【三維設計】高考數(shù)學一輪復習定積分與微積分基本定理課件理

【三維設計】高考數(shù)學一輪復習定積分與微積分基本定理課件理匯報人：AA2024-01-24目錄CATALOGUE定積分基本概念與性質(zhì)微積分基本定理及其應用定積分在幾何中的應用定積分在物理中的應用定積分的數(shù)值計算與近似求解高考真題解析與備考策略定積分基本概念與性質(zhì)CATALOGUE01定積分的定義設函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，將區(qū)間$[a,b]$分成$n$個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度記為$Deltax_i$，在每個小區(qū)間上任取一點$xi_i$，作和式$sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Deltax_i$。當$n$無限增大，且$lambda=max{Deltax_i}to0$時，該和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的定積分，記作$int_{a}^f(x)dx$。定積分的幾何意義定積分$int_{a}^f(x)dx$的幾何意義是曲線$y=f(x)$與直線$x=a,x=b$及$x$軸所圍成的平面圖形的面積。當$f(x)geq0$時，定積分的值等于該平面圖形的面積；當$f(x)leq0$時，定積分的值等于該平面圖形面積的負值。定積分的定義及幾何意義可加性01對于區(qū)間$[a,b]$的任意劃分$a=x_0<x_1<cdots<x_n=b$，有$int_{a}^f(x)dx=sum_{i=1}^{n}int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx$。線性性質(zhì)02對于任意常數(shù)$k_1,k_2$和函數(shù)$f_1(x),f_2(x)$，有$int_{a}^[k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx=k_1int_{a}^f_1(x)dx+k_2int_{a}^f_2(x)dx$。保號性03若在區(qū)間$[a,b]$上，$f(x)geq0$，則$int_{a}^f(x)dxgeq0$；若在區(qū)間$[a,b]$上，$f(x)leqg(x)$，則$int_{a}^f(x)dxleqint_{a}^g(x)dx$。定積分的性質(zhì)換元法設函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，且存在單調(diào)可導的函數(shù)$x=varphi(t)$，使得$varphi(t)$的值域為$[a,b]$，則$int_{a}^f(x)dx=int_{varphi^{-1}(a)}^{varphi^{-1}(b)}f[varphi(t)]varphi'(t)dt$。分部積分法設函數(shù)$u=u(x)$和$v=v(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)且可導，則$int_{a}^u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]|_{a}^-int_{a}^u'(x)v(x)dx$。牛頓-萊布尼茲公式若函數(shù)$F(x)$是連續(xù)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的一個原函數(shù)，則$int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)$。定積分的計算法則微積分基本定理及其應用CATALOGUE02微積分基本定理包括兩部分牛頓-萊布尼茲公式和微積分基本定理的逆定理。牛頓-萊布尼茲公式表述為如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則∫f(x)dx=F(b)-F(a)。微積分基本定理的表述0102微積分基本定理的幾何解釋通過微積分基本定理，我們可以將復雜的面積計算問題轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)運算問題。幾何上，微積分基本定理可以理解為曲線y=f(x)與x軸所圍成的面積等于其原函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值之差。利用微積分基本定理證明等式或不等式通過構(gòu)造函數(shù)并應用微積分基本定理，可以證明某些等式或不等式成立。利用微積分基本定理解決物理問題在物理中，許多問題可以通過建立數(shù)學模型并應用微積分基本定理來解決，如計算物體的位移、速度、加速度等。利用微積分基本定理計算定積分通過找到被積函數(shù)的原函數(shù)，并應用牛頓-萊布尼茲公式計算定積分的值。微積分基本定理的應用舉例定積分在幾何中的應用CATALOGUE03123通過定積分求解矩形、三角形、梯形等規(guī)則圖形的面積。規(guī)則圖形面積計算利用定積分求解由曲線和直線所圍成的不規(guī)則圖形的面積，如拋物線、橢圓等。不規(guī)則圖形面積計算將平面圖形用參數(shù)方程表示，通過定積分求解面積。參數(shù)方程表示的面積計算平面圖形的面積計算01通過定積分求解由平面圖形繞某一直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積，如圓柱、圓錐、圓臺等。旋轉(zhuǎn)體體積計算02利用定積分求解平行截面面積為已知的立體的體積，如長方體、正方體等。平行截面面積為已知的立體體積計算03通過定積分求解其他類型的立體體積，如球體、橢球體等。其他立體體積計算空間立體的體積計算03參數(shù)方程表示的曲線弧長計算將曲線用參數(shù)方程表示，通過定積分求解弧長。01平面曲線弧長計算通過定積分求解平面曲線的弧長，如直線、圓弧、拋物線等。02空間曲線弧長計算利用定積分求解空間曲線的弧長，如螺旋線、擺線等。曲線弧長的計算定積分在物理中的應用CATALOGUE04要點三利用定積分求解變力做功的基本思路將變力做功的過程劃分為無數(shù)個微小的位移段，在每個位移段上，力可以近似看作是恒力，從而可以利用恒力做功的公式進行計算，最后將所有位移段上的功累加起來，即可得到變力做功的總功。要點一要點二常見的變力做功問題彈簧彈力做功、電場力做功、摩擦力做功等。解題技巧在求解變力做功問題時，需要正確分析物理過程，確定變力的函數(shù)表達式，以及選擇合適的積分變量和積分區(qū)間。要點三變力做功問題利用定積分求解水壓力的基本思路將水壓力的作用面積劃分為無數(shù)個微小的面積段，在每個面積段上，水壓力可以近似看作是均勻的，從而可以利用壓強的公式進行計算，最后將所有面積段上的壓力累加起來，即可得到水壓力的總作用力。常見的水壓力問題求解水壩、水池、水管等的水壓力。解題技巧在求解水壓力問題時，需要正確分析水壓力的作用面積和壓強分布，以及選擇合適的積分變量和積分區(qū)間。水壓力問題其他物理問題中的應用在求解其他物理問題時，需要正確分析物理問題的本質(zhì)和數(shù)學模型的建立，以及選擇合適的積分變量和積分區(qū)間。同時，還需要注意物理量的單位和量綱的匹配。解題技巧將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，利用定積分的概念和性質(zhì)進行求解。利用定積分求解其他物理問題的基本思路求解質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引力等。常見的其他物理問題定積分的數(shù)值計算與近似求解CATALOGUE05矩形法的基本思想將定積分區(qū)間劃分為若干個小區(qū)間，每個小區(qū)間上選擇一個代表點，以該點的函數(shù)值作為高，小區(qū)間的長度作為寬，構(gòu)造矩形，所有矩形的面積之和即為定積分的近似值。矩形法的精度矩形法的精度取決于小區(qū)間的劃分方式和代表點的選擇。一般來說，小區(qū)間劃分越細，代表點選擇越合理，近似值的精度就越高。矩形法的優(yōu)缺點矩形法簡單易行，計算量小，但精度相對較低。適用于對精度要求不高或函數(shù)形態(tài)較為簡單的情況。矩形法求定積分的近似值梯形法的基本思想將定積分區(qū)間劃分為若干個小區(qū)間，每個小區(qū)間上與函數(shù)圖像構(gòu)成梯形，所有梯形的面積之和即為定積分的近似值。梯形法的精度梯形法的精度同樣取決于小區(qū)間的劃分方式和梯形的構(gòu)造。與矩形法相比，梯形法能夠更好地逼近曲線下的面積，因此精度相對較高。梯形法的優(yōu)缺點梯形法比矩形法精度更高，但仍然存在一定的誤差。適用于對精度要求較高或函數(shù)形態(tài)較為復雜的情況。梯形法求定積分的近似值辛普森法求定積分的近似值在定積分區(qū)間內(nèi)選擇若干個點，利用這些點的函數(shù)值構(gòu)造多項式來逼近被積函數(shù)，然后對該多項式進行積分得到定積分的近似值。辛普森法的精度辛普森法的精度取決于多項式的次數(shù)和選點的合理性。一般來說，多項式次數(shù)越高，選點越合理，近似值的精度就越高。辛普森法的優(yōu)缺點辛普森法具有較高的精度和適應性，能夠很好地逼近復雜函數(shù)形態(tài)下的定積分。但計算量相對較大，需要選取合適的參數(shù)和算法進行優(yōu)化。辛普森法的基本思想高考真題解析與備考策略CATALOGUE06（2020年全國卷II）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1$，求$f(x)$在區(qū)間$[0,1]$上的最大值。（2021年全國卷III）求曲線$y=x^3$與直線$y=x$所圍成圖形的面積。（2019年全國卷I）求函數(shù)$f(x)=x^2-2x$在區(qū)間$[0,2]$上的定積分。歷年高考真題解析備考策略與建議01掌握定積分與微積分基本定理的基礎知識，包括定積分的定義、性質(zhì)、計算方法和微積分基本定理的內(nèi)容、證明和應用。02熟悉高考中常見的函數(shù)類型，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等，以及它們的圖像和性質(zhì)。03加強練習，通過大量的習題來提高自己的計算能力和解題技巧，同時要注重總結(jié)歸納，形成自己的知識體系。04關(guān)注歷年高考真題和模擬試題，了解考