大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)專題一第2函數(shù)基本初等函數(shù)的圖像性質(zhì)(課堂講義)

大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)專題一第2函數(shù)基本初等函數(shù)的圖像性質(zhì)(課堂講義)匯報(bào)人：AA2024-01-25CATALOGUE目錄引言基本初等函數(shù)概述冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)反三角函數(shù)與復(fù)合函數(shù)函數(shù)圖像的變換與性質(zhì)總結(jié)與展望引言0103掌握基本初等函數(shù)的圖像性質(zhì)對(duì)于理解函數(shù)的性質(zhì)、分析函數(shù)的變化規(guī)律以及解決實(shí)際問(wèn)題具有重要意義。01高等數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，微積分是其中的核心內(nèi)容。02函數(shù)是微積分的主要研究對(duì)象，基本初等函數(shù)是函數(shù)的基礎(chǔ)。專題背景與意義02030401教學(xué)目標(biāo)與要求掌握基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像。能夠運(yùn)用基本初等函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等。能夠繪制基本初等函數(shù)的圖像，并理解其變化規(guī)律。能夠運(yùn)用基本初等函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題?；境醯群瘮?shù)的定義、性質(zhì)和圖像；函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)的分析方法；基本初等函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容講授法、討論法、案例分析法等。通過(guò)講解基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像，引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)的性質(zhì)，并通過(guò)案例分析加深學(xué)生對(duì)基本初等函數(shù)的理解和應(yīng)用。同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與討論，提出問(wèn)題和建議，促進(jìn)課堂互動(dòng)和交流。教學(xué)方法教學(xué)內(nèi)容與方法基本初等函數(shù)概述02基本初等函數(shù)的定義01基本初等函數(shù)是指在數(shù)學(xué)分析中經(jīng)常出現(xiàn)的、具有基本性質(zhì)的函數(shù)。02它們包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等。這些函數(shù)在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。03反三角函數(shù)冪函數(shù)形如$y=x^n$（$n$為實(shí)數(shù)）的函數(shù)。對(duì)數(shù)函數(shù)形如$y=log_ax$（$a>0,aneq1$）的函數(shù)。三角函數(shù)包括正弦函數(shù)$y=sinx$、余弦函數(shù)$y=cosx$、正切函數(shù)$y=tanx$等。形如$y=c$（$c$為常數(shù)）的函數(shù)。常數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)形如$y=a^x$（$a>0,aneq1$）的函數(shù)。包括反正弦函數(shù)$y=arcsinx$、反余弦函數(shù)$y=arccosx$、反正切函數(shù)$y=arctanx$等。基本初等函數(shù)的分類基本初等函數(shù)是構(gòu)成復(fù)雜函數(shù)的基礎(chǔ)，掌握它們的性質(zhì)對(duì)于理解更復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題至關(guān)重要。它們?cè)趯?shí)際問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，如物理中的運(yùn)動(dòng)方程、工程中的優(yōu)化問(wèn)題等，因此掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題具有重要意義。通過(guò)研究基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學(xué)分析能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)?；境醯群瘮?shù)的重要性冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)03冪函數(shù)的定義與性質(zhì)定義冪函數(shù)是形如f(x)=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)。性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì)取決于指數(shù)a的值。當(dāng)a>0時(shí)，冪函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，冪函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)a=0時(shí)，冪函數(shù)為常數(shù)函數(shù)f(x)=1。定義指數(shù)函數(shù)是形如f(x)=a^x(a>0且a≠1)的函數(shù)。性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0,+∞)，且當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞減。指數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)冪函數(shù)的圖像特征冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且當(dāng)x>0時(shí)，圖像位于第一象限；當(dāng)x<0時(shí)，圖像位于第三象限。根據(jù)指數(shù)a的不同取值，冪函數(shù)的圖像可能呈現(xiàn)出不同的形態(tài)。指數(shù)函數(shù)的圖像特征指數(shù)函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且當(dāng)x>0時(shí)，圖像位于第一象限；當(dāng)x<0時(shí)，圖像位于第二象限。根據(jù)底數(shù)a的不同取值，指數(shù)函數(shù)的圖像可能呈現(xiàn)出不同的形態(tài)。同時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖像還具有“爆炸性”增長(zhǎng)或衰減的特點(diǎn)。冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像特征對(duì)數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)04定義如果$a^x=N（a>0，a≠1）$，那么$x$叫做以$a$為底$N$的對(duì)數(shù)，記作$x=log_aN$。對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)包括乘法、除法、指數(shù)和換底法則。對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)$a>1$時(shí)，函數(shù)$y=log_ax$在$(0,+infty)$上單調(diào)增加；當(dāng)$0<a<1$時(shí)，函數(shù)$y=log_ax$在$(0,+infty)$上單調(diào)減少。010203對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)三角函數(shù)的定義與性質(zhì)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)具有周期性，周期為$2pi$。周期性正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)。奇偶性正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域?yàn)?[-1,1]$。有界性三角函數(shù)的定義與性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征當(dāng)$a>1$時(shí)，圖像位于$y$軸右側(cè)，向上無(wú)限延伸；當(dāng)$0<a<1$時(shí)，圖像位于$y$軸左側(cè)，向下無(wú)限延伸。圖像在$x=1$處與$y=0$相交。三角函數(shù)的圖像特征正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像是周期性的波浪線，振幅為1，周期為$2pi$。正弦函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，余弦函數(shù)的圖像關(guān)于$y$軸對(duì)稱。對(duì)數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的圖像特征反三角函數(shù)與復(fù)合函數(shù)05定義域與值域反三角函數(shù)的定義域和值域與對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)相反。反三角函數(shù)的定義反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，包括反正弦函數(shù)（arcsin）、反余弦函數(shù)（arccos）、反正切函數(shù)（arctan）等。奇偶性反正弦函數(shù)和反正切函數(shù)是奇函數(shù)，反余弦函數(shù)是偶函數(shù)。單調(diào)性在各自的定義域內(nèi)，反三角函數(shù)是單調(diào)的。周期性反三角函數(shù)不具有周期性。反三角函數(shù)的定義與性質(zhì)復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)復(fù)合函數(shù)的定義設(shè)y=f(u)的定義域?yàn)镈u，值域?yàn)镸u，函數(shù)u=g(x）的定義域?yàn)镈x，值域?yàn)镸x，如果Mx∩Du≠?，那么對(duì)于Mx∩Du內(nèi)的任意一個(gè)x經(jīng)過(guò)u；有唯一確定的y值與之對(duì)應(yīng)，則變量x與y之間通過(guò)變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。單調(diào)性內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相同時(shí)，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相反時(shí)，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。奇偶性內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外。即內(nèi)層函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)為偶函數(shù)；內(nèi)層函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)的奇偶性與外層函數(shù)相同。周期性若內(nèi)層函數(shù)具有周期性，則復(fù)合函數(shù)也具有周期性，且周期相同。123反三角函數(shù)的圖像特征反正弦函數(shù)的圖像是一個(gè)上凸的曲線，定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，值域?yàn)閇-π/2,π/2]。反余弦函數(shù)的圖像是一個(gè)下凸的曲線，定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，值域?yàn)閇0,π]。反三角函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的圖像特征反三角函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的圖像特征反正切函數(shù)的圖像是一個(gè)單調(diào)遞增的曲線，定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，值域?yàn)?-π/2,π/2)。反三角函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的圖像特征01復(fù)合函數(shù)的圖像特征02復(fù)合函數(shù)的圖像形狀取決于內(nèi)外層函數(shù)的性質(zhì)。03當(dāng)內(nèi)外層函數(shù)均為線性函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)的圖像仍為一條直線。04當(dāng)內(nèi)外層函數(shù)中至少有一個(gè)為非線性函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)的圖像將呈現(xiàn)非線性特征。具體形狀取決于內(nèi)外層函數(shù)的性質(zhì)及其組合方式。函數(shù)圖像的變換與性質(zhì)06平移變換定義函數(shù)圖像在平面直角坐標(biāo)系中的位置發(fā)生變化，形狀和大小不變。水平平移函數(shù)$y=f(x)$沿x軸方向平移$k$個(gè)單位，得到新函數(shù)$y=f(x-k)$。圖像向右平移$k$個(gè)單位。垂直平移函數(shù)$y=f(x)$沿y軸方向平移$h$個(gè)單位，得到新函數(shù)$y=f(x)+h$。圖像向上平移$h$個(gè)單位。函數(shù)圖像的平移變換030201伸縮變換定義函數(shù)圖像在平面直角坐標(biāo)系中的形狀發(fā)生變化，但位置不變。橫軸伸縮函數(shù)$y=f(x)$的圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的$omega$倍（$omega>0$），得到新函數(shù)$y=f(omegax)$。當(dāng)$omega>1$時(shí)，圖像橫向壓縮；當(dāng)$0<omega<1$時(shí)，圖像橫向拉伸?？v軸伸縮函數(shù)$y=f(x)$的圖像上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的$A$倍（$A>0$），得到新函數(shù)$y=Af(x)$。當(dāng)$A>1$時(shí)，圖像縱向拉伸；當(dāng)$0<A<1$時(shí)，圖像縱向壓縮。函數(shù)圖像的伸縮變換0102對(duì)稱變換定義函數(shù)圖像在平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于某條直線或點(diǎn)對(duì)稱。關(guān)于x軸對(duì)稱若函數(shù)$y=f(x)$的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱，則對(duì)于任意點(diǎn)$(x,y)$在圖像上，點(diǎn)$(x,-y)$也在圖像上。即滿足$f(-x)=-f(x)$。關(guān)于y軸對(duì)稱若函數(shù)$y=f(x)$的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則對(duì)于任意點(diǎn)$(x,y)$在圖像上，點(diǎn)$(-x,y)$也在圖像上。即滿足$f(-x)=f(x)$。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱若函數(shù)$y=f(x)$的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則對(duì)于任意點(diǎn)$(x,y)$在圖像上，點(diǎn)$(-x,-y)$也在圖像上。即滿足$f(-x)=-f(x)$且過(guò)原點(diǎn)。關(guān)于直線$y=x$對(duì)稱若函數(shù)$y=f(x)$的圖像關(guān)于直線$y=x$對(duì)稱，則該函數(shù)與其反函數(shù)的圖像重合。即滿足對(duì)于任意點(diǎn)$(x,y)$在圖像上，點(diǎn)$(y,x)$也在圖像上。030405函數(shù)圖像的對(duì)稱變換總結(jié)與展望07函數(shù)的定義與性質(zhì)詳細(xì)講解了函數(shù)的概念、定義域、值域以及函數(shù)的性質(zhì)，包括有界性、單調(diào)性、奇偶性和周期性?；境醯群瘮?shù)系統(tǒng)介紹了常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)等六類基本初等函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)。函數(shù)的圖像繪制通過(guò)實(shí)例演示了如何利用函數(shù)的性質(zhì)繪制其圖像，包括確定函數(shù)的定義域、值域、關(guān)鍵點(diǎn)、漸近線和函數(shù)圖像的變換等。本節(jié)課內(nèi)容總結(jié)復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)將介紹復(fù)合函數(shù)的概念、性質(zhì)以及初等函數(shù)的定義和分類。函數(shù)的極限與連續(xù)將講解函數(shù)極限的定義、性質(zhì)以及函數(shù)連續(xù)性的概念和相關(guān)定理。導(dǎo)數(shù)與微分