-6(2)

圖A-4-6(2)

(3)實(shí)軸上有根軌跡，0“=±90。,々=—3.5,分離點(diǎn)為(0,4)，與虛軸交點(diǎn)為

/0(K］=0)。常規(guī)根軌跡大致圖形如圖A-4-6(3)

圖A-4-6(3)

⑷實(shí)軸［-3,-1］上有根軌跡，以=±90°，4=-1,分離點(diǎn)為(0,川)，與虛軸交點(diǎn)為

/0(&=0)。常規(guī)根軌跡大致圖形如圖A-4-6(4)

圖A-4-6(4)

4-7設(shè)系統(tǒng)的框圖如圖4-T-2所示，試?yán)L制以a為變量的根軌跡，并要求：(1)求無局部反

饋時(shí)系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差，阻尼比及調(diào)整時(shí)間。(2)討論a=2時(shí)局部反饋對(duì)系性

能的影響。(3)確定臨界阻尼時(shí)的a值。

系統(tǒng)特征方程為

以C為可變參數(shù)，可將特征方程改寫為

從而得到等效開環(huán)傳遞函數(shù)

根據(jù)繪制常規(guī)根軌跡的方法，可求得實(shí)軸(-8,0］上有根軌跡Q=±180°,b“=—1,分離點(diǎn)為

(-1J0),出射角為%=干150°。參數(shù)根軌跡如圖A-4-7所示。

圖A-4-7題4-7系統(tǒng)參數(shù)根軌跡

(1)無局部反饋時(shí)(。=0)，單位速度輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為?=1；阻尼比為

?=0.5；調(diào)節(jié)時(shí)間為ts=6s(5%)

(2)e=0.2時(shí)，e?=1.2,4=0.6,'=5s(5%)

比較可見，當(dāng)加入局部反饋之后，阻尼比變大，調(diào)節(jié)時(shí)間減小，但穩(wěn)態(tài)誤差加大。

(3)當(dāng)a=l時(shí)，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)有二重閉環(huán)極點(diǎn)力2=-1。

4-8根據(jù)下列正反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制其根軌跡的大致圖形。

(1)實(shí)軸(-°O，-2］U|-1，+8)有根軌跡，(pa=±90°,crf(=-1.5,分離點(diǎn)為(-1.5,0),與虛軸交

點(diǎn)為川(%=3)。常規(guī)根軌跡大致圖形如圖A-4-8(1)

(2)實(shí)軸［0,+8)U|-2,—l］有根軌跡，仁=0°,±120°，a=-2,分離點(diǎn)為(—1.57,0),與虛軸

交點(diǎn)為川(曷=3)。常規(guī)根軌跡大致圖形如圖A-4-8(2)

(3)實(shí)軸［O,+8)U［-2,-1］U［-4,—3］有根軌跡，/=0°,±12(T，a=-2,虛軸交點(diǎn)為

(0,/0.91X&=5.375)。常規(guī)根軌跡大致圖形如圖A48(3)

4-9繪出圖4-T-3所示滯后系統(tǒng)的主根軌跡，并確定能使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。

主根軌跡如圖A-4-9所示。系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是0<K<14.38。

圖A-4-9題4-9系統(tǒng)主根軌跡

4-10若已知一個(gè)滯后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G（s）H（s）="一，試?yán)L制此系統(tǒng)的主根軌跡.

S

由G（s）H（s）=屋一知

S

&=0時(shí)系統(tǒng)的根軌跡從開環(huán)極點(diǎn)P]=0和b=-8出發(fā)，實(shí)軸（-oo,0]上有根軌跡，主根軌跡分

/1I、TT7T

離點(diǎn)一一J0;與虛軸交點(diǎn)士J—,臨界K值一。主根軌跡如圖A-4-10所示。

t—72r2r

圖A-4-10

4-11上題中的開環(huán)傳遞函數(shù)可用下列近似公式表示⑴G（s）H（s）;K（i）（2）

G(s)"(s)（3）G（S）”（S）=7^試?yán)L制以上三種情況的根跡，并和題4-10的

S\TS+1）

sl+5s

根軌跡進(jìn)行比較，討論采用近似式的可能性。

（1）G（S）”（5）=總匕。的根軌跡如圖A-4-11（1）所示。

圖A-4-11（1）G（S）H（S）=K（l—〃）根軌跡

(2)G(s)”(s)

s\1+—s

I2)

分離點(diǎn)（…可會(huì)合一,可

與虛軸交點(diǎn)土j—;臨界穩(wěn)

T

2

定K值為一。根軌跡如圖A411（2）所示。

T

K(l-Q/2)s)

圖A-4-11(2)G(s)”(s)=根軌跡

5(1+(r/2)5)

⑶G（s）"（s）=高

分離點(diǎn)（———根軌跡如圖A-4-11（3）所示。

K

圖A-4-11(3)G(M)=根軌跡

5(n+1)

討論：當(dāng)7較小時(shí)，且K在某一范圍內(nèi)時(shí)，可取近似式"——；若7較大，取上述近似式誤差就

5(n+l)

山-可

大，此時(shí)應(yīng)取近似式—~9

<T

S1+—5

4-12已知控制系統(tǒng)的框圖如圖4-T-4所示，圖中G|(S)=——4——，G,(S)=上±2.試?yán)L

(s+5)(s-5)s

制閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根軌跡，并加簡(jiǎn)要說明。

系統(tǒng)的根軌跡如圖A-4-12所示。

圖A-4-12

4-13設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(S)="S+"),確定a的值，使根軌跡圖分別具有0,1,2

S(S+Q)

個(gè)分離點(diǎn)，畫出這三種情況根軌跡圖。

當(dāng)0<。<，時(shí)，有兩個(gè)分離點(diǎn)，當(dāng)。=’時(shí)，有一個(gè)分離點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，沒有分離點(diǎn)。系統(tǒng)的

999

根軌跡族如圖A-4-13所示。

圖A-4-13

第五章

5-1己知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制其開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖

(l)G(s)=J、

+1)

解：幅頻特性：A(co)=1

相頻特性：(p(o>--900-arctgco

列表取點(diǎn)并計(jì)算。

0.51.01.52.05.010.0

1.790.7070.370.2240.0390.0095

-116.6°-135°-146.3°-153.4°-168.7°-174.2°

系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖如下：

⑵G(S)=(1+S/1+2S)

解：幅頻特性：

+/J1+4療

相頻特性：以⑼=-arctgco-arctglco

列表取點(diǎn)并計(jì)算。

00.20.50.81.02.05.0

10.910.630.4140.3170.1720.0195

OOOOOOO

0-15.6-71.6-96.7-108.4-139.4-162.96

系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖如下:

解：幅頻特性：A（<y）=-/J]-----------

CD\1+CD2Vl+4ty2

相頻特性：9（3）=-90°-arctgco-arctg2a）

列表取點(diǎn)并計(jì)算。

0.20.30.5125

4.552.741.270.3170.0540.0039

OOOOOO

-105.6-137.6-161-198.4-229.4-253

系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖如下:

（4）G（,s）=-----------------r

52（1+5/1+25）

解：幅頻特性：A（（y）=——

<y2Vl+?y2Vl+4（y2

相頻特性：例3）=-180°-arctgco-arctglco

列表取點(diǎn)并計(jì)算。

0.20.250.30.50.60.81

22.7513.87.862.520.530.650.317

-195.6°-220.6°-227.6°-251.6°-261.6°-276.7°-288.4°

系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖如下：

5-2試?yán)L制上題中各系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性（伯德圖）。

⑴G（，=心）

解：系統(tǒng)為I型，伯德圖起始斜率為一20dB/dec,在0=卜一1處與L（3）=201gK=0相交。

廣二環(huán)節(jié)的交接頻率3=,斜率下降20dB/dec,變?yōu)?40dB/dec。

（S+1）

系統(tǒng)的伯德圖如圖所示：

⑵G（S）=（I+S/I+2S）

解：伯德圖起始為OdB線,

—1—的交接頻率電=’s”,斜率下降20dB/dec,變?yōu)橐?0dB/dec。

l+2s2

——的交接頻率3,=15T,斜率下降20dB/dec,變?yōu)橐?0dB/dec。

1+s-

系統(tǒng)的伯德圖如圖所示。

（3）G（.V）=—j---q-----r

s（s+l）（2s+l）

解：系統(tǒng)為1型，伯德圖起始斜率為一20dB/dec,其延長(zhǎng)線在。=1處與L（0）=201gK=0相交。

—的交接頻率以='57,斜率下降20dB/dec,變?yōu)橐?0dB/dec。

1+2s2

丁丁的交接頻率02=卜7,斜率下降20dB/dec,變?yōu)橐?0dB/dec。

系統(tǒng)的伯德圖如圖所示。

（4）G—（/I+2S）

解：系統(tǒng)為錯(cuò)誤！未找到引用源。型，伯德圖起始斜率為一40dB/dec,其延長(zhǎng)線在。=1處與

L（0）=2OlgK=O相交;

」一的交接頻率以=」sT,斜率下降20dB/dec,變?yōu)橐?0dB/dec。

l+2s'2

--的交接頻率32=15"，斜率下降20dB/dec,變?yōu)橐?0dB/dec。

系統(tǒng)的伯德圖如圖所示。

5-3設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制系統(tǒng)的內(nèi)奎斯特圖和伯德圖，并求相角裕度和增益裕度。

解：幅頻特性：4（啰）=—I1°L

+（0.169）2+（0.5①）2

相頻特性°（口）=-90。-arctgO.\a）-arctg0.5co

0.51.01.52.03.05.010.0

17.38.95.33.51.770.670.24

-106.89°-122.3°-135.4°-146.3°-163°-184.76°-213.7°

錯(cuò)誤！未找到引用源。系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖如圖所示。

令夕3）=780°,解得％=4.47sL

K,=---=1.2,增益裕度：GM=2（）lgK.=1.58dB。

$A?）

錯(cuò)誤！未找到引用源。伯德圖起始斜率為-20dB/dec,經(jīng)過點(diǎn)＜y=lsT,L（0）=2OlgK=2O。

(0—l.v1處斜率下降為-40dB/dec,CO—10.V1處斜率下將為-60dB/dec。

系統(tǒng)的伯德圖如下圖所示。

令4?=1得剪切頻率3c=4.08s'T,相角裕度PM=3.94deg?

5-5已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

用MATLAB繪制系統(tǒng)的伯德圖，確定=0的頻率例.,和對(duì)應(yīng)的相角9(g)。

解：命令如下：

?s=tf('s');

?G=l/((s*(l+s)A2));

?margin(G2);

程序執(zhí)行結(jié)果如上，可從圖中直接讀出所求值。

5-6根據(jù)下列開環(huán)頻率特性，用MATLAB繪制系統(tǒng)的伯德圖，并用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的

穩(wěn)定性。

10_______________

⑴GU(o)H(jco)=

(汝)(0.1汝+1)(0.2汝+1)

解：命令如下：

?s=tf('s');

?G=10/(s*(0.1*s+l)*(0.2*s+l));

?margin(G);

如圖，相角裕度和增益裕度都為正，系統(tǒng)穩(wěn)定。

________________2________________

(2)G(jco)H(jco)=

(%)2(0.]加+])(]0%+1)

解：命令如下：

?s=tf(,s');

?G=2/((sA2)*(0.1*s+l)*(10*s+l));

?margin(G);

如圖，增益裕度無窮大，相角裕度-83,系統(tǒng)不穩(wěn)定。

5-7己知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線如圖所示，試寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),

并匯出對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)相頻曲線的大致圖形。

(a)解：低頻段由201gK=10得，K=如

(0=2S'1處，斜率下降20dB/dec,對(duì)應(yīng)慣性環(huán)節(jié)一［—。

0.55+1

由上可得，傳遞函數(shù)G(s)=回。

0.5,v+1

相頻特性9(@)=-arctg0.5co。

匯出系統(tǒng)的相頻特性曲線如下圖所示。

(b)解：低頻段斜率為-20dB/dec,對(duì)應(yīng)積分環(huán)節(jié)

S

-----11

0=2尸處，斜率下降20dB/dec,對(duì)應(yīng)慣性環(huán)節(jié)-------

0.55+1

K

在剪切頻率口。=2.8S-T處,=1,解得K=4.8

22

eyt.-Jl+0.5?yt.

48

傳遞函數(shù)為：G(s)=——：——

5(0.55+1)

(c)低頻段斜率為-40dB/dec,為兩個(gè)積分環(huán)節(jié)的疊加二；

S

0),=0.5$T處，斜率上升20dB/dec,對(duì)應(yīng)一階微分環(huán)節(jié)2S+1；

0),=25T處，斜率下降20dB/dec,對(duì)應(yīng)一階慣性環(huán)節(jié)一--

0.55+1

傳遞函數(shù)形式為：G(s)=K&s+l)

S2(0.5s+1)

圖中所示Bode圖的低頻段可用傳遞函數(shù)為K/S?來描述，則其幅頻特性為K/6?。取對(duì)數(shù)，得

L](<y)=201gK—201g32。

同理，Bode圖中斜率為-20dB/dec的中頻段可用A；/s來描述，則其對(duì)數(shù)幅頻特性為

L2(CO)=201gKx-201gco?由圖有，出(叫)=0dB,則有&=g。

再看圖，由4(3])=L2(?,)可解得K=g?g=0.5

綜上，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=0,5(2s+D

.I(0.5s+1)

(參考李友善做法)

系統(tǒng)相頻特性：(p(a>)=-180+arctg2a>-arctg0.5a)曲線如下：

5-8設(shè)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖如圖5-T-2所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(a)解：系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，奈氏圖包圍(-1.0j)點(diǎn)一次，PHO,所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

(b)解：正負(fù)穿越各一次，P=2(N.-W)=0,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

(c)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。(d)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

5-9根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)”(s)=------------繪制系統(tǒng)的伯德圖，并確定能使

s(l+s)(l+0,5s)

系統(tǒng)穩(wěn)定之最大丁值范圍。

解：7=0時(shí)，經(jīng)誤差修正后的伯德圖如圖所示。從伯德圖可見系統(tǒng)的剪切頻率在在

剪切頻率處系統(tǒng)的相角為

由上式，滯后環(huán)節(jié)在剪切頻頻處最大率可有11.1。的相角滯后，即

解得r=0.1686s。因此使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大r值范圍為0Wr<0.1686y。

5-10已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試用伯德圖方法確定系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界增益K值。

K1

解：由G(s)”(s)=—7--------；知兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率以=-ra"/s,⑼=lrad/s。令K=1,

5(1++3s)3

可繪制系統(tǒng)伯德圖如圖所示。

確定。3)=T80°所對(duì)應(yīng)的角頻率q。由相頻特