復(fù)習(xí)篇第3講函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性2024年高一寒假數(shù)學(xué)專題化復(fù)習(xí)與重點(diǎn)化預(yù)習(xí)（人教A版2019）（原卷版）

第3講函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性本講義整體上難度中等偏上，題目有一定的分層，題量略大！1函數(shù)單調(diào)性的概念(1)增函數(shù)和減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D∈I:如果?x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(如果?x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f2單調(diào)性概念的拓展①若y=f(x)遞增，x2>x②若y=f(x)遞增，fx2≥f(y=f(x)遞減，有類似結(jié)論！3判斷函數(shù)單調(diào)性的方法①定義法解題步驟(1)任取x1,x(2)作差fx(3)變形(通常是因式分解和配方)；(4)定號(hào)(即判斷差f(x1)(5)下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性)．②數(shù)形結(jié)合③性質(zhì)法增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；但增函數(shù)×增函數(shù)不一定是增函數(shù)，比如y=x，y=x-2均是增函數(shù)，而y=x(x-2)不是.④復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(1)如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、(2)同增異減設(shè)函數(shù)u=g(x)(x∈A)的值域是M，函數(shù)y=f(u)(u∈M)若y=fu,u=g(x)在各自區(qū)間單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間若y=f(u),u=g(x)在各自區(qū)間單調(diào)性不同，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間A上遞減.4函數(shù)奇偶性的概念(1)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).(2)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).由奇偶函數(shù)的概念可知道其定義域I是關(guān)于原點(diǎn)對稱的.5函數(shù)奇偶性的性質(zhì)①偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱；②奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱；③若奇函數(shù)f(x)定義域內(nèi)含有0，則f(0)=0；④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù)．6判斷函數(shù)奇偶性的方法①定義法先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再求f(-x),看下與f(x)的關(guān)系：若f-x=f(x)，則y=fx是偶函數(shù)；若f-x②數(shù)形結(jié)合若函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)是奇函數(shù)；若函數(shù)關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)是偶函數(shù).③取特殊值排除法(選擇題)比如：若根據(jù)函數(shù)得到f(1)≠f(-1)，則排除f(x)是偶函數(shù).④性質(zhì)法偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差(分母不為0)仍為奇函數(shù)；奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積為奇(偶)函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的商(分母不為0)為偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與偶函數(shù)的積為奇函數(shù).【題型1】函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷【典題1】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0，+∞)上單調(diào)遞增的是()A．f(x)=1-x2 C．f(x)=【鞏固練習(xí)】1.(★★)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在(1,+∞)上單調(diào)遞減的是()A．f(x)=x B．f(x)=ln1|x| C2.(★★)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(﹣∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增的函數(shù)為(A．y=x2+2x B．y=e|x| C3.(★★★)已知f(x)是R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增，則下列函數(shù)是偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞增的有()①y=|f(x)|A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【題型2】函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)【典題1】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,+∞)單調(diào)遞增則()A．f(log2π)>f(loC．f(2-π【典題2】設(shè)函數(shù)f(x)=lg(x2+1)，則使得f(3x-2)>f(x-4)成立的x的取值范圍為A．(13,1)【鞏固練習(xí)】1.(★★)如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,5]上是減函數(shù)，且最小值為6，那么f(x)在區(qū)間[-5,-1]上是()A．減函數(shù)且最大值為-6 B．增函數(shù)且最大值為C．減函數(shù)且最小值為-6 D．2.(★★)若偶函數(shù)f(x)在(-∞,-1]上是減函數(shù)，則()A．f(-32)<f(-1)<f(2) BC．f(2)<f(-1)<f(-32) 3.(★★★)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，若f(x+1)是奇函數(shù)，f(x-1)是偶函數(shù)，則()A．f(x)是奇函數(shù) B．f(x+3)是偶函數(shù) C．f(3)=0 D．f(x)=f(x+3)4.(★★★)已知函數(shù)f(x)為(-1,1)上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增，若f(2x-1)+f(-x+1)>0，則x的值范圍是()A．(-1,1) B．(0,1)5.(★★★)函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)且f(a)+f(b)>f(－a)+f(－b)A．a(chǎn)>b>0 B．a(chǎn)6.(★★)已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x)，若f(1)=2A．-50 B．0 C．2 D．507.(★★★)已知函數(shù)f(x)=ln|x|+x2，設(shè)a=f(-2),b=f(1),c=f(20.3)A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b8.(★★★)已知函數(shù)f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x<0loga(x+1)+1,x≥0(a>0且a≠1)在RA．[34,1) 9.(★★★)已知函數(shù)f(x)=x|x|+4x+1,x∈R，若f(a)+f(a2-1)<2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍【題型3】函數(shù)圖像的判斷【典題1】已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能是()A．f(x)=cos(2x)x B．C．f(x)=12x2【鞏固練習(xí)】1.(★★)已知函數(shù)y＝f(x)的部分圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能是()A．f(x)＝x(ex+e﹣x) B．f(x)＝ln(ex+e﹣x) C．f(x)=|x|x2+1+1 D．f(x)2.(★★)如圖，已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，則函數(shù)f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x2|x| B．f(x)＝xln|x|| C．f(x)=e|x|x D．f(3.(★★)已知函數(shù)y＝f(x)的部分圖象如圖，則f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x+tanxB．f(x)＝x+sin2x C．f(x)＝x-12sin2x D．f(x)＝x-4.(★★★)函數(shù)f(x)=sinx?ln(x2+1-x)A． B． C． D．【題型4】函數(shù)的最值【典題1】已知函數(shù)f(x)=2x+1x-1，其定義域是[-8,-4)，則下列說法正確的是(A．f(x)有最大值53，無最小值 B．C．f(x)有最大值75，無最小值 D【典題2】函數(shù)f(x)=log2(xA．[1,1+C．[1,2]【鞏固練習(xí)】1.(★★)若函數(shù)y=x2-5x-1的定義域[0,m]，值域?yàn)閇-29A．(0，5] B．[5,294] C．[2.(★★)函數(shù)f(x)=12x2-6x+5A．(0,16] B．[16,+∞)3.(★★)函數(shù)y=x+1-1-x的值域?yàn)锳．(-∞,2] B．[0,2] C．4.(★★)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=3sinx-2x+1，則f(x)的最大值與最小值之和等于()A．0 B．1 C．2 D．35.(★★★)已知函數(shù)y=sin2x－A．[2,3] B．[2,4]6.(★★★)已知函數(shù)f(x)=a+log2(x2－A．a(chǎn)∈(4,5) B．a(chǎn)∈(5,6)【題型4】綜合練習(xí)【典題1】已知定義在R奇函數(shù)f(x)=2(1)求a,b的值；(2)判斷并證明f(x)在R上的單調(diào)性；(3)求該函數(shù)的值域．【典題2】定義在R上的單調(diào)增函數(shù)f(x)滿足：對任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立(1)求f(0)的值(2)求證：f(x)為奇函數(shù)(3)若f(1+2x)+f(t?3x【鞏固練習(xí)】1.(★★★)函數(shù)f(x)=ax+b1+x2是定義在區(qū)間(1)確定函數(shù)f(x)的解析式；(2)用定義證明：f(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)；(3)解不等式：f(t-1)+f(t)<0．2.(★★★)已知函數(shù)f(x)=(1)計(jì)算f(f(log(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+c，若函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．3.(★★★★)對于定義域?yàn)镽的函數(shù)g(x)，若函數(shù)sin[g(x)]是奇函數(shù)，則稱g(x)為正弦奇函數(shù)．已知f(x)是單調(diào)遞增的正弦奇函數(shù)，其值域?yàn)镽,f(0)=0．(1)已知g(x)是正弦奇函數(shù)，證明：“u0為方程sin[g(x)]=1的解”的充要條件是“-u0為方程sin[g(x)]=(2)若fa=π(3)證明：f(x)是奇函數(shù)．4.(★★★★)已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)閇-1,1]，若對于任意的x,y∈[-1,1]，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0時(shí)，有f(x)>0.（Ⅰ）證明函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；（Ⅱ）討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的單調(diào)性；（Ⅲ）設(shè)f(1)=1，若f(x)<m2-2am+1，對所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，求實(shí)數(shù)1.(★★)下列函數(shù)中為偶函數(shù)且在(0,+∞)上是增函數(shù)的是()A．y=12x 2.(★★)設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0?x?1時(shí)，f(x)=2x(1-x)，則f-A．-12 B．-14 C．13.(★★)如圖，已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則函數(shù)f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x2ln|x| B．f(x)＝xlnx C．f(x)=ln|x|x D4.(★★)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=2x+2x-a，則f(-1)＝A．3 B．-35.(★★★)設(shè)f(x)定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，滿足條件y=f(x+1)是偶函數(shù)，且當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=(12)x-1，則A．f(23)>f(C．f(32)>f(26.(★★)若f(x)=ax,x≥1-x+3a,x<1是R上的單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為7.(★★★)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x)．當(dāng)x∈[-3,-1)時(shí)，f(x)=-(x+2)2，當(dāng)x∈[-1,3)時(shí)，f(x)=x，則f(