概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-1(已講)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-1(已講)匯報人：AA2024-01-19課程介紹與背景概率論基本概念一維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)知識參數(shù)估計方法論述目錄01課程介紹與背景研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學分支，為數(shù)理統(tǒng)計提供理論基礎(chǔ)。概率論數(shù)理統(tǒng)計兩者關(guān)系應(yīng)用概率論對數(shù)據(jù)進行收集、整理、分析和推斷的方法論學科。概率論是數(shù)理統(tǒng)計的理論基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計是概率論的應(yīng)用。030201概率論與數(shù)理統(tǒng)計概述掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、理論和方法。知識目標能夠運用所學知識解決實際問題，具備數(shù)據(jù)處理和分析的能力。能力目標培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)和邏輯思維能力。素質(zhì)目標課程目標與要求《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》（高等教育出版社）。教材《概率論基礎(chǔ)》（人民教育出版社）、《數(shù)理統(tǒng)計學》（科學出版社）等。參考書目教材及參考書目02概率論基本概念

隨機事件與概率隨機事件在一定條件下并不總是發(fā)生，且可以明確其是否發(fā)生的事件。概率描述隨機事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，取值范圍在0到1之間。概率的性質(zhì)非負性、規(guī)范性（必然事件的概率為1）、可加性（互斥事件的概率和）。每個樣本點等可能出現(xiàn)，且樣本空間有限。適用于擲骰子、抽簽等問題。古典概型樣本點無限且連續(xù)出現(xiàn)，適用于長度、面積、體積等連續(xù)型隨機變量的問題。幾何概型主要在于樣本空間的不同，古典概型是離散的，而幾何概型是連續(xù)的。兩者區(qū)別古典概型與幾何概型事件的獨立性如果兩個事件互不影響，則稱它們是獨立的。即P(A|B)=P(A)和P(B|A)=P(B)。條件概率在已知某一事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率。用P(A|B)表示在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率。乘法公式對于任意兩個事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B|A)。當A和B獨立時，有P(AB)=P(A)P(B)。條件概率與獨立性03一維隨機變量及其分布隨機變量是定義在樣本空間上的實值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個樣本點映射到一個實數(shù)。隨機變量具有可測性、單調(diào)性和有界性等基本性質(zhì)。隨機變量定義及性質(zhì)隨機變量性質(zhì)隨機變量定義0-1分布二項分布描述的是n重伯努利試驗中成功次數(shù)X的分布，其中每次試驗成功的概率為p。二項分布泊松分布泊松分布描述的是單位時間內(nèi)隨機事件發(fā)生的次數(shù)，它是一個偏態(tài)分布，常用于描述稀有事件的發(fā)生概率。0-1分布是二項分布的特例，它描述的是只有兩種可能結(jié)果的隨機試驗。常見離散型隨機變量分布均勻分布01均勻分布描述的是在某個區(qū)間內(nèi)隨機變量取值的概率分布情況，它在該區(qū)間內(nèi)的概率密度函數(shù)是一個常數(shù)。指數(shù)分布02指數(shù)分布描述的是隨機事件發(fā)生的時間間隔的概率分布情況，它是一個偏態(tài)分布，常用于描述壽命、等待時間等問題。正態(tài)分布03正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型隨機變量分布之一，它描述的是影響某一數(shù)量指標的隨機因素很多且每一個因素所起的作用都很微小時，這個數(shù)量指標服從的分布。常見連續(xù)型隨機變量分布04多維隨機變量及其分布定義設(shè)$(X,Y)$是二維隨機變量，對于任意實數(shù)$x,y$，二元函數(shù)$F(x,y)=P{(Xleqx)cap(Yleqy)}$稱為二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。性質(zhì)聯(lián)合分布函數(shù)$F(x,y)$具有單調(diào)不減、右連續(xù)、$F(-infty,y)=0$、$F(x,-infty)=0$、$F(+infty,+infty)=1$等性質(zhì)。離散型二維隨機變量的聯(lián)合分布律若二維隨機變量$(X,Y)$所有可能取到的值是有限對或可列無限多對，則稱$(X,Y)$是離散型的隨機變量。此時，可以定義一個二維數(shù)組$p_{ij}=P{X=x_i,Y=y_j}$來表示$(X,Y)$的聯(lián)合分布律。二維隨機變量聯(lián)合分布邊緣分布二維隨機變量$(X,Y)$作為一個整體，具有分布函數(shù)$F(x,y)$，而$X$和$Y$都是隨機變量，各自也有分布函數(shù)，將它們分別記為$F_X(x),F_Y(y)$，依次稱為二維隨機變量$(X,Y)$關(guān)于$X$和關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)。邊緣分布函數(shù)可以由聯(lián)合分布函數(shù)所確定，反之則不然。要點一要點二條件分布設(shè)二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)為$F(x,y)$，邊緣分布函數(shù)分別為$F_X(x),F_Y(y)$。若對于固定的$x_0$，$P{X=x_0}>0$，則稱條件概率$P{Yleqy|X=x_0}=frac{P{X=x_0,Yleqy}}{P{X=x_0}}$為在$X=x_0$條件下，$Y$的條件分布函數(shù)，記為$F_{Y|X}(y|x_0)$。同理，也可以定義在$Y=y_0$條件下，$X$的條件分布函數(shù)。邊緣分布與條件分布VS若二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)可以表示為兩個邊緣分布函數(shù)的乘積，即$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，則稱隨機變量$X$和$Y$是相互獨立的。此時，聯(lián)合概率密度函數(shù)也可以表示為兩個邊緣概率密度函數(shù)的乘積。相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是衡量兩個隨機變量之間線性相關(guān)程度的量。對于二維隨機變量$(X,Y)$，若它們的協(xié)方差存在且不為零，則稱比值$rho_{XY}=frac{Cov(X,Y)}{sqrt{D(X)}sqrt{D(Y)}}$為隨機變量$X$和$Y$的相關(guān)系數(shù)。其中，協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)都是描述兩個隨機變量之間線性關(guān)系的統(tǒng)計量。當$rho_{XY}=0$時，稱隨機變量$X$和$Y$是不相關(guān)的。獨立性獨立性及相關(guān)系數(shù)05數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)知識研究對象的全體個體組成的集合，通常用一個隨機變量及其分布來描述?？傮w從總體中隨機抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本樣本中包含的個體數(shù)目，通常用n表示。樣本容量總體與樣本概念介紹統(tǒng)計量的性質(zhì)包括無偏性、有效性和一致性等，用于評價統(tǒng)計量的優(yōu)劣。常用統(tǒng)計量樣本均值、樣本方差、樣本標準差、樣本矩等。統(tǒng)計量樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計量及其性質(zhì)卡方分布t分布F分布三大抽樣分布的關(guān)系三大抽樣分布用于描述正態(tài)總體方差的分布，其形狀取決于自由度。用于描述兩個正態(tài)總體方差的比值分布，其形狀取決于兩個自由度。用于描述正態(tài)總體均值的分布，其形狀取決于自由度和總體方差?？ǚ椒植?、t分布和F分布之間存在密切關(guān)系，可以相互轉(zhuǎn)化。06參數(shù)估計方法論述矩估計法最大似然估計法最小二乘法貝葉斯估計法點估計方法及其性質(zhì)01020304利用樣本矩來估計總體矩，從而獲得總體參數(shù)的估計值。根據(jù)樣本觀測值出現(xiàn)的概率最大原則來估計總體參數(shù)。通過最小化誤差的平方和來尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，從而得到參數(shù)的估計值?；谪惾~斯定理，結(jié)合先驗信息和樣本信息來得到后驗分布，進而得到參數(shù)的點估計。03自助法通過對樣本數(shù)據(jù)進行重復抽樣，構(gòu)造出大量自助樣本，進而得到參數(shù)的區(qū)間估計。01置信區(qū)間法利用樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個包含總體參數(shù)的區(qū)間，并給出該區(qū)間包含總體參數(shù)的可信程度。02容忍區(qū)間法在給定顯著性水平下，構(gòu)造一個包含總體參數(shù)的區(qū)間，使得該區(qū)間有盡可能大的覆蓋概率。區(qū)間估計方法論述指估計量的期望值等于被估計的總體參數(shù)，即估計量在多次重復抽樣下